湖南省岳阳市平江一中2016届高三数学上学期期中试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年湖南省岳阳市平江一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求1已知集合A=x|x1，B=x|x22x0，则AB=( )Ax|x0Bx|x1Cx|1x2Dx|0x22下列命题的说法错误的是( )A若复合命题pq为假命题，则p，q都是假命题B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C对于命题p：xR，x2+x+10 则p：xR，x2+x+10D命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”3下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的是( )ABy

2、=exexCy=x3xDy=xlnx4设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b； 若a，a，则；若a，则a或a； 若ab，a，b，则其中正确命题的个数为( )A1B2C3D46已知函数y=sinx+cosx，y=2sinxcosx，则下列结论正确的是( )A两个函数的图象均关于点（，0）成中心对称B两个函数的图象均关于直线x=对称C两个函数在区间（，）上都是单调递增函数D可以将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

3、7已知向量=（1，3），=（2，m），若与垂直，则m的值为( )A1B1CD8已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=( )ABC1D29一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )ABCD10函数f（x）=sin（x）log2x的零点个数为( )A1B2C3D411设，为单位向量，若向量满足|（+）|=|，则|的最大值是( )A1BC2D212如果数列an满足a1=2，a2=1，且（n2），则这个数列的第10项等于( )ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13x=1是函数f（x）=exmln（2x）的极值点，则m的值为_14设ABC的内角A，B，C

4、的对边分别为a，b，c，且，则c=_15已知数列an的通项公式为an=n2+kn+5，若对于任意的正整数n，都有an+1an，则实数K的范围为_16若正数a，b满足a+b=1，则+的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17已知集合A=y|y=x2x+1，x0.5，2，B=x|x+m21命题p：xA，命题q：xB，且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围18已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosxa，x0，（1）若函数f（x）的最大值为1，求实数a的值；（2）若方程f（x）=1有两解，求实数a的取值范围19已知=（2sin（2x

5、+），2），=（1，sin2x），f（x）=，（x0，）（1）求函数f（x）的值域；（2）设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值20现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=xax2ln，且X（1，t且当X=10时，y=9.2（）求y=f（x）的解析式（）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值21正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T22已知函数f（x）=lnxmx+m，mR（1）求函数f（x

6、）的单调区间；（2）若函数f（x）0在x（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）在（2）的条件下，任意的0ab，证明：1a2015-2016学年湖南省岳阳市平江一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求1已知集合A=x|x1，B=x|x22x0，则AB=( )Ax|x0Bx|x1Cx|1x2Dx|0x2【考点】并集及其运算 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据不等式的解法，B=x|0x2，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可【解答】解：根据不等式的解法

7、，易得B=x|0x2，又有A=x|x1，则AB=x|x0故选A【点评】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题2下列命题的说法错误的是( )A若复合命题pq为假命题，则p，q都是假命题B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C对于命题p：xR，x2+x+10 则p：xR，x2+x+10D命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】A复合命题pq为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，即可判断出正误；B由x23x+2=0，解得x=1，2，可得：“x=1”“x23x+2=0”，反之不成立，

8、可判断出正误；C利用命题的否定定义，即可判断出正误；D利用逆否命题的定义即可判断出正误【解答】解：A复合命题pq为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确；B由x23x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，正确；C对于命题p：xR，x2+x+10 则p：xR，x2+x+10，正确；D命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”，正确故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的是( )ABy=exexCy=x3xDy=x

9、lnx【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可【解答】解：A函数y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，A不满足条件B设y=f（x）=exex，则f（x）=exex=f（x）函数为奇函数，y=ex单调递增，y=ex，单调递减，y=exex在区间（0，+）上单调递增，B满足条件C函数y=x3x为奇函数，到x0时，y=3x21，由y0，解得x或x，f（x）在（0，+）上不是单调函数，C不满足条件D函数y=xlnx的定义域为（0，+），关于原点不对称，D不满足条件故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性

10、的判断和应用，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性4设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列 【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比q=21，但an不是递增数列，充分性不成立若an=1为递增数列，但q=1不成立，即必要性不成立，故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，

11、利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键5设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b； 若a，a，则；若a，则a或a； 若ab，a，b，则其中正确命题的个数为( )A1B2C3D4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】证明题；压轴题；综合法【分析】若ab，a，b，则b，可由线面平行的条件进行证明； 若a，a，则可由面面垂直的判定定理进行判断；若a，则a或a，本题可由面面垂直的性质进行判断；若ab，a，b，则，可由面面垂直的判定定理进行判断【解答】解：若ab，a，b，则b，ab，a，可得出此b或b，再b，可得b由是真命题； 若a，a，由线

12、面平行的性质定理可以得出在内存在一条线c，故可得出，是真命题；若a，由图形即可得出a或a，是正确命题； 由ab，a可推出b或b，再有b，可得出，故是真命题故选D【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定及性质，重点考查了空间立体感知能力及运用相关知识组织判断的能力6已知函数y=sinx+cosx，y=2sinxcosx，则下列结论正确的是( )A两个函数的图象均关于点（，0）成中心对称B两个函数的图象均关于直线x=对称C两个函数在区间（，）上都是单调递增函数D可以将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】综合题；三角函数的图像与性质【分析】化简

13、这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得 A、B、D不正确，C 正确【解答】解：函数y=sinx+cosx=sin（x+），y=2sinxcosx=sin2x，由于的图象关于点（，0）成中心对称，的图象不关于点（，0）成中心对称，故A不正确由于函数的图象不可能关于直线x=成轴对称，故B不正确由于这两个函数在区间（，）上都是单调递增函数，故C正确由于将函数的图象向左平移个单位得到函数y=sin2（x+），而y=sin2（x+）sin（x+），故D不正确故选C【点评】本题考查正弦函数的单调性，对称性，考查和、差角公式及二倍角公式，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口，属于中

14、档题7已知向量=（1，3），=（2，m），若与垂直，则m的值为( )A1B1CD【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】求出向量，然后利用向量垂直数量积为0，求出m的值即可【解答】解：因为向量=（1，3），=（2，m），所以=（3，3+2m），因为与垂直，所以（）=0，即（1，3）（3，3+2m）=0，即3+9+6m=0，所以m=1故选A【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力8已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=( )ABC1D2【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设

15、z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )ABCD【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【

16、分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥【解答】解：该几何体为四棱锥其底面为梯形，上底为1，下底为2，高为1；体高为1；故V=（1+2）11=；故选B【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力10函数f（x）=sin（x）log2x的零点个数为( )A1B2C3D4【考点】函数的零点 【专题】函数的性质及应用【分析】函数f（x）=sin（x）log2x的零点个数，即函数ysin（）与函数 y=log2x的交点的个数，数形结合求得结果【解答】解

17、：函数f（x）=sin（x）log2x的零点个数，即函数y=sin（）的图象与函数y=log2x的图象交点的个数如图所示：由于函数y=sin（）的图象与函数y=log2x的图象的交点的个数为3，故选：C【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题11设，为单位向量，若向量满足|（+）|=|，则|的最大值是( )A1BC2D2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【专题】平面向量及应用【分析】由向量满足|（+）|=|，可得|（+）|=|，即当且仅当|=|即时，即可得出【解答】解：向量满足|（+）|=|，|（+）|=|，=2当且仅当|=|即

18、时，=2故选：D【点评】本题考查了向量模的运算性质、向量的平行四边形法则及其向量垂直，属于难题12如果数列an满足a1=2，a2=1，且（n2），则这个数列的第10项等于( )ABCD【考点】数列递推式 【专题】综合题【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值【解答】解：，即为等差数列，（n2）然后可得d=，故选C【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13x=1是函数f（x）=exmln（2x）的极值点，则m的值为1【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】计算题；函数思想；方程思想；导数的综合应用

19、【分析】求出f（x），由题意可知f（1）=0，由此可求m，验证m的值，x=1是函数的极值点【解答】解：f（x）=exmln（2x），f（x）=exm，由x=1是函数f（x）的极值点得f（1）=0，即e1m1=0，m=1于是f（x）=ex1ln（2x），f（x）=ex1，由x1知 f（x）在x（0，+）上单调递增，0x1且f（1）0，函数是减函数，x=1是f（x）=0的唯一零点也是函数f（x）=exmln（2x）的极值点故答案为：1【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力14设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=【考点】余弦定理；

20、正弦定理 【专题】计算题【分析】由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c的值【解答】解：A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，sinA=，sinB=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，又b=3，由正弦定理=得：c=故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题

21、的关键15已知数列an的通项公式为an=n2+kn+5，若对于任意的正整数n，都有an+1an，则实数K的范围为k3【考点】数列的函数特性 【专题】等差数列与等比数列【分析】由于对于任意的正整数n，都有an+1an，代入可得（n+1）2+k（n+1）+5n2+kn+5，化简利用数列的单调性即可得出【解答】解：对于任意的正整数n，都有an+1an，（n+1）2+k（n+1）+5n2+kn+5，化为k（2n+1），由于数列（2n+1）单调递减，（2n+1）3k3，故答案为：k3【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16若正数a，b满足a+b=1，则+的最大值是【考点】

22、基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】由于正数a，b满足a+b=1，可化为+=2，再利用即可得出【解答】解：正数a，b满足a+b=1，+=2=当且仅当a=b=时取等号+的最大值是故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17已知集合A=y|y=x2x+1，x0.5，2，B=x|x+m21命题p：xA，命题q：xB，且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分，确定实数a的取值范围【解答】（

23、本小题满分解：y=x2x+1=（x）2+，当x，2时，即A=y|B=x|x+m21=x|x1m2，若命题p是命题q的充分条件，则AB，即，解得m或m实数m的取值范围是m或m【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断是基础题18已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosxa，x0，（1）若函数f（x）的最大值为1，求实数a的值；（2）若方程f（x）=1有两解，求实数a的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）利用两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=a由于x0，可得，可得f（x）max=2a=1，解出即可（2）方程f（x）=1，化为

24、=a+1，由于x0，可得要使方程f（x）=1有两解，可得，解出即可【解答】解：（1）函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosxa=+cosxa=ax0，f（x）max=2a=1，a=1（2）方程f（x）=1，化为=a+1，x0，要使方程f（x）=1有两解，则，解得a【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19已知=（2sin（2x+），2），=（1，sin2x），f（x）=，（x0，）（1）求函数f（x）的值域；（2）设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值

25、【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=cos（2x+）+1，由余弦函数的有界性即可求值域（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又结合范围0B，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=2sin（2x+）2sin2x=2（sin2xcos+cos2xsin）（1cos2x）=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1 x0，2x+，1cos（2x+），从而有0f（x），所以函数f（x）的值域为0

26、， （2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0B，所以B+，从而B+=，即B= 因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC=，故C=或，当C=时，A=，从而a=2，当C=时，A=，又B=，从而a=b=1综上a的值为1或2（用余弦定理类似给分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，勾股定理的应用，属于基本知识的考查20现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=xax2ln，且X（1，t且当X=10时，y=9.2（）求y=f（x）的解析式（）求旅游增加值y取得最

27、大值时对应的x值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用 【专题】导数的综合应用【分析】（）利用x=10时，y=9.2，代入y=xax2ln，求出a，得到函数的解析式（）对f（x）求导，得f（x），通过f（x）=0求出极值点，判断函数的导数符号，得到函数的单调性，然后推出最值点即可【解答】（本小题满分12分）解：（）因当x=10时，y=9.2，代入y=xax2ln，即，解得a=所以y=xx2ln，x（1，t（）对f（x）求导，得f（x）=，令f（x）=0得x=1（不合题意），或x=50当1x50时，f（x）0，即f（x）递增，当x50时，f（x）0，即f（x）递减当t50

28、时，x（1，50）时，f（x）0，即f（x）在（1，50）递增，x（50，t）f（x）0，即f（x）在（50，t）递减故当x=50时，y取得最大值当t=50时，x（1，t）时，f（x）0，即f（x）在（1，t）递增，当x=t时，y取得最大值【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及好的最值的求法，正确求出函数的解析式是基础，利用导数求解是解题的关键21正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T【考点】数列的求和；等差数列的通项公式 【专题】计算题；证明题；等差数列与等比数列【分析】（I）由Sn2

29、可求sn，然后利用a1=s1，n2时，an=snsn1可求an（II）由b=，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明【解答】解：（I）由Sn2可得，（Sn+1）=0正项数列an，Sn0Sn=n2+n于是a1=S1=2n2时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，而n=1时也适合an=2n（II）证明：由b=【点评】本题主要考查了递推公式a1=s1，n2时，an=snsn1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用22已知函数f（x）=lnxmx+m，mR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）0在x（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）在（2）的

30、条件下，任意的0ab，证明：1a【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（I）函数f（x）=lnxmx+m，mR，定义域为（0，+）（x0）对m分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出（II）由（1）可知，当m0时，f（x）0不恒成立；当m0时，要使f（x）0恒成立，即lnm1+m0令h（m）=lnm1+m，利用导数研究其单调性极值与最值即可（III）0ab，不妨令b=at（t1），=1，再利用（II）的结论t1时，lntt1即可证明【解答】解：（1）函数f（x）=lnxmx+m，mR，定义域为（0，+）（x0）当m0时，f（x）0，

31、函数f（x）在（0，+）上为增函数；当m0时，令f（x）0，可得，令f（x）0，可得，函数f（x）在上为增函数，在上为减函数（2）由（1）可知，当m0时，f（x）0不恒成立；当m0时，要使f（x）0恒成立，即lnm1+m0令h（m）=lnm1+m，可得m（0，1）时，h（m）为减函数，m（1，+）时，h（m）为增函数，hmin（m）=h（1）=0，m=1m的取值范围是1（3）证明：0ab，不妨令b=at（t1），=1，由（2）知f（x）=lnxx+10，可得lntt1，得，1a【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，考查了利用已经证明的结论解决新问题的能力，属于难题19