2021高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用热点跟踪训练.doc

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1、热点跟踪训练11(2019天一大联考)已知函数f(x)mexx2.(1)若m1，求曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程；(2)若关于x的不等式f(x)x(4mex)在0，)上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)exx2，则f(x)ex2x.所以f(0)1，且斜率kf(0)1.故所求切线方程为y1x，即xy10.(2)由mexx2x(4mex)得mex(x1)x24x.故问题转化为当x0时，m.令g(x)，x0，则g(x).由g(x)0及x0，得x1.当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减所以当x1时，g(x)maxg

2、(1)2e1.所以m2e1.即实数m的取值范围为2e1，)2(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.(1)证明：当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上没有零点若h(2)0，即a

3、，h(x)在(0，)上只有一个零点若h(2)，因为h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一个零点；由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2，4a)有一个零点因此h(x)在(0，)上有两个零点综上，当f(x)在(0，)上只有一个零点时，a.3(2020潍坊调研)已知函数f(x)ex(ax2xa)(其中常数a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)ex(ax22x)1恒成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为R，且f(x)(axa1)(x1)ex，当a0时，f(x)ex(x1)，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0时，f(x)

4、a(x1)ex，则方程f(x)0有两根1，且1.所以函数f(x)的单调增区间为和(1，)，单调减区间为.综上可知，当a0时，函数f(x)的单调增区间为和(1，)，单调减区间为；当a0时，函数f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(，1)(2)函数f(x)ex(ax22x)1恒成立转化为ax在R上恒成立令h(x)x，则h(x)，易知h(x)在(0，)上为增函数，在(，0)上为减函数所以h(x)minh(0)1，则a1.又依题设知a0，故实数a的取值范围为0，14已知函数f(x)ln x，g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x

5、)f(x)g(x)的两个零点，且x1x2，求证：x1x20)，则F(x)1(x0)，当x1时，F(x)0，当0x0，所以F(x)在(1，)上单调递减，在(0，1)上单调递增F(x)在x1处取得最大值1m，若f(x)g(x)恒成立，则1m0，即m1.(2)证明：由(1)可知，若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点，则m1，0x11x2，要证x1x21，只需证x2F，由F(x1)F(x2)0，mln x1x1，即证lnmlnx1ln x10，令h(x)x2ln x(0x0，故h(x)在(0，1)上单调递增，所以h(x)h(1)0，所以x1x20，所以xa0，所以f(x)0，所以f(x)在定义域(

6、0，)上单调递增；当a0时，因为xa时，f(x)0，所以f(x)单调递增；当0xa时，f(x)0时，f(x)在区间(0，a)上是减函数，在区间(a，)上是增函数(2)f(x)1ln x1ln x1axln xx对任意x(0，1恒成立等价于axln xxmax，x(0，1，令g(x)xln xx，x(0，1，g(x)ln xx1ln x0，x(0，1，所以g(x)在(0，1上单调递增，所以gmax(x)g(1)1，所以a1，故a的取值范围为1，)6(2020江南十校联考)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，f(x)单调递增；若x，f(x)0，f(x)单调递减综上：当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，不满足条件当a0时，f(x)的极大值为fln(a)，由已知得ln(a)0，故a1，此时f(x)ln xx1.不妨设0x1x2，则等价于lnx2x1，即证：ln1)，故g(x)在(1，)上单调递减，所以g(x)g(1)0x2x1.所以对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有成立- 5 -