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1、2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1、函数的最小正周期为 2、设(为虚数单位),则复数的模为 3、双曲线的两条渐近线的方程为 4、集合共有 个子集5、右图是一个算法的流程图,则输出的的值是 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 7、现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则都取到奇数的概率为 8、如图,在三棱柱中,分别是的中点
2、,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则 9、抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界)。若点是区域内的任意一点,则的取值范围是 10、设分别是的边上的点,若(为实数),则的值为 11、已知是定义在上的奇函数。当时,则不等式的解集用区间表示为 12、在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为 13、在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为 14、在正项等比数列中,则满足的最大正整数的值为 二、解答题:本大题共6小题,共计90分
3、。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、(本小题满分14分)已知向理,。(1)若,求证:;(2)设,若,求的值。16、(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足为,点分别是棱的中点。求证:(1)平面平面; (2)。17、xyAlO(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,点,直线。设圆的半径为,圆心在上。(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线, 求切线的方程;(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐 标的取值范围。18、(本小题满分16分)CBA如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到
4、,然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为。在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,。(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?19、(本小题满分16分)设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和。记,其中为实数。(1)若,且成等比数列,证明:();(2)若是等差数列,证明:。20、(本小题满分16分)设函数,其中为实数。(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函
5、数,试求的零点个数,并证明你的结论。数学(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若有多做,则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A. 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10 分) 如图, AB 和BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心O, 且BC =2OC.求证:AC =2AD.B. 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10 分)已知矩阵,,求矩阵.C. 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10 分)在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为(t为参数)曲线C 的参数方程为(为参数),试求直线l 和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标。 D. 选修4-5:不等式选讲(本小题满分10 分)已知,求证:22.(本小题满分10分)如图,在直三棱术中,,=4,点D是BC的中点。(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值。23.(本小题满分10分) 设数列 :1, - 2, - 2,3, 3, 3,- 4,- 4,- 4,- 4, ,即当时,.记对于,定义集合,且.(1)求集合中元素的个数;(2)求集合中元素的个数.- 12 -
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