2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案4.1 三角函数的概念与基本公式microsoft word 文档doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网第四章第四章 三角函数三角函数知识结构网络4.14.1 三角函数的概念与基本公式三角函数的概念与基本公式三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识一、明确复习目标1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;二建构知识网络1 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在 x 轴的非负半轴上.(1)象限角:角的终边

2、在第几象限，就说这个角是第几象限的角。(2)象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。(3)与角终边相同的角的集合：|=k360+,kZ终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。(4)正确理解：“900间的角”“第一象限的角”，“锐角”，“小于90的角”，这四种角的集合分别表示为：http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网00|090 Zkkk,90360360，900，90。3弧度制:规定(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位;(2)任一已知角的弧度数的绝对值rl。(3)正角的弧度数为正数

3、，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。比值 l/r 与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。4弧度与角度的换算：1800=（弧度），1 弧度=（180/）057018。5弧长公式:rl;扇形的面积公式：22121rlrS扇形。6.任意角三角函数的定义:在角的终边上任意一点 P（x，y）与原点的距离是 r（r=22yx0），则 sin=ry，cos=rx，tan=xy.三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与 P 上在终边上的位置无关.7.同角三角函数关系式:sin2+cos2=1（平方关系）；cossin=tan（商数关系）；tanco

4、t=1（倒数关系）.8.诱导公式+2k（kZ）、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.函数名不变，符号看象限。另外：sin（2）=cos，cos（2）=sin.函数名改变。三、双基题目练练手1.已知 sin2=53，cos2=54，那么的终边在（）A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2.(2005 全国)设02x,且1 sin2sincosxxx,则（）A.0 xB.744xC.544xD.322x3.3.角的终边过点 P（8m，6cos60）且 cos=54，则 m 的值是（

5、）A.21B.21C.23D.234.已知 cos=31，且20，则tancos2sincot）（）（）（=_.5.已知 sin=31，sin（+）=1，则 sin（2+）=_.6.已知 sin=aa11，cos=aa113，若是第二象限角，则实数 a=_简答简答:1-3.DCA;4.42;5.31;6.19.1.结合三角函数线知3322,442422kkkk在第四象限.答案：D法 2:sin=25240，cos=2570，终边在第四象限.3.cos=96482mm=54.m=21或 m=21（舍去）答案：A4.从 cos=31中可推知 sin、cot的值，再用诱导公式即可求之.5.sin（+

6、）=1，+=2k+2.sin（2+）=sin2（+）=sin=31.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网6.依题意得.11131101131111022）（）（，aaaaaaaa解得 a=91或 a=1（舍去）.四、经典例题做一做【例【例 1 1】已知是第二象限的角（1）指出2 所在的象限，并用图象表示其变化范围；（2）若还满足条件|+2|4，求的取值区间;（3）若2,求的范围.解：依题意，2k+/22k+（kZ）（1）所以 k+/4/2k+/2（kZ），若 k 为偶数，则/2 是第一象限的角；若 k 为奇数，则/2 是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（

7、不含边界）（2）因为|+2|4，所以62，即（2k+/2，2k+）6，2，结合数轴可知，（3/2，）（/2，2。(3),2222 又,02 提炼方法:理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握角的取值范围与2、/2 角的取值范围间的相互关系。【例【例 2】化简（1）)cos()1sin()1cos(sinkkkk（Zk）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）4266sinsincossin1;(3)若 sincos0，sintan0，化简2sin12sin1+2sin12sin1.解：（1）当 k 为偶数时，原式=cossin)cos(sin=1；当 k 为奇

8、数时同理可得，原式=1，故当Zk 时，原式=-1。（2）原式=222222222sin1sincossin3cossincossin1=3(3)由所给条件知是第二象限角，则2是第一或第三象限角.原式=2sin12sin12sin12=|2cos|2=.22sec222sec2是第三象限角）（是第一象限角），（关键点注:（1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号是关键；（2）平方式降次是化简的重要手段之一。【例【例 3 3】（1）确定 lg（cos6sin6）的符号；（2）若2cos1sin+cossin12=0，判断 cos（sin）sin（cos）的符号。解：（1）6 是第四象限的角，cos60

9、，sin60，故 cos6sin60；（cos6sin6）2=1-2sin6cos61，cos6sin61，lg（cos6sin6）0（2）由题意可得cos|cos|sin|sin=0，sincos0，故在第二或第四象限。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1若在第二象限，则 0sin1，-1cos0，cos（sin）0，sin（cos）0；原式0。2若在第四象限，则-1sin0，0cos1，cos（sin）0，sin（cos）0；原式0。思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。【例【例 4 4】时

10、钟上自 7 点整到分针与 时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长 11cm,求分针转过扇形的面积.解:设分针转过的弧度数的绝对值为 x,则时针转过的角的弧度数的绝对值为76x,由分针、时针转过的时间相等得：303607()6xx（分钟）1411x。分针转过扇形的面积2221114|1177()2211Sx rcm答：分针转过1411，转过扇形的面积为 77cm2.【研讨【研讨.欣赏】欣赏】证明：(1)cos1sinsin1coscossin1sincos2(2)若 sin=msin,tan=ntan,且,为锐角,则221cos1mn证明(1)法一：右边=22coscossinsin1

11、sin1 coscossin1 sincos1 sin1 cos2 cossin1 sincos2 1 sincossincos222 cossin1 sincos1 sincos2sin2cos2sincoshttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2cossin1cossin1sincos2左边法二：要证等式即证2 cossincossin1 sincos1 sin1 coscossin1 sincos1 sin1 cos只需证2cossin1cos1sin12即证2222sin2cos2sincos1 sincos2sin2cos2sincos 即22cossin1

12、显然成立,所以原等式成立。(2)(注意结论,应消去)由tantansincoscossinmn得由 sin=msin得sinsinm,代入得 ncos=mcos与平方相加得(n2-1)cos2=m2-1.是锐角,221cos1mn思维点拨：证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较法等.常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“”的代换五提炼总结以为师1.任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷

13、搜题网围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1”的灵活代换:如1=sin2+cos2=sec2tan2=csc2cot2=tancot.4.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.5.cossin，cossin，cossin三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。同步练习4.1 三角函数的概念与基本公式三角函数的概念与基本公式【选择题】1.（2004.辽宁卷）若则角且,02sin,0co

14、s的终边所在象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.（2005 山东）函数0,01),sin()(12xexxxfx，若2)()1(aff，则a的所有可能值为（）（A）1（B）22,1（C）22（D）22,13.设、是第二象限的角，且 sinsin，则下列不等式能成立的是()A.coscosB.tantanC.cotcotD.secsec【填空题】http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网4.化简8sin1=_.5.已知 sin+cos=51，那么角是第_象限的角.6.已知扇形的周长为 20，当扇形的半径 r=_时，扇形的面积最大，面积的最大值等于_；练习简

15、答：1-3.DBA;3.A 与 D 互斥，B 与 C 等价，则只要判断 A 与 D 对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选 A.4.8sin1=24cos4sin）（=|sin4cos4|=sin4cos4.5.两边平方得 1+2sincos=251，sincos=25120.是第二或第四象限角.6.当5r时面积最大，最大值为 25【解答题】7.已知34，3，求2的范围。解：设 2-=A（+）+B（-），（A，B 为待定系数），则 2-=（A+B）+（A-B）。比较两边的系数得 A=21，B=23；2-=21（+）+23（-），从而可求得26。思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由

16、条件得出、的范围，再求 2的范围比实际范围要大。8.已知2tan，求（1）cos3sin5cos2sin4的值；（2）2cossin3sin52的值。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：（1）法一：由已知 sin=2cos，原式=136；法二：2tan，cos0，原式=3tan52tan4=136。（2）2cossin3sin52=2222cossincos2cossin3sin3=1tan2tan3tan322=516提炼方法：关于cos,sin的齐次式的一般处理方法。.(1)已知,0,51cossin，求cot的值。（2）znnn414cos414sin化简

17、解：(1)由已知51cossin得2512cossin，所以cos,sin是方程02512512xx的两根，53,5421xx而43cot,53cos,54sin,0思维点拨：常用关系tcossin，则21cossin2t在解题中的作用。(2)原式=4cos4sinnn当 n 为奇数时，设zkkn12，则原式=42cos42sinkk=04cos4cos4cos4sin。当 n 为偶数时，设zkkn 2，同理可得原式=0。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1.求证：sintansintansintansintan证明：左边=cos1sincossinsinsin2

18、右边=cos1sincos1sincos1cos1sincos1sincossinsin2所以原等式成立（1）已知)(5cosNnnnf，求(1)(2)(2004)fff的值。（2）已知(0,),且 sin,cos是关于 x 的方程 5x2-x+m=0 的根,求 sin3+cos3和 tan的值.解：（1）条件中的5n表示 10 条不同终边的角，这 10 条终边分成 5 组，每组互为反向延长线，余弦值的和为零.f（1）+f（2）+f（2004）=f（1）+f（2）+f（4）+f(5)+f(6)+f(2004)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)234coscoscoscos555522co

19、scoscoscos05555（2）由韦达定理得:1sincos5sincos5m由(sin+cos)2=1+2sincos得121212555mm 12sincos5,Sin3+xos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网=(sin+cos)(1-sincos)=13737525125又 0,sincos0,cos0sin-cos=2(sincos)71 2sincos5.【探索题】是否存在、，（2，2），（0，）使等式 sin（3）=2cos（2），3cos（）=2cos（+）同时成立?若存在，求出、的值；

20、若不存在，请说明理由.解：由条件得sin2sin3cos2cos，2+2得 sin2+3cos2=2，cos2=21.（2，2），=4或=4.将=4代入得 cos=23.又（0，），=6，代入可知，符合.将=4代入得=6，代入可知，不符合.综上可知=4，=6.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网备选题:已知 sin是方程 5x2+7x-6=0 的根,且(0,)2,求22215sin(2)cos()cot()222k的值.解:解方程 5x2+7x-6=0 得,x1=-2(舍),x1=3sin5.1sin(2)sin()225cos()cos()22cot()tan2k所求式=1+tan2=2211253cos161()5