2010年高考数学解答题分类汇编——三角函数doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编三角函数三角函数（2010 上海文数）上海文数）19.19.（本题满分（本题满分 1212 分）分）已知02x，化简：2lg(costan1 2sin)lg 2cos()lg(1 sin2)22xxxxx.解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20（2010 湖南文数）湖南文数）16.（本小题满分 12 分）已知函数2()sin22sinf xxx（I）求函数()f x的最小正周期。(II)求函数()f x的最大值及()f x取最大值

2、时 x 的集合。（2010 浙江理数浙江理数）（18）(本题满分 l4 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知1cos24C (I)求 sinC 的值；()当 a=2，2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为 cos2C=1-2sin2C=14，及 0C所以 sinC=104.（）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理acsinAsinC，得c=4由 cos2C=2cos2C-1=14，J 及 0C得http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组

3、卷搜题网cosC=64由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得b26b-12=0解得b=6或 26所以b=6b=6c=4或c=4（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数理数）（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由 cosADC=0，知 B.由已知得 cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦

4、定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.（20102010 陕西文数）陕西文数）17.（本小题满分 12 分）在ABC 中，已知 B=45,D 是 BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长.解在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos2222ADDCACAD DC=10036 19612 10 62,htt

5、p:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ADC=120,ADB=60在ABD 中，AD=10,B=45,ADB=60，由正弦定理得sinsinABADADBB,AB=310sin10sin6025 6sinsin4522ADADBB.（20102010 辽宁文数辽宁文数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC中，abc、分别为内角ABC、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（）求A的大小；（）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故

6、120,21cosAA（）由（）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。（2010 辽宁理数辽宁理数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC 中，a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（）求 A 的大小；（）求sinsinBC的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网故1

7、cos2A ，A=1206 分（）由（）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。12 分（2010 全国卷全国卷 2 文数文数）（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由由ADC与与B的差求出的差求出BAD，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦，在三角形的正弦，

8、在三角形 ABDABD 中，由中，由正弦定理可求正弦定理可求得得 ADAD。（20102010 江西理数江西理数）17.（本小题满分 12 分）已知函数 21 cotsinsinsin44f xxxmxx。(1)当 m=0 时，求 f x在区间384，上的取值范围；(2)当tan2a 时，35f a，求 m 的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当 m=0 时，22cos1 cos2sin2()(1)sinsinsin cossin2xxxf xxxxx

9、x1 2sin(2)124x，由已知3,84x，得22,142x 从而得：()f x的值域为120,2（2）2cos()(1)sinsin()sin()sin44xf xxmxxx化简得：11()sin2(1)cos2 22f xxmxhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网当tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a，代入上式，m=-2.（2010 安徽文数）安徽文数）16、（本小题满分 12 分）ABC的面积是 30，内角,A B C所对边长分别为,a b c，12cos13A。()求AB AC ；()若

10、1cb，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A 得sin A的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积AB AC .由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc 求 a 的值.解：由12cos13A，得2125sin1()1313A.又1sin302bcA，156bc.（）12cos15614413AB ACbcA .（）2222cosabcbcA212()2(1 cos)12 156(1)2513cbbcA ，5a.

11、【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是 30，12cos13A，所以先求sin A的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010 重庆文数）(18).(本小题满分 13 分),()小问 5 分，()小问 8 分.)设ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 32b+32c-32a=42bc.()求sinA 的值；()求2sin()sin()441 cos2ABCA的值.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2010 浙江文数浙江文数

12、）（18）（本题满分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为ABC 的面积，满足2223()4Sabc。（）求角 C 的大小；（）求sinsinAB的最大值。（2010 重庆理数重庆理数）（16）（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）设函数 22cos2cos,32xf xxxR。（I）求 f x的值域；（II）记ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若 f B=1，b=1,c=3，求 a 的值。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2010 山东文数）山东文数）(17)（本小题满分 12 分

13、）已知函数2()sin()coscosf xxxx（0）的最小正周期为，（）求的值；（）将函数()yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()yg x的图像，求函数()yg x在区间0,16上的最小值.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（20102010 北京文数北京文数）（15）（本小题共 13 分）已知函数2()2cos2sinf xxx（）求()3f的值；（）求()f x的最大值和最小值解：（）22()2cossin333f=31144 （）22()2(2cos1)(1 cos)f xxx23cos1,xxR因为cos1,1x,所以

14、，当cos1x 时()f x取最大值 2；当cos0 x 时，()f x去最小值-1。（20102010 北京理数北京理数）（15）（本小题共 13 分）已知函数(x)f22cos2sin4cosxxx。（）求()3f的值；（）求(x)f的最大值和最小值。解：（I）2239()2cossin4cos1333344f （II）22()2(2cos1)(1 cos)4cosf xxxxhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网=23cos4cos1xx=2273(cos)33x,xR因为cos x 1,1，所以，当cos1x 时，()f x取最大值 6；当2cos3x 时，(

15、)f x取最小值73（2010 四川理数四川理数）（19）（本小题满分 12 分）（）1证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin；2由C推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin.（）已知ABC 的面积1,32SABAC ，且35cosB，求 cosC.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解：(1)如图，在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角、与，使角的始边为 Ox，交O 于点P1，终边交O 于 P2；角的始边为 OP2，终边交O 于 P3；角的始边为 OP1，终边交O 于 P4.则 P1(1,0),

16、P2(cos,sin)P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin()由 P1P3P2P4及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展开并整理得：22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin.4 分由易得 cos(2)sin,sin(2)cossin()cos2()cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()sincoscossin6 分(2)由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c则 S12bcsinA12ABAC bccosA30A(0,2),cosA3sinA又 sin2A

17、cos2A1，sinA1010,cosA3 1010由题意，cosB35,得 sinB45http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网cos(AB)cosAcosBsinAsinB1010故 cosCcos(AB)cos(AB)101012 分（20102010 天津文数天津文数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC 中，coscosACBABC。（）证明 B=C：（）若cos A=-13，求 sin4B3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分.（）证明：在ABC 中

18、，由正弦定理及已知得sinBsinC=cosBcosC.于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为BC，从而 B-C=0.所以 B=C.（）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA=13.又 02B,ACOCOC ACAC故且对于线段上任意点P 有OPOC，而小艇的最高航行速度只能 达 到 30 海 里/小 时，故 轮 船 与 小 艇 不 可 能 在 A、C（包 含 C）的 任 意 位 置 相 遇，设COD=(0 90),10 3tanRt CODCD则在中，OD=10 3cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需

19、要的时间分别为10 10 3tan30t和10 3costv，所以10 10 3tan3010 3cosv，解得15 33,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故，从而3090,30tan由于时，取得最小值，且最小值为33，于是当30时，10 10 3tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。（2010 安徽理数）16、（本小题满分 12 分）设ABC是锐角三角形，,a b c分别是内角,A B C所对边长，并且22sinsin()sin()sin3

20、3ABBB()求角A的值；()若12,2 7AB ACa ，求,b c（其中bc）。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2010 江苏卷）江苏卷）17、（本小题满分 14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？解

21、析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）tantanHHADAD，同理：tanHAB，tanhBD。ADAB=DB，故得tantantanHHh，解得：tan4 1.24124tantan1.24 1.20hH。因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHhdADDBd，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhH HhdH Hhdddd()2()H HhdH Hhd，（当且仅当()125 12155 5dH Hh时，取等号）故当5

22、5 5d 时，tan()最大。因为02，则02，所以当55 5d 时，-最大。故所求的d是55 5m。（2010 江苏卷）23.（本小题满分 10 分）已知ABC 的三边长都是有理数。（1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10 分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为,a b c，222cos2bcaAbc，,a b c是有理数，222bca是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，2222bcabc必为有理数，cosA 是有

23、理数。（2）当1n 时，显然 cosA 是有理数；当2n 时，2cos22cos1AA，因为 cosA 是有理数，cos2A也是有理数；假设当(2)nk k时，结论成立，即 coskA、cos(1)kA均是有理数。当1nk时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA，1cos(1)coscoscos()cos()2kAkAAkAAkAA，11cos(1)coscoscos(1)cos(1)22kAkAAkAkA，解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkAcosA，coskA，cos(1)kA均是有理数，2coscoscos(1)kAAkA是有理数，cos(1)kA是

24、有理数。即当1nk时，结论成立。综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。（方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知222cos2ABACBCAAB AC是有理数。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）用数学归纳法证明 cosnA 和sinsinAnA都是有理数。当1n 时，由（1）知cos A是有理数，从而有2sinsin1 cosAAA 也是有理数。假设当(1)nk k时，coskA和sinsinAkA都是有理数。当1nk时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA，sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin)cos(sinsin)cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA，及和归纳假设，知cos(1)kA和sinsin(1)AkA都是有理数。即当1nk时，结论成立。综合、可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。