专题1 用导数研究含参函数的单调性（解析版）-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之导数.docx

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1、 学科网（北京）股份有限公司 专题1 用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,可以说函数单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的

2、根的情况进行分类,下面我们根据的根的情况总结出8类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：定义域为,可化为单根型方程思路：直接解不等式,确定函数单调区间【例1】讨论的单调性.分析：,根的情况转化为根的情况,根据分别确定递增区间与递减区间.类型二：定义域不是,可化为单根型方程思路：根据根是否在定义域内进行分类【例2】讨论的单调性分析：,根的情况转化为根的情况根据是否在定义域内进行分类(1),在上是增函数；(2),在上是减函数,在上是增函数.类型三：定义域是,可化为类单根型方程思路：根据方程是否有解进行分类【例3】讨论的单调性分析：,根的情况转化为方程根的情况,根据该方程是否有根进行

3、分类,方程无实根,方程有一个实根,注意不要忽略的情况.(1),在上是减函数；(2),在上是减函数,在上是增函数.类型四：定义域不是,可化为类单根型方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类【例4】讨论的单调性分析：,根的情况转化为在上根的情况.步骤一：讨论(无实根)；步骤二：讨论,由得(不在定义域内)；步骤三：讨论,根据是否在定义域内再分.(1),在上是减函数；(2),在上是减函数；(3)(i), ,在上是增函数；(ii),在上是减函数,在上是增函数.类型五：定义域是,可化为双根型方程思路：根据根的大小进行分类【例5】讨论的单调性分析：,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论

4、.(1)在上是增函数,在上是减函数；(2),在上是增函数；(3), 在上是增函数,在上是减函数.类型六：定义域不是,可化为双根型方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类【例6】讨论的单调性分析：,根的情况转化为在上根的情况.步骤一：讨论(根不在定义域内).步骤二：讨论(根据的大小再分)(1),在上是增函数；(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是增函数；(4), 在上是增函数,在上是减函数.类型七：定义域是,可化为类双根型方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类【例7】讨论的单调性分析：,根的情况转化为根的情况.步骤一：讨论(有1个根).步骤二：讨论(根据的大小再分)(1),在

5、上是增函数,在上是减函数；(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是增函数；(4), 在上是增函数,在上是减函数.类型八：定义域不是,可化为类双根型方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类【例8】讨论的单调性分析：,根的情况转化为根的情况.步骤一：讨论(有1个根).步骤二：讨论(不在定义域内)步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分)(1),在上是增函数,在上是减函数；(步骤一二合并)(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是增函数；(4), 在上是增函数,在上是减函数.三、典例展示【例1】（2021陕西省西安高三下学期）已知函数（）（1）求函数的单调区间；（2

6、）若在（0,+）上恒成立,求的取值范围；（3）求证：（）【解析】（1）因为函数,其定义域为（0,+）所以即当时,所以增区间为（0,+）；当时,令得,当时,所以减区间为,当时,所以增区间为；综上：当时, 增区间为（0,+）；当时, 减区间为,增区间为；（2）1当时,函数增区间为（0,+）,此时不满足在（0,+）上恒成立；2当时,减区间为,增区间为,要使在（0,+）上恒成立,只需即可,即,令（）则,解得,因此在（0,1）单调递增,在（1,+）上单调递减,所以当时,取最大值0,故在（0,+）上恒成立,当且仅当时成立,即；（3）由（2）知,令时,（）（）令,则（）（）综上：成立【例2】（2022届四川

7、省内江市高三零模）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数有三个不同的零点、,求的取值范围,并证明：【解析】（1）, 当时,则在上单调递增,无递减区间； 当时,令,得 的解集为,的解集为 则在上单调递减,在上单调递增（2）由（1）知函数f(x)有三个零点,则 在上单调递减,在上单调递增的极大值为,且极大值大于,极小值为 有三个不同的零点, 解得,故的取值范围为 又,当时,有,当时,有 设,由零点存在性定理知 又 ,因此【例3】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个,证明：只有一个零点；【解析】(1)由函数的解析式可得：,当时,若,则

8、单调递减,若,则单调递增；当时,若,则单调递增,若,则单调递减,若,则单调递增；当时,在上单调递增；当时,若,则单调递增,若,则单调递减,若,则单调递增；(2)若选择条件：由于,故,则,而,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.,由于,故,结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得,题中的结论成立.若选择条件：由于,故,则,当时,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.当时,构造函数,则,当时,单调递减,当时,单调递增,注意到,故恒成立,从而有：,此时：,当时,取,则,即：,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.,由于,故,结合函数的单调性可知函数在区

9、间上没有零点.综上可得,题中的结论成立.四、跟踪检测1（2021内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数（1）讨论g(x)的单调性；（2）若,对任意恒成立,求a的最大值；【解析】（1）,当时,在上单调递增；当时,令,解得,令,解得,在上单调递减,在上单调递增；综上,当时,在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）即为,即,设,则,易知函数在上单调递增,而,所以,即,当时,即为,设,则,易知函数在上单调递减,在上单调递增,（e）,即的最大值为2（2022四川省资阳市高三第一次质量检测）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上只有一个极值,且该极值小于,求的取值范围.【解析】（1）由题意,

10、函数,可得,当时,令,解得；令,解得,故在递减,在递增,当时,令,解得或,设,可得,当时,；当时,故,故,由,解得或,由,解得,故在递增,在递减,在递增,综上可得：当时,在递减,在递增,时,在递增,在递减,在递增；（2）当时,由（1）知,在递减,在递增,故,解得,当时,由（1）知在处取极大值,设,则,因为,可得,所以,在递减,所以,所以不合题意,当时,由（1）知在递增,此时在无极值,不符合题意,综上可得,实数的取值范围是.3（2021重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若,记的零点为,的极大值点为,求证：【解析】（1）的定义域为,当时,在上单调递增：当时

11、,在上有唯一正根,当时,单调递减；当时,单调递增；综上,当时,在上单调递增；当时,在上单调递减；在上单调递增.（2）由（1）知,当时,在上单调递增,且,所以在上有唯一零点.又,又,由单调性运算性质可知,在上单调递减,且,故存在,使得,即,当时,单调递减；当时,单调递增；所以是唯一极大值点,所以,故,因此.设,因为,所以在上单调递增,所以.故有,又在上单调递增,所以.4（2021山东省泰安高三高考适应性训练）已知函数,（1）讨论的单调性；（2）若,用表示,的最小值,记函数,讨论函数的零点个数【解析】（1）由已知可得函数的定义域为,当时,故,在上单调递增；当时,时,在上单调递减,时,在上单调递增综

12、上所述,当时,的单调递增区间是,无单调递减区间；当时,的单调递减区间是,的单调递增区间是（2）由（1）可知当时,所以所以所以时,函数的零点个数即为函数在区间内的零点个数,任取,因,所以是偶函数因为当时,在上恒成立,所以时,所以在上单调递增又因为,所以在上没有零点又因为是偶函数,所以在上没有零点当时,令,得由可知存在唯一使得所以当时,单调递增； 当时,单调递减因为,所以当,即时,在上没有零点由是偶函数,可知在上没有零点所以当,即时,在上有个零点由是偶函数,可知在上有个零点综上,当时,有个零点；当时,没有零点即当时,有个零点；当时,没有零点5已知函数,（1）讨论在区间上的单调性；（2）若关于的不等

13、式在区间上恒成立,求的取值范围【解析】（1）,求导得：当时,在上单调递增当时,令,得,单调递增；令,得,单调递减综上,当时,在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增（2）由得,令,则,上式变为当时,上式恒成立；当时,时,不成立；当时,求导得：,所以,则,即综上,6（2021山东省烟台市高三高考适应性练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时,.【解析】（1）函数的定义域为,.令.当时,故在单调递减；当时,为二次函数,.若,即,则的图象为开口向下的抛物线且,所以,故在单调递减；若,即或,令,得,.当时,图象为开口向下的抛物线,所以当或时,所以,单调递减；当时,所以,单调递增；

14、当时,图象为开口向上的抛物线,所以当,所以,故单调递减；当时,所以,单调递增.综上,当时,在和上单调递减,在上单调递增；当时,在单调递减,在上单调递增；当,在单调递减;（2）由（1）知,当时,在单调递减,在单调递增,因此对恒有,即.因为,若成立,则成立.令,则,.因为,所以,所以在单调递增,又,所以当时,所以在单调递增,又,所以对恒有,即.当时,则,由不等式的基本性质可得.因此,原不等式成立.7（2021浙江省高三高考考前模拟）已知函数（）,其中是自然对数的底数（1）判断的单调性；（2）令,记为函数的零点,求证：；（3）令,若对于,恒成立,求的取值范围【解析】（1）,令,故只需讨论的正负性即可

15、,故单调递增,故,故,单调递增；（2）由,故,故单调递增,当时,故,由,代入,得,故,综上所述：；（3）由题意得,即求恒成立时b的取值范围,故单调递增且当时,又,故得,故只需求,当时,解得（*）,令,故,令,故由（*）知,故单调递增,只需,解得,综上所述：的取值范围是.8已知函数,其中为正实数（1）试讨论函数的单调性；（2）设,若存在,使得不等式成立,求的取值范围【解析】（1）根据题意,或,所以当时,则有,或；,此时可得,在,上单调递增,在上单调递减当时,则有,或；,此时可得,在,上单调递增,在上单调递减当时,恒有,此时函数在上单调递增综上可得,当时,在,上单调递增,在上单调递减当时,在,上单调递增,在上单调递减当时,函数在上单调递增（2）根据题意,由（1）可得,若存在,使得不等式成立,则需使,由（1）可知,当时,则有,或；,此时可得,在,上单调递增,在上单调递减,即得在,上单调递增,故有；当时,则有,或；,此时可得,在,上单调递增,在上单调递减当时,即时,在,上单调递减,则有,不合题意；当时,即时,在,上单调递减,在,则有,此时令,则,即得此时在上单调递增,所以（1）恒成立,即恒成立,不合题意；综上可得, 学科网（北京）股份有限公司