专题4 不等式恒成立问题（解析版）-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之导数.docx

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1、专题4 不等式恒成立问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题二、解题秘籍(一) 与不等式恒成立问题有关的结论. xD,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA；. xD,均有f(x)A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x

2、)= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0；. xD,均有f(x)g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x) max g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max；. x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max g(x) min.【例1】（2021届江苏省淮安市高三上学期调研）已知函数,（1）先证明单调性,再求函数在上的最小值；（2）若对,使得,求实数的取值范围.【分析】（1）由证明在上单调递增,在上的最小值为.（2）对,使得,则,根据（1）,在上单调递减,所,所以,即. (二)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题该方法一般

3、是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【例2】（2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期入学考试）已知函数,（,为自然对

4、数的底数）.（1）若函数在上有零点,求的取值范围；（2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.【分析】（1）,设,.时,递增；时,递减.的最大值即的极大值为,所以在上递减,函数在上有零点,则,则.（2）把恒成立转化为恒成立,根据的符号进行讨论：（）,即时,令,在区间上单调递增,在区间上单调递增,恒成立；（）,即时,当时,恒成立,所以在区间上单调递减,所以恒成立,即不成立；当时,所以,又,所以在区间上单调递增,所以在区间上存在唯一的零点,设为,当时,所以在区间上单调递减,所以,即在区间上不成立.综上所述,实数的取值范围为.(三) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值分类参数

5、法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或

6、临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.【例3】已知函数,（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围【分析】（1）求出导函数,分类讨论确定的正负,得单调区间：时,在单调递增,时,在递增,在,递减,在,递增（2）由在上恒成立,得递增,问题转化为对于任意的,不等式恒成立,分离参数为,引入新函数,用导数求得其最小值后可得的范围：记,则,令,则,所以在上递减,所以,故,所以在上单调递减,所以,即实数的取值范围为(四)对于形如时不等式恒成立问题,可构造增函数来求解.基本结论：(1)“若任意,或对任意,则是增函数；(2) 对任意,则是增

7、函数；【例4】已知函数,其中.（1）当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围；（2）若对于任意,恒成立,求的取值范围.【分析】（1）对求导,并令导函数为0,得到或,分类讨论与区间的关系,得到的取值范围是；（2）令,则在上单调递增；对求导,分类讨论当时与当时的情况,得的取值范围：；当时,此时在上单调递增；当时,只需在上恒成立；只需在上恒成立；所以,且,解得；故的取值范围是.三、典例展示【例1】（2021届广东省七校联合体高三下学期第三次联考）已知函数.（1）若函数在定义域上的最大值为,求实数的值；（2）设函数,当时,对任意的恒成立,求满足条件的实数的最小整数值.【解析】（1）由题意,函数的定义域

8、为,当时,函数在区间上单调递增,此时,函数在定义域上无最大值；当时,令,得,由,得,由,得,此时,函数的单调递增区间为,单调减区间为.所以当时,函数有最大值,即,即为所求；（3）只需对任意的恒成立即可.构造函数,且单调递增,一定存在唯一的,使得,即,且当时,即；当时,即.所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则在上单调递增,所以,因此的最小整数值为.【例2】已知函数,其中,为自然对数的底数.（1）当时,对.证明：；若恒成立,求实数的范围；（2）若函数在上存在极值,求实数的取值范围.【解析】（1）证明：当时,则,由于当时,故, 所以,函数在上为增函数,则当时,；依题意,在上恒成立,设,其

9、中,则.（i）当时,此时在上单调递增,故,符合题意；（ii）当时,由知,在上为增函数,则必存在,使得,且当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,所以,不符合题意.综上,实数的取值范围为；（2）,可得,由可得,所以,直线与曲线在上的图象有交点（非切点）,令,其中,则在上恒成立,所以,函数在上单调递减,且,作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图可知,当时,直线与曲线在上的图象有交点（非切点）.因此,实数的取值范围是.【例3】已知函数,且函数与有相同的极值点.（1）求实数的值；（2）若对,不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）求证：.【解析】（1）的定义域为,由得,易知函数在单调递增,在单

10、调递减,故函数的极大值点为,依题意有,解得,经验证符合题意,故.（2）由（1）知,函数在单调递增,在单调递减,又,且,当时,. 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,则,又,此时的取值范围为； 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,则,所以,又,此时的取值范围为.综上,实数的取值范围为.（3）证明：所证不等式即为,下证：,即证,设,则,令,则,易知函数在上单调递减,且,故存在唯一的,使得,即,且当时,即单调递增；当时,即单调递减,在单调递减,又时,故,即；再证：,即证在上恒成立,设,在单调递增,则,即,故,综上,.四、跟踪检测1（2022届江苏省南京市高三上学期开学摸底）已知函数（其中,）

11、（1）当时,求函数的单调区间；（2）对任意的均满足,试确定的取值范围.【解析】（1）当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.（2）由,得,当时,等价于,令,则,设,则,（i）当时,则,记,则,列表讨论：1-0+极小值,.（ii）当时,令,则,故在上单调递增,由（i）得,由（i）（ii）知对任意,即对任意,均有,综上所述,所求的的取值范围是.2（2021届河南省洛阳市高三4月调研）定义在上的关于的函数（1）若,讨论的单调性；（2）在上恒成立,求的取值范围【解析】（1）,时,在上,单调递减在上,单调递增（2）由（1）,若,在上,单调递增,不合题意若,在上,；在上,由题意,若,在上,单调递减,则

12、在上,符合题意,综上所述,3已知函数.（1）设,求函数的最小值；（2）设,对任意、,恒成立,求的最大值.【解析】（1）,令,则,设,其中,则,当时,则,单调递减,当时,单调递增,所以,；（2）,则,由（1）知,因为,则,故.故的最大值是.4已知函数,（1）当时,求的极值；若对任意的都有,求的最大值；（2）若函数有且只有两个不同的零点,求证：【解析】（1）时,则,令,解得：,令,解得：,在递减,在,递增,故的极小值是,没有极大值；对任意都有,即恒成立,由,有,故,由知,在,单调递增,故,可得,即,当时,的最小值是,故的最大值是；（2）证明：要证,只需证明即可,由题意,、是方程的两个不相等的实数根

13、,又,消去,整理得：,不妨设,令,则,故只需证明当时,即证明,设,则,在单调递增,从而,故,即得证5已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）若对任意有恒成立,求实数的取值范围；（2）若函数在区间内有3个零点,求实数的范围.【解析】（1）,.函数的图象在点处的切线的方程为.（1）,（1）,解得,.,.当时,函数取得最大值,.对任意有恒成立,所以,.实数的取值范围是,.（2）由（1）可得：,令,解得,1.列表如下：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时,函数取得极小值（1）；当时,函数取得极大值.要满足函数在区间内有3个零点,解得,则实数的取值范围.6（2021届内蒙古呼和浩特

14、市高三二模）已知函数（1）讨论g(x)的单调性；（2）若,对任意恒成立,求a的最大值；【解析】（1）,当时,在上单调递增；当时,令,解得,令,解得,在上单调递减,在上单调递增；综上,当时,在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）即为,即,设,则,易知函数在上单调递增,而,所以,即,当时,即为,设,则,易知函数在上单调递减,在上单调递增,（e）,即的最大值为7（2021届重庆市第八中学高三下学期适应性月考）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）若对任意恒成立,求实数k的取值范围【解析】（1）,当时,恒成立,则在R上单调递增；当时,时,的单调递增区为；时,的单调递减区间为 （2）对任意的恒成立,即对任意的恒成立令当时,在恒成立,在上单调递减所以只需,即,矛盾当时,在上单调递增,在上单调递减所以只需,即；当时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减；,综上,实数k的取值范围为8已知函数,其中（1）证明：当时,；（2）若在区间上恒成立,求实数的取值范围【解析】（1）证明：当时,令,则,在上单调递增,（2）由题,即,令,易知,且,要满足题意,必有,则,当时,记,在上单调递减,则,即当时,满足题意,综上： 学科网（北京）股份有限公司