八年级数学下册第二十二章四边形22.7多边形的内角和与外角和多边形内角和定理的推广和应用素材新版冀教版.doc

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1、多边形内角和定理的推广和应用凸多边形内角和定理是多边形内角求和的唯一定理。近年来，初中数学竞赛中已多次出现形式比较复杂的多边形角的求和问题，不少同学感到无从着手，本文给出凸多边形内角和定理的推广，从而能简捷、轻松地解决这类问题。定义 各边顺次按逆时针(或顺时针)方向所组成的多边形叫做交边多边形(简称“交边形”)，交边形每相邻两边所组成的小于180的角叫做交边形的内角，如果交边形一条边所在的直线与每一个内角的两边的射线中至少有一条相交，这样的边叫做交边形的始边。定理 设m表示与一条始边所在直线相交的边数(若始边所在直线从某内角的内部经过这角的顶点时，计算一条边与其相交；不计算始边自身)，那么，交

2、边n边形的内角和等于(n-m)180。证明：由m的意义，m必为偶数，设表示交边n边形中与一条始边所在直线相交的边数为m时的内角和。下证 （*）(I)当m=n-1时，最简形为三角形，即每一条边均与始边所在直线相交。设A1A2为始边，A3A4交A1A2于B1，A4A5交A1A2于B2，An-1An交A1A2于B0。如图1，由外角定理得A2B1A4=A3+A2，A1B2A5=A4+A3A2，A1B0An=An-1+An-2A2，()当m=n-2时，最简形为凸四边形，即有一条边与始边所在直线不相交，不妨设为AiAi1。连结AiAi+2，如图2，则()假设m=n-k时，(*)成立。()故当m=n-k-1

3、时，即比()多一条边与始边所在直线不相交，不妨设为AiAi+1，连结AiAi2，如图2，则=k180180=(k1)180。 (*)也成立。(证毕)特别地，当m=2时，上述定理即为凸多边形内角和定理。下面看几个例子。例1 如图3，这是交边七边形，甲图中每条边均可作始边；乙图中1与2的公共边不能作始边，因为5两边的射线没有一条与它所在直线相交。这里m=4，故12+34+56+7=(7-4)180=540。例2 如图4，在一凸五边形外，分别以它的边作三角形，凸四、五、六、七边形，问这些多边形的内角中与原五边形没有邻边的角的和是多少？解：这是交边15边形，原五边形的每一条边均可作始边，这里m=4，故15个内角和等于(15-4)180=1980，即为所求。2