数学试题的命制方法一例(《中学数学教学参考》投稿).doc

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1、命题工作富有挑战性、富有开创性，是艰辛而漫长创造的过程.教师应该学会赏析试题，学习命制试题.可谓，解题难，命题更难，且做且珍惜！一道质检试题的命制心路与随想“从特殊到一般，再从一般到特殊”是常见的数学试题命制方法，也就是说从一些特例归纳出一般性结论，再从一般性结论出发构造特例问题.笔者参与了泉州市2014届高中毕业班质检的命题工作，在一道创新型试题的命制历程中，感触颇深.下面谈谈该试题的命制心路与感想，与同行们交流探讨.1试题内容再现1.1题目如图1，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲

2、线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，则曲线的相对于点的“确界角”为（）ABCD 1.2解析由“确界角”的定义可知，曲线相对于点的“确界角”的两边所在直线就是它的渐近线或经过点曲线的切线.（1）当时，方程可化为，所对应的曲线是双曲线的一部分，其渐近线为直线，设其倾斜角为，则；（2）当时，曲线存在过点的切线，设切点，则又，所以，整理得.令，则，所以在上为增函数，且，从而关于的方程的根为.所以过点曲线的切线的斜率.设切线的倾斜角为，则，因为曲线相对点的“确界角”的大小，且.又由，所以曲线相对点的“确界角”的大小，所以答案是B.2试题命制心路2.1归纳从具体到抽象

3、，从特殊到一般笔者在命题过程中，考虑到试卷的权重，需要一个考查有关双曲线的试题，计划安排在选择题的最后一题，具有一定的“压轴”效果.左思右想，分析了双曲线的性质与图形特征，注意到双曲线的渐近线刻画了其“开口”的大小，从而产生一个想法，以渐近线的这个几何特征下一个有关角的新定义，以这个定义为基础考查双曲线与其它知识融合交汇.通过研究，发现如果一条曲线在由一个定点引出的角的内部，则这样的角有无数多个，而且必定存在一个最小角.此时，突然想到这个最小角的特征与数学中的“上确界”的概念类似，从而引入了“确界角”的概念，初步作如下定义.如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们

4、把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.2.2演绎从抽象到具体，从一般到特殊2.2.1类比双曲线，构造“新”的曲线作为具有压轴作用的试题，应该具有较高度的知识交汇，因此设想以分段函数的图象为背景，构造曲线，其中曲线的一部分是双曲线，另一部分也是存在渐近线的曲线.首先进入脑海的是函数.从而考虑在“确界角”的概念基础上，结合双曲线和函数命制试题，得到题目1.题目1如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD2.2.2 变换曲线形式，加大试题难度考虑

5、到基础较好的学生可能很熟悉上述曲线的方程形式，达不到压轴的效果，因此，设想将曲线变换为关于直线对称的曲线，得到形式较新的曲线，同时也考查了化归与转化思想，以及学生思维的灵活性，得到题目2.题目2如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD2.2.3研读考试说明，变换考查内容研讨考试说明，笔者和命组老师认为考查“对勾”函数有超纲嫌疑，应该考查主干知识.因此我们设想从圆和二次函数两个角度构造曲线，从而得到了题目3和题目4.题目3如图1，若曲线在顶点为的角的

6、内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD设计意图：考查双曲线、直线与圆以及直线的斜率与倾斜角等知识；考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想及有限与无限思想等；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等.题目4如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD设计意图：考查双曲线、二次函数、导数、直线

7、的斜率与倾斜角等知识，可利用导数或方程思想解决切线问题，让学生在求解时多一点思维空间.考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想及有限与无限思想等；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等.2.2.4定位思想方法，加大试题难度题目3和题目4虽然在知识与方法的考查上定位在主干知识上，但在难度方面有所欠缺.因此，笔者又想到在考查知识的基础上，注意思想方法的考查，使该题具有压轴的“份量”.于是，设想设置“确界角”的两边所在的直线的倾斜角为“一般角”，且“确界角”为特殊角，同时也要考虑方程的“形式美”，使得一个试题不但具有考查价值，而且具有欣赏价值.基上以上设想

8、，笔者努力地探寻一个凹（凸）函数，它满足：是一个整数；也是一个整数；的图象在点的切线恰好过原点.通过对不断地探究，发现具备以上条件.从而最终得到题目.2.2.5推敲文字表述，规范“确界角”的概念在确定试题承载的曲线后，笔者再仔细地推敲文字表述，感觉对“确界角”的定义表述不够通顺简洁，“确界角”的概念应明确顶点和大小，所以对“新定义”的表述形式作了修正，最终成题.3试题编命制后随想3.1试题的评价功能本题考查了双曲线的渐近线、导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角、三角函数等知识；考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想及创新意识等；考查了学生

9、的数学素养等.具有一定的难度，能够起到“压轴”的效果.3.2试题的导向功能3.2.1重视数学的本质数学的学习应重视数学的本质，试题的命制源于双曲线，“高于”双曲线.试图从双曲线的渐近线本质特征出发，“自然地”抽象出“确界角”的概念，达到“青出于蓝而胜于蓝”的效果.3.2.2重视基本数学思想试题考查了数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想及创新意识等数学思想与方法，体现了“多思少算”的高考命题理念.3.2.3重视创新意识与自学能力试题中提出了“确界角”的新概念，学生在作答时首先必须准确理解这一新概念，并利用新概念进行解题.从而引导我们在教学活动中应培养学生的创新意识与自学能力.3.3试题的命制方法命题是数学老师们平时教学活动的一个重要环节，也是艰辛而又富有挑战性的工作.一份好的试卷或一个好的题倘若能发挥出其应有的功能，往往对提高教学的有效性是大有裨益的.那么，试题的命制有什么一般的方法吗？从以上试题的命制实例中，可以看出，充分利用并挖掘教材，“从特殊到一般，再从一般到特殊”，这是常用的试题命制方法之一.也就是说，我们往往先研究某类对象，从中抽象这类对象的特征，得到一般性结论，再将一般性结论具体化或特殊化，编制出新的试题.