上海市虹口区2016届高三数学上学期期末教学质量诊断（一模）试题.doc

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1、虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学试卷考生注意： 1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1函数的反函数2设全集则_. 3若复数满足（为虚数单位），则复数_. 4在二项式的展开式中，常数项的值为_.（结果用数字表示）5行列式的最大值为_.6. 在等差数列中， 则数列的前10项的和等于_.7如图，已知双曲线C的右焦点为F，过

2、它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的焦距为4，为等边三角形（为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为_.8.已知数据的方差为16，则数据的标准差为 .9.已知抛物线的弦的中点的纵坐标为4 ，则的最大值为_.10如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于_.11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为_.（结果用最简分数表示）12. 设等比数列的前n项和为,若且则13在由正整数构成的无穷数列中，对任意的且对任意的数列中恰

3、有，则14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 15. 设为两个不同平面，若直线则 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件16 . 已知直线是函数图像的两条相邻的对称轴，则的值为 （ ） （A） （B） （C） （D）17.已知均为单位向量，且若则的取值范围是 ( ) （A） （B） （C） （D）18设函数 若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是 ( ) （A） （B） （C） （D）

4、三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.如图，在正三棱柱 中，已知它的底面边长为10，高为20 .(1) 求正三棱柱的表面积与体积；(2) 若分别是的中点，求异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）.20(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.已知的面积为S，且（1） 求（2） 若求的面积S .21(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.对于函数定义已知偶函数的定义域为 （1）求并求出函数的解析式；(2) 若存在实数使得函数上的值域为，求实数的取值范围.2

5、2. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.已知数列的前n项和为，且 （1） 计算 并求数列的通项公式；（2） 若数列满足求证：数列是等比数列； （3）由数列的项组成一个新数列：. 设为数列的前n项和，试求的值. 23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分. 已知椭圆的左焦点为 短轴的两个端点分别为且为等边三角形 . (1) 求椭圆的方程；(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点M 作 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；

6、（3）已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程. 虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月 一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1 2 3. 2 428 5 13 6. 80 7. 8 8 9. 12 10 11 12. 1363 14 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.解：（1） (3分) (6分)（2）连结则又

7、故等于异面直线所成角. (8分) 易得，故于是异面直线所成角的大小为(12分)20(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.解：（1）由得 (4分)进而求得 (7分) （2） (9分) (12分) (14分)21(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.解：（1）因为 故对任意的于是 由为偶函数， . (6分)(2) 由于的定义域为，又且 (8分) 函数的图像，如图所示. 由题意，有 (10分)故是方程的两个不相等的负实数根，即方程在上有两个不相等的实根，于是 (12分)综合上述，得：实数的取值范围为 (14分)注：若采用数形结合，得出直线与曲线有两个不同交点，并

8、进行求解也可.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.解：（1）当时，由得 由得当时，由得当时，由得 猜想： (3分)下面用数学归纳法证明： 当时， 结论显然成立； 假设当时，由条件知故于是故数列的通项公式为： (6分)另解（1）：当时，由得 由得当时，由得当时，由得 (2分)当时，由条件知故于是 (4分)故 于是数列的通项公式为：(6分)证：（2）当时， 当时，由条件得 从而 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. (10分)解：（3）由题意，得从而 (16分)注：在解答第（3）小题时，可直接求出.23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分. 解：（1）由题意，得 (2分) 故椭圆C的方程为 (4分)（2）设则由条件，知从而 于是由再由点M在椭圆C上，得所以 (6分)进而求得直线NH的方程: 由 (8分)进而 因此以线段NJ为直径的圆的方程为： (10分) （3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线的斜率为0时，可以求得 (12分)当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为则点O到直线的距离为从而由几何意义，得由于故直线的方程为可求得它与椭圆C的交点R的坐标为于是 (15分) 当且仅当 时，上式取等号. 因为故当时，；此时直线的方程为： （也可写成 ） (18分)10