人教版B版27课标高中数学必修第二册第六章综合测试试题试卷含答案.pdf

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1、高中数学 必修第二册 1/5 第第六六章综合章综合测试测试 一一、单项选择题单项选择题（本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 50 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的）1.已知平面向量(1,2)a；(1,0)b，则向量3 ab等于（）A.(2,6)B.(2,6)C.(2,6)D.(2,6)2.化简：ABDCCB （）A.AD B.AC C.DA D.DB 3.下列说法中正确的是（）A.若ABDC ，则,A B C D四点构成一个平行四边形 B.零向量与单位向量的模相等 C.若a和b都是单位向量，则a

2、b或 ab D.零向量与任何向量都共线 4.在四边形ABCD中，设,ABADBCabc ，则DC 等于（）A.abc B.()bac C.abc D.bac 5.已知平面内两点(2,1),(5,3)AB，则与向量AB 同向的单位向量是（）A.34,55 B.3 4,5 5 C.4 3,5 5 D.43,55 6.在ABC中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，则EB（）A.1344ABAC B.3144ABAC C.1344ABAC D.3144ABAC 7.如图所示，PQ、是ABC的边BC上的两点，且BPQC，则化简ABACAPAQ 的结果为（）A.0 B.BP C.PQ D.PC 8.

3、过ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点,A B C,作l的垂线，垂足分别为,D E F,，若ADBECF0 恒成立，则点M是ABC的（）A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 高中数学 必修第二册 2/5 9.已知,O A B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足0ABAC ，则OC （）A.2OAOB B.2OAOB C.2133OAOB D.1133OAOB 10.在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，2ADDC，4AB，EF、分别为AB、BC的中点，P为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点（如图所示）.若APAFED ，其中,R，则的值是（）A.24 B.3 24 C.2

4、 D.34 二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 2 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 10 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目有多个选项符合题目要求要求，全部选对的得全部选对的得 5 分分，有选错的得有选错的得 0 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分）11.下列命题中不正确的是（）A.两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B.若非零向量AB 与CD 共线，则ABCD、四点共线 C.若非零向量a与b共线，则ab D.四边形ABCD是平行四边形，则必有ABCD 12.下列说法中正确的是（）A.模相等的两个向量是相等向量 B.若230OAO

5、BOC ，,AOCABCSS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOCABCSS C.两个非零向量,a b，若abab，则a与b共线且反向 D.若ab，则存在唯一实数入使得ab 三三、填空题填空题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.将答案填在题中横线上将答案填在题中横线上）13.已知点O固定，且2OA，则A点构成的图形是_.14.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量,OA OB OC OD 满足等式OAOCOBOD ，则四边形ABCD的形状一定为_.高中数学 必修第二册 3/5 15.设向量a，b不平行，向量14ab与 ab平行，则实数_.

6、16.如图，在长方形ABCD中，,M N分别为线段,BC CD的中点，若1212,MNAMBN R，则12的值为_.四四、解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤）17.（10 分）已知向量(1,2),(3,1)ab.（1）求与2 ab同向的单位向量e；（2）若向量113,3 c，请以向量,a b为基底表示向量c.18.（12 分）已知平面内的三个向量(3,2),(1,2),(4,1)abc.（1）若(,)c Rab，求的值；（2）若向量kab与向量2 bc共线，求实数k的值.高中数学 必修第二册

7、 4/5 19.（12 分）如图，在OCB中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2:1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA a，OB b.（1）用,a b表示向量,OC DC ；（2）若OEOA，求的值.20.（12 分）已知向量(,)x yu与向量(,2)yyxv的对应关系用()fvu表示.（1）设(1,1),(1,0)ab，求向量()f a与()f b的坐标；（2）求使()(,)fp qc（,p q为常数）的向量c的坐标；（3）证明：对任意的向量,a b及常数,m n恒有()()()f mnmfnfabab成立.高中数学 必修第二册 5/5 21.（12 分）已知(2,4),(

8、3,1),(3,4)ABC，设AB a，BC b，CA c.（1）求33abc的值；（2）求满足mnabc的实数,m n的值；（3）若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求MN.22.（12 分）如图，已知河水自西向东流，流速为01m/sv，设某人在静水中游泳的速度为1v，在水中的实际速度为2v.（1）若此人朝正南方向游去，且13 m/sv，求他实际前进方向与水流方向的夹角和2v的大小；（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且23 m/sv，求他游泳的方向与水流方向的夹角和1v的大小.高中数学 必修第二册 1/7 第第六六章综合章综合测试测试 答案答案解析解析 一一、1.

9、【答案】A【解析】因为(1,2)a，所以3(3,6)a，又因为1,0b，所以3(3 1,60)(2,6)ab，故选 A.2.【答案】A【解析】ABDCCBABBCCDAD ，故选 A.3.【答案】D【解析】对于选项 A，,A B C D四点可能共线，故 A 不正确；对于选项 B，零向量的模为 0，单位向量的模为 1，不相等，故 B 不正确；对于选项 C，因为a和b都是单位向量，所以ab，但它们的方向是任意的，故 C 不正确；对于选项 D，零向量与任何向量都共线，故 D 正确.故选 D.4.【答案】A【解析】因为四边形ABCD中，AB a，AD b，=BC c，所以DCACADABBCADabc

10、 ，故选 A.5.【答案】B【解析】因为两点(2,1)A，(5,3)B，所以3,4AB ，所以2213 4(3,4),5 5|34ABAB ，所以与向量AB 同向的单位向量为3 4,5 5，故选 B.6.【答案】B【解析】因为在ABC中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，所以11131()22244EBABAEABADABABACABAC ，故选 B.7.【答案】A【解析】因为BPQC，所以0PBQC，所以()()=0ABACAPAQABAPACAQPBQC ，故选 A.8.【答案】B【解析】因为过ABC内一点M任作一条直线l，可将此直线特殊为过点A，则0AD ，则0BECF 恒成立如图

11、：高中数学 必修第二册 2/7 则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是ABC的重心，故选 B.9.【答案】A【解析】由向量的运算法则可得ABOBOA ，ACOCOA ，又0ABAC ，则()()0OBOAOCOA ，即2OBOCOA ，即2OCOAOB ，故选 A.10.【答案】A【解 析】因 为P为 以A为 圆 心，AD为 半 径 的 圆 弧DE的 中 点，所 以2APADAE ，45DAPEAP，所以2222APAEAD ，因为在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，2ADDC，4AB，EF、分别为ABBC、的中点，所以易证得四边形

12、BCDE为平行四边形，故EDADAE ，11312222AFABBFABBCABEDAEAD ，若APAFED ，则223131()222222AEADAEADADAEAEAD ，即23,2221,22解得2,22,4故24，故选 A.二二、11.【答案】ABC【解析】A 中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以 A 中命题不正确；B 中，向量AB 与CD 共线，只能说明AB、CD 方所在直线平行或在同一条直线上，所以 B 中命题不正确；C 中，向量a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以 C 中命题不正确；D 中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB 与CD 是

13、相反向量、所以ABCD ，所以 D 中命题正确、故选 ABC.12.【答案】BC 高中数学 必修第二册 3/7【解析】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故 A 选项错误；设AC的中点为M，BC的中点为D，因为230OAOBOC ，所以2 220OMOD，即2OMOD，所以O是线MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的13，而B到AC的距离等于D到AC距离的 2 倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16，根据三角形面积公式可知B选项正确；C 选项中，当a与b共线且反向时，可知abab成立，当a与b不共线或共线方向相同时，结论不成立，故

14、 C 选项正确；D 选项错误，例如0b.故选 BC.三三、13.【答案】圆【解析】因为2OA，所以点A到点O的距离为 2，故A点构成的图形是以点O为圆心、2 为半径的圆。14.【答案】平行四边形【解析】OAOCOBOD ，OAOBODOC ，BACD，因此四边形ABCD一定为平行四边形.15.【答案】4【解析】,a b不平行，0 ab.又14ab与 ab平行，根据平面向量基本定理，得1,1,4解得4.16.【答案】25【解析】设ABa，ADb（0a，0b），以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(,0),(,),(0,)AB aC

15、a b Db，11,22M abNa b，则1111,2222MNabAMabBNa b ，又1212(,)MNAMBN R，即121111,2222ababa b，则121211,2211,22aaabbb 高中数学 必修第二册 4/7 即12121122112,2 解得121,53,5 所以1225.四四、17.【答案】（1）2(2,4)(3,1)(1,5)ab，22|2|(1)526ab，与2 ab同向的单位向量126 5 26(2),22626 eabab.（2）设(,)Rcab，则113,(1,2)(3,1)(3,2)3，33,112,3 解得2,1,3 123cab .18.【答案

16、】(,2)b，(4,)c，(4,2)bc .又abc，43,22,解得5,98,9139.高中数学 必修第二册 5/7（2）(3,22)akbkk，2(6,3)bc，akb与2bc共线，3(3)6(22)kk，73k .19.【答案】（1）解：因为点A是BC的中点，所以1()2OAOBOC ，所以22OCOAOBab .又 点D是 靠 近 点B将OB分 成2:1的 一 个 内 分 点，所 以23ODOB ，所 以25(2)233DCOCODabbab .（2）解：因 为,C E D三 点 共 线，所 以 存 在 实 数，使 得ECDC ，又(2)(2)ECOCOEabaab ，523DCab，

17、所以5(2)23abab，又,a b不共线，则22513，解得45.20.【答案】（1）解：(1,1),(1,0),ab()(1,2 1 1)(1,1),f a()(0,2 0 1)(0,1)f b.（2）解：(,)s tc，则()(,2)(,)fttsp qc，,2,tptsq2,.spqtp(2,)pq p c.（3）证明：设12,a aa，12,b bb，则1122,mnmanb manbab，222211(),22f mnmanbmanbmanbab，221(),2mfm aaaa，221(),2nfn bbbb，221221222211()(),2,2,22mfnfm aaan bb

18、bmanbmanbmanbab.高中数学 必修第二册 6/7()()()f mnmfnfabab恒成立.21.【答案】（1）解：(2,4),(3,1),(3,4)ABC，且,ABBCCAabc ，(5,5),(6,3),(1,8)abc，333(5,5)(6,3)3(1,8)(6,42)abc，（2）(6,38)mnmnmn bc，65,385,mnmn 1,1.mn （3）解：线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），155,222AMAB，1(2,1)3BNBC ，M点坐标为1 3,2 2，N点坐标为(1,2)，17,22MN.22.【答案】解：设0OAv，1OBv，2OCv，由题意可知201vvv，1OA，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.（1）当此人朝正南方向游去时，四边形OACB为矩形，且3OBAC，如图所示，则在RtOAC中，2222vOCOAAC，高中数学 必修第二册 7/7 3tantan31AOC，又090，所以60.故此人实际前进方向与水流方向的夹角为60，2v的大小为2m/s.（2）由题意知90OCB，且23vOC，1BCOA，如图所示，则在RtOCB，221=2vOBOCBC，13tan33BOC，090BOC，所以30BOC，则9030120.故此人游泳的方向与水流方向的夹角为120，1的大小为2m/s.