广东省揭阳市普宁市英才侨中2015_2016学年高二数学上学期第三次月考试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年广东省揭阳市普宁市英才侨中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上）1已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=( )AB7C6D2不等式的解集为( )A（，0（1，+）B0，+）C0，1）（1，+）D（，01，+）3在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于( )A40B42C43D454ABC中内角A、B、C的对边分别是a、b、c若a2c2=bc，sinB=2sinC，则A=(

2、 )ABCD5已知a，b为非零实数，若ab且ab0，则下列不等式成立的是( )Aa2b2BCab2a2bD6等差数列an中，a10，S3=S10，则当Sn取最大值时，n的值为( )A6B7C6或7D不存在7下列命题中正确的是( )A的最小值是2B的最小值是2C的最大值是D的最小值是8在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则ABC是( )A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形9如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即

3、沿直线CB前往B处救援，则cos=( )ABCD10已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cosPOQ取最小值时的POQ的大小为( )ABC2D11在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( )ABCD12已知F（x）=f（x+）1是R上的奇函数，an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（nN*），则数列an 的通项公式为( )Aan=n1Ban=nCan=n+1Dan=n2二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上）13若不等式ax2bx+20的解集为x|x，则a+b=_14如果实数x，y满足约束条件，那么

4、目标函数z=2xy的最小值为_15已知两个等差数列an，bn的前n项的和分别为Sn，Tn，且，则 =_16在等比数列an中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=，则+=_三、解答题（本大题共5小题，共48分）17解关于x的不等式x2+xa（a1）0，（aR）18（1）若x0，y0，x+y=1，求证：+4（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值19ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积20已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项

5、公式；（）设的前n项和Sn21已知数列an满足a1=1，an+1=1，其中nN*（）设bn=，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式an；（）设Cn=，数列CnCn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn对于nN*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由2015-2016学年广东省揭阳市普宁市英才侨中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上）1已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=( )AB7C6D【

6、考点】等比数列 【分析】由数列an是等比数列，则有a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10【解答】解：a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，故选A【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想2不等式的解集为( )A（，0（1，+）B0，+）C0，1）（1，+）D（，01，+）【考点】其他不等式的解法 【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可【解答】解：不等式x（x1）0且x01x或

7、x0，不等式的解集为：（，0（1，+）故选A【点评】本题考察了简单分式不等式的解法，一般是转化为一元二次不等式来解，但要特别注意转化过程中的等价性3在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于( )A40B42C43D45【考点】等差数列的性质 【专题】计算题【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案【解答】解：在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，a4+a5+a6=3a5=42故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质属基础题4ABC中内角A、B、C的对边分别是a

8、、b、c若a2c2=bc，sinB=2sinC，则A=( )ABCD【考点】余弦定理 【专题】解三角形【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简表示出b，代入第一个等式中表示出a，利用余弦定理表示出cosA，把表示出的b与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：已知等式sinB=2sinC，利用正弦定理化简得：b=2c，代入a2c2=bc，得：a2c2=6c2，即a=c，cosA=，A为三角形内角，A=，故选：D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键5已知a，b为非零实数，若ab且ab0，则下列不等式成立的是( )Aa2b2BCab2a2

9、bD【考点】不等式的基本性质 【专题】不等式的解法及应用【分析】A取a=1，b=2，即可判断出；B取a=1，b=2，即可判断出；C取a=2，b=1，即可判断出；D由于a，b为非零实数，ab，可得，化简即可得出【解答】解：A取a=1，b=2，不成立；B取a=1，b=2，不成立；C取a=2，b=1，不成立；Da，b为非零实数，ab，化为，故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题6等差数列an中，a10，S3=S10，则当Sn取最大值时，n的值为( )A6B7C6或7D不存在【考点】等差数列的性质 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由S3=S10，利用等差数列的前n

10、项和公式可得：a7=0即可得出【解答】解：S3=S10，3a1+3d=10a1+d，化为：a1+6d=0，a7=0又a10，当Sn取最大值时，n的值为6或7，故选：C【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7下列命题中正确的是( )A的最小值是2B的最小值是2C的最大值是D的最小值是【考点】基本不等式 【专题】计算题【分析】根据基本不等式的使用范围：正数判断A不对，利用等号成立的条件判断B不对，根据判断C正确、D不对【解答】解：A、当x=1时，f（1）=2，故A不对；B、=2，当且仅当时取等号，此时无解，故最小值取不到2，故B不对；C、x0，

11、当且仅当时等号成立，故C正确；D、x0，当且仅当时等号成立，则，故D不对；故选D【点评】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的验证8在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则ABC是( )A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinBsinC不为0，在等式两边同时除以sinBsinC，移项后再根据两角和与差的余弦函数公式化简，可得出cos（B+C）=0，根据B和C都为三角形的内角，可得两角之和为直角，从而判断出三角形ABC为直

12、角三角形【解答】解：根据正弦定理=2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：（2RsinB）2sin2C+（2RsinC）2sin2B=8R2sinBsinCcosBcosC，即sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC0，sinBsinC=cosBcosC，cosBcosCsinBsinC=cos（B+C）=0，又B和C都为三角形的内角，B+C=90，则ABC为直角三角形故选C【点评】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理解决了

13、边角的关系，是本题的突破点，学生在化简求值时特别注意角度的范围9如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos=( )ABCD【考点】已知三角函数模型的应用问题 【专题】综合题；压轴题【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出ACB的余弦值，利用cos=cos（ACB+30）展开求出cos的值【解答】解：如图所示，在ABC中，AB=40，AC=20，BAC=120，由余弦定理得BC2=AB2+AC22ABACcos120=280

14、0，所以BC=20由正弦定理得sinACB=sinBAC=由BAC=120知ACB为锐角，故cosACB=故cos=cos（ACB+30）=cosACBcos30sinACBsin30=故选B【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力10已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cosPOQ取最小值时的POQ的大小为( )ABC2D【考点】简单线性规划的应用 【专题】计算题；压轴题【分析】画出不等式组式组，对应的平面区域，利用余弦函数在0，上是减函数，再找到POQ最大时对应的点的坐标，就可求出cosPOQ的最小值

15、【解答】解：作出满足不等式组，因为余弦函数在0，上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P与A（7，1）重合，Q与B（4，3）重合时，POQ最大此时kOB=，k0A=7由tanPOQ=1POQ=故选D【点评】本题属于线性规划中的拓展题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）围成的角的问题，注意夹角公式的应用11在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( )ABCD【考点】余弦定理 【专题】计算题；压轴题【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值【解答】解：因为a2+

16、b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC=故选C【点评】本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力12已知F（x）=f（x+）1是R上的奇函数，an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（nN*），则数列an 的通项公式为( )Aan=n1Ban=nCan=n+1Dan=n2【考点】数列与函数的综合 【专题】综合题【分析】由F（x）=f（x+）1在R上为奇函数，知f（x）+f（+x）=2，令t=x，则+x=1t，得到f（t）+f（1t）=2由此能够求出数列an 的通项公式【解答】解：F（x）=f（x+）1在R上为奇函数故F（x）=F（x），

17、代入得：f（x）+f（+x）=2，（xR）当x=0时，f（）=1令t=x，则+x=1t，上式即为：f（t）+f（1t）=2当n为偶数时：an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（nN*）=f（0）+f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=n+1当n为奇数时：an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（nN*）=f（0）+f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）=2=n+1综上所述，an=n+1故选C【点评】本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，要求学生理解f（t）+f（1t）=2本题有一定的探索性综合性强，难度大，易

18、出错解题时要认真审题，仔细解答二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上）13若不等式ax2bx+20的解集为x|x，则a+b=10【考点】一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意和三个二次的关系可得，解方程组可得【解答】解：不等式ax2bx+20的解集为x|x，a0且，解得，a+b=12+2=10故答案为：10【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及韦达定理，属基础题14如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2xy的最小值为5【考点】简单线性规划 【专题】计算题；数形结合；函数思想；不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最

19、值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2xy画出图形：点A（1，0），B（2，1），C（0，1）z在点B处有最小值：z=2（2）1=5，故答案为：5【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法15已知两个等差数列an，bn的前n项的和分别为Sn，Tn，且，则 =【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和 【专题】计算题【分析】令n=9，代入已知的等式，求出的值，然后利用等差数列的求和公式分别表示出S9和T9，利用等差数列的性质得到a1

20、+a9=2a5及b1+b9=2b5，化简后即可得到的值【解答】解：令n=9，得到=，又S9=9a5，T9=9b5，=故答案为：【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及求和公式是解本题的关键16在等比数列an中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=，则+=【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】先把+进行分组求和，再利用等比中项的性质可知a7a10=a8a9，最后把a7+a8+a9+a10=，a8a9=代入答案可得【解答】解：+=（+）+（+）=+=故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质特别是等比中项的性质，属基础题三、解答题（本大题共5小题，

21、共48分）17解关于x的不等式x2+xa（a1）0，（aR）【考点】一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】本题可以先对不等式左边进行因式分解，再对相应方程根的大小进行分类讨论，得到本题结论【解答】解：关于x的不等式x2+xa（a1）0，（x+a）（x+1a）0，当aa1，即时，xa1或xa，当a1a，即a时，xa或xa1，当a1=a，即时，x，当时，原不等式的解集为：x|xa1或xa，当a时，原不等式的解集为：x|xa或xa1，当时，原不等式的解集为：x|x，xR【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题18（1）若x0，y0

22、，x+y=1，求证：+4（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值【考点】不等式的证明；曲线与方程 【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】（1）通分后对分母使用基本不等式；（2）将4x2+y2+xy=1移项后得4x2+y2=1xy4xy，从而得出xy将所求式子两边平方可求出最大值【解答】解：（1）x0，y0，x+y=1，xy（）2=+=4（2）4x2+y2+xy=1，4x2+y2=1xy4xy，xy（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy，2x+y2x+y的最大值是【点评】本题考查了基本不等式的应用，是基础题19ABC中，角A，B，C所对的边分别为

23、a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】（）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=【点评】本题主要考查了正弦

24、定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用20已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设的前n项和Sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和 【专题】计算题【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列bn的通项公式，然后求出Sn（2Sn），即可求得的前n项和Sn【解答】解：（I）设等比数列an的首项为a1，公比为qa3+2是a2，a4的等差中项2（a3

25、+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8a2+a4=20或数列an单调递增an=2n（II）an=2nbn=n2nsn=12+222+n2n 2sn=122+223+（n1）2n+n2n+1 得，sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+1n2n+12【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法21已知数列an满足a1=1，an+1=1，其中nN*（）设bn=，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式an；（）设Cn=，数列CnCn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn对于nN*

26、恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由【考点】数列递推式；数列与不等式的综合 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用递推公式即可得出bn+1bn为一个常数，从而证明数列bn是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；（）利用（）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn对于nN*恒成立，只要，即，解出即可【解答】（）证明：bn+1bn=2，数列bn是公差为2的等差数列，又=2，bn=2+（n1）2=2n2n=，解得（）解：由（）可得，cncn+2=，数列CnCn+2的前n项和为Tn=+=23要使得Tn对于nN*恒成立，只要，即，解得m3或m4，而m0，故最小值为3【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键- 16 -