湖南省邵阳邵东市第一中学2020_2021学年高二数学下学期期中试题202105070368.doc

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1、湖南省邵阳邵东市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x2，B0，1，2，3，4，则（RA）B（）A3，4B2，3，4C0，1D0，1，22已知复数，则|z|（）ABCD13已知，则（ ）ABCD4函数的图象大致是（ ）ABCD5. 已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（ ）AB C D6如右图，在中，则的值为（ ）AB CD7. .某单位有 6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从 6人中留 2人值班，

2、另外 4人分别去张家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游要求每个景点有 1 人游览，每个人只游览一个景点 ，且这 6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A. 120 种B. 180 种C. 240 种D. 320 种8.已知定义域为的奇函数的导函数，当时，若，则的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9设F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，且|F1F2|4，则下列结论正确的有（）Am2 B当n0时，C的离心率是2CF1到渐近线的

3、距离随着n的增大而减小D当n1时，C的实轴长是虚轴长的两倍10已知函数，则（）Af（x）的最大值为3 Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图象关于直线对称 Df（x）在区间上单调递减11已知函数f（x）3x+x3，若0m1n，则下列不等式一定成立的有（）Af（1m）f（n1）Bf（m+n）Cf（logmn）f（lognm）Df（mn）f（nm）12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=2，AB=2，E、F、G 分别是AB、BC、C1D1的中点，则下列说法正确的是（ ）A. B1C D1E B.D1C/平面GEFC.若点 P 在平面ABCD 内，且 D1P/ 平面 GEF，

4、则线段D1P 长度的最小值为2D.若点Q 在平面ABCD 内，且 D1Q B1C，则线段 D1Q 长度的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列。对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为 14.已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，则多面体的外接球的表面积为 .15数列中，且时，有，则 。16. 已知

5、函数，若为区间上的任意实数，且对任意，总有成立，则实数的最小值为_.四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.17已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，（1）求数列、数列的通项公式；（2）若（），求数列的前项和18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinBcosC（1）求A； （2）若bc，且BC边上的高为2，求ABC的面积19. 已知直三棱柱，M，N分别为， 的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角A-BN-C的余弦值.20. 在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实

6、，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：5年花费（万元）人数60100120406020（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在52，136）的人数；（3）以频率估计概率

7、，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望参考数据：；若随机变量 ，则， 21. 已知，曲线上任意一点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为（1）求曲线的标准方程；（2）已知直线l过（与x轴不重合）且交于M，N两点，过F且垂直于直线l的直线m交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.22已知函数，.（1）求函数的极值；（2）若存在，且当时，当时，求证：.2021年邵东一中上学期高二期中考试数学试卷答案一、单项选择题（共8小题）.1解：Ax|x2，B0，1，2，3，4，RAx|x2，（RA）B0，1，2故选：D2解：复数，|z|故选：A3B【

8、解析】因为，所以.故选：B.4D 【解析】，是偶函数，排除A，时，即，当时，又有，因此，排除B，C，故选D5【解析】设圆心为C，设直线与圆的交点的坐标为 ，联立 可得：，即， 所以=又，所以圆的半径故选：D.6【答案】D【解析】，则，所以，故选D7. 【答案】C8【答案】B【解析】解：根据题意，设，若为奇函数，则，则函数为偶函数，当时，又由当时，则，则函数在上为减函数，（2），且，则有；9解：F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，且|F1F2|4，可得2，解得m2，所以A正确；n0时，ab，c，所以e，所以B不正确；F1到渐近线的距离：，随着n的增大而减小，所以C正确；当n1时，C的实轴长

9、：2，虚轴长：2，所以D不正确故选：AC10解：f（x）cos2x+2cosxsinxcos2x+sin2x（sin2x+cos2x）sin（2x+），A：sin（2x+）1，1，f（x）的最大值为，A不正确B：f（x）的最小正周期为T，f（x）的最小正周期为，B正确C：当x时，f（）sin（2+）sin，f（x）的图象关于直线 x对称，C正确D：当x，时，2x+，f（x）在区间，上单调递增，D不正确故选：BC11解：根据题意，函数f（x）3x+x3，易得f（x）在R上为增函数，对于A，无法判断1m与n1的大小，故f（1m）f（n1）不一定成立，A错误，对于B，若0m1n，则有2m+n，则f（

10、2）f（m+n），B正确，对于C，当n，m2时，logmnlogmn1，则有f（logmn）f（lognm），C错误，对于D，若0m1n，则mnnm，则有f（mn）f（nm），D正确，故选：BD12.ABD 解析：连结,.,，面.又面，故选项是正确的；又，面面，又面，面选项是正确的. 若在平面内，且面，则的轨迹是直线，此时的最小值为时。选项是错误的. 面，且，点的轨迹是直线，的最小值是时，即与重合，选择项是正确的，故选：ABD.三、填空题第13题： 【答案】B【解析】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前

11、一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列。如图:由图可得:解得,故选B14.答案：解：法一：的外接圆半径为，；法二：，；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：，案815； 16、【答案】）3【解析】依题意，故在上单调递增，不妨设，则且，原不等式即为.令，依题意，应满足在上单调递减，即上恒成立.即在上恒成立，令，则（i）若，此时在上单调递增，故此时（ii）若，时，单调递增；时，单调递减；故此时，故对于任意，满足题设条件的最小值为3.故答案为:3四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演

12、算步骤.17【答案】（1）（），（）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题设可得的方程组，求出其解后可得所求的通项公式.（2）利用裂项相消法和分组求和可得【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），则由已知可得解得或（舍），所以，（），（）.（2）由（1）知，所以18解：（1）因为sinBcosC，所以2absinBc2a2+2abcosC，由余弦定理得，c2a2+b22abcosC， 所以2absinBb2，即2asinBb，由正弦定理得，所以2sinAsinBsinB，因为sinB0，故sinA，由A为锐角，A，（2）由题意得，S，所以

13、bc4，因为bc，所以c216a，b23a，由余弦定理得，cosA，解得a7，所以S719. 【详解】（1）证明：连接，则在中，分别为中点，则，又平面，平面，所以平面（2），满足，又直三棱柱，则可建立如图所示的空间直角坐标系，设为平面的一个法向量，则，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，则.所以二面角的余弦值为.20. 【答案】（1）8，8；（2）81850；（3）分布列见解析，【分析】（1）首先根据表格求对应数据的频率，再根据频率和每组花费的中间值计算平均数和方差；（2）由（1）知， ，根据参考数据计算求值；（3）由（1）知，花费在的频率是，所以，利用二项分布求分布列和数学期望【解析】（1

14、）依题意，整理表格数据如下：5年花费（万元）人数60100120406020频率0.150.250.30.10.150.05依题意，；（2）由（1）可知，；，故所求人数为；（3）依题意，01234则21. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直译法即可求出；（2）分直线斜率存在与不存在两种情况，直线斜率存在时，可以设出斜率，直线与椭圆联立表达出弦长，在与圆联立算出弦长，再运用公式即可.【详解】（1）设动点由题意可知，化简可得：.（2）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得.则，所以.过点且与垂直直线，圆心到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.22【详解】（1）由，当，在上为增函数，无极值，当，；，在上为减函数，在上为增函数，有极小值，无极大值，综上知：当，无极值，当，有极小值，无极大值.（2），所以，当，在上为增函数，所以当时，恒有，即成立；当，在上为增函数，当，在上为增函数，这时，在上为增函数，所以不可能存在，满足当时，所以有.设，得：，由式可得：，即，又，要证，所以由式知，只需证明：，即证，设，只需证，即证：，令，由，在上为增函数，成立，所以由知，成立.14