天津市佳春中学中考数学复习 二次函数的应用（几何问题）.doc

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1、二次函数的应用（几何问题）一、选择题1.（2012甘肃兰州4分）二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，若|ax2bxc|k(k0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】Ak3 Bk3 Ck3 Dk3【答案】 D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】根据题意得：y|ax2bxc|的图象如右图，|ax2bxc|k(k0)有两个不相等的实数根，k3。故选D。二、填空题三、解答题1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求

2、的值；（）当y00恒成立时，求的最小值【答案】解：（）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。 y=x2+4x+10=（x+2）2+6，抛物线的顶点坐标为P（2，6）。点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7。（）由02ab，得。由题意，如图过点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1。连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1。过点A作AFBC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。则FAA1=CBD。RtAFA1RtBCD。 ，即。过点E作EG

3、AA1于点G，易得AEGBCD。，即。点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=ax12+bx1+c，化简，得x12x12=0，解得x1=2（x1=1舍去）。y00恒成立，根据题意，有x2x11。则1x21x1，即1x23。的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。将A（1，yA）、B（0，yB）、C（

4、1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算的值即可。（）根据02ab，求出，作出图中辅助线：点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1过点A作AFBC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。证出RtAFA1RtBCD，得到，再根据AEGBCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y00恒成立，得到x2x11，从而利用不等式求出 的最小值。 2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点

5、C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当ECA=OAC时，求t的值【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），解得。这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90，DEF+EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）抛物线的解析式为：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作E

6、C的垂线交CE于G点ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG与OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EMx轴于点M，则在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：。在RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，

7、全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。 （2）先证明EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在RtECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。3. （2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点

8、D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 点A在点B的左侧，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）。 （2）由得，对称轴为x=1。 在中，令x=0，得y=3。 OC=3，AB=6，。在RtAOC中，。设ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CFL1于F，则CF=h

9、=，。设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。D1（4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（1，）。综上所述，D点坐标为：D1（4，），D2（1，）。（3）如图2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点N。A（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3。又FE=5，则在RtMEF中，-ME=，sinMFE=，cosMFE=。在RtFMN中，MN

10、=MNsinMFE=3，FN=MNcosMFE=3。则ON=。M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出ACD中AC边上的高，设为h在坐标平面内，作

11、AC的平行线，平行线之间的距离等于h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形

12、从而问题得解。这样的切线有两条。4. （2012广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，（1）求证： ；（2）求m、n的值；（3）当p0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值【答案】（1）证明：二次函数图象的顶点横坐标是2，抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+4m=0。（2）解：二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，OA=x1，OB=x2；。令x=0，得y=p，C（0，p），OC=|p|。由三角函数定义得：。tanCAOtanCBO=1，即 ，化简得：。将

13、代入得：，化简得：。由（1）知n+4m=0，当n=1时，；当n=1时，。m、n的值为： ，n=1（此时抛物线开口向上）或 ，n=1（此时抛物线开口向下）。（3）解：由（2）知，当p0时，n=1， ，抛物线解析式为：。联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，化简得： 。二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，一元二次方程根的判别式等于0，即=02+16（p3）=0，解得p=3。抛物线解析式为：。当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。当p0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的

14、关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式，化简即得n+4m=0。（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解当p0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。5. （2012广东珠海7分）如图，二次函数y=（x2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函

15、数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b（x2）2+m的x的取值范围6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x1）的图象交于点A（1，k）和点B（1，k）（1）当k=2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值【答案】解：（1）当k=2时，A（1，2），A在反比例函数图象上，设反

16、比例函数的解析式为：。将A（1，2）代入得： ，解得：m=2。反比例函数的解析式为：。（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，k0。二次函数y=k（x2+x1）=，它的对称轴为：直线x=。要使二次函数y=k（x2+x1）满足上述条件，在k0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x时，才能使得y随着x的增大而增大。综上所述，k0且x。（3）由（2）可得：Q。ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）原点O平分AB，OQ=OA=OB。作ADOC，QCOC，垂足分别为点C，D。，解得：k=。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的

17、关系，反比例函数和二次函数的性质。【分析】（1）当k=2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：，利用待定系数法即可求得答案；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k0。又由二次函数y=k（x2+x1）的对称轴为x=，可得x时，才能使得y随着x的增大而增大。（3）由ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q，A（1，k），即可得，从而求得答案。7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A

18、，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2）， 将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得

19、，x=，即OP=。（3）CHMAOC，MCH=CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，MCH=CAO，CMx轴，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=。M（）。在x轴上取一点D，如图3，过点D作DEAC于点E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，即，解得AD=2。D（

20、1，0）或D（3，0）。过点D作DMAC，交抛物线于M，如图则直线DM的解析式为：y=2x+2或y=2x6。当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得。 点M的坐标为（）或（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。 （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3

21、）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CMx轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，可以证明AED和AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可

22、得到点M的坐标。8. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时CACP？（3）过点P作PEPC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）当m=3时，y=x26x。令y=0得x26x=0，解得，x1=0，x2=6。A（6，0）。当x=1时，y=5。B（1，5）。抛物线y=x26x的对称轴为直线x

23、=3，且B，C关于对称轴对称，BC=4。（2）过点C作CHx轴于点H（如图1）由已知得，ACP=BCH=90，ACH=PCB。又AHC=PBC=90，AGHPCB。抛物线y=x22mx的对称轴为直线x=m，其中m1，且B，C关于对称轴对称，BC=2（m1）。B（1，2m1），P（1，m），BP=m1。又A（2m，0），C（2m1，2m1），H（2m1，0）。AH=1，CH=2m1，解得m= 。（3）存在。B，C不重合，m1。（I）当m1时，BC=2（m1），PM=m，BP=m1，（i）若点E在x轴上（如图1），CPE=90，MPE+BPC=MPE+MEP=90，PC=EP。BPCMEP，BC=

24、PM，即2（m-1）=m，解得m=2。此时点E的坐标是（2，0）。（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PNy轴于点N，易证BPCNPE，BP=NP=OM=1，即m1=1，解得，m=2。此时点E的坐标是（0，4）。（II）当0m1时，BC=2（1m），PM=m，BP=1m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证BPCMEP，BC=PM，即2（1m）=m，解得，m=。此时点E的坐标是（ ，0）。（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PNy轴于点N，易证BPCNPE，BP=NP=OM=1，即1m=1，m=0（舍去）。综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐

25、标是（，0）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。（2）过点C作CHx轴于点H（如图1）由已知得ACP=BCH=90，利用已知条件证明AGHPCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。（3）存在。本题要分当m1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m1和当0m1时，BC=2（1m），PM=m，BP=1m，两种情况分别讨论

26、，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。9. （2012江苏连云港12分）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD的面积；(3)将AOC绕点C逆时针旋转90，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由【答案】解：(1)四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)把x0，y3；x2，y3分别代入yx2bxc，得，解得。抛物线所对应的函数解析式为yx22x3。(2)yx22

27、x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为D(1，4)。ABD中AB边的高为4。令y0，得x22x30，解得x11，x23。AB3(1)4。ABD的面积448。(3)如图，AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA1，OC=3，点A对应点G的坐标为(3，2)。当x3时，y3223302，点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D

28、三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。10. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，4)的抛物线yx2bxc与x轴相交于点B(0，0)和C，O为坐标原点(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线yx2bxc向上平移个单位长度、再向左平移m(m0)个单位长度，得到新抛物线若新抛物线的顶点P在ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，OMBOABACB，求AM的长 【答案】解：（1）将A（0，4）、B（2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得： ，解得，。 抛物

29、线的解析式：y=x2x4。（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，即：。它的顶点坐标P（1m，1）。由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。直线AB：y=2x-4；直线AC：y=x4。当点P在直线AB上时，2（1m）4=1，解得：m=；当点P在直线AC上时，（1m）4=1，解得：m=2；又m0，当点P在ABC内时，0m 。（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且OAC是等腰直角三角形。如图，在OA上取ON=OB=2，则ONB=ACB=45。ONB=NBA+OAB=ACB=OMB+OAB，即ONB=OMB。如图，在ABN、AM1B中，BAN=M1AB，ABN=AM1B，AB

30、NAM1B，得：AB2=ANAM1；由勾股定理，得AB2=（2）2+42=20，又AN=OAON=42=2，AM1=202=10，OM1=AM1OA=104=6。而BM1A=BM2A=ABN，OM1=OM2=6，AM2=OM2OA=64=2。综上，AM的长为6或2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在ABC

31、内时m的取值范围。（3）先在OA上取点N，使得ONB=ACB，那么只需令NBA=OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证ABN、AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。11. （2012江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y0时x的取值范围12. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数

32、，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设， 是C2上的两个不同点，且满足： ，.请你用含有的表达式表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则P，Q两点间的距离）【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x2bx x2bx=的两根为x1，x2且，且b。b。抛物线的顶点坐标为（，）。（2）x，。当时，即当x时，有。 （3）由平移的性质，得C2的解析式为：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB为直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（m

33、n）2（m2n2）2，化简得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）结合（1）的抛物线

34、的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由得 ，即。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。13. （2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C(1)求点C的坐标；(2)如图1，平行于y轴的

35、直线x3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线xa交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE43，求a的值；(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值图1 图2【答案】解：（1）当x=0时，y2。A（0，2）。 设直线AB的解析式为，则，解得。 直线AB的解析式为。 点C是直线AB与抛物线C1的交点， ，解得（舍去）。 C（4，6）。（2）直线x3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E， ，DE=。 FG：DE43，FG=2。 直线xa交直线AB于点F

36、，交抛物线C1于点G， 。FG=。 解得。（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NHy轴于点H。 设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为。 。P（0，）。 点N是直线AB与抛物线C2的交点， ，解得（舍去）。N（）。 NQ=，MQ=。NQ=MQ。NMQ=450。 MOT，NHT都是等腰直角三角形。MO=TO，HT=HN。 OT=t，。 PN平分MNQ，PT=NT。 ，解得（舍去）。 。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。【分析】（1）由点A在抛物线C1上求得点A的

37、坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。 （2）由FG：DE43求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，即可得等式FG=，解之即可得a的值。 （3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C2的解析式，求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出MOT，NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。14. （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数

38、图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。综上所述，k的取值范围是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x

39、2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。所求k值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由图象知：当x=1时，y最小=3；当x=时，y最大=。y的最大值为，最小值为3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值

40、。15. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值【答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直

41、线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6， 3）由得D（1，4）。设直线DN的函数关系式为y=sx+t，则，解得。故直线DN的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。 当B

42、D为平行四边形边时，点E在直线AC上，设E（x，x+1），则F（x，）。又BD=2若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）。 。 ，当时，APC的面积取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（