利用导数研究函数的零点问题2.docx

《利用导数研究函数的零点问题2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用导数研究函数的零点问题2.docx（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 导数专题利用导数研究函数零点类型一 不含参数的函数零点问题1.确定函数g(x)x4ln x2的零点个数g(x)的定义域为(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如表所示x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当0x3时，g(x)g（1）43时，g(3)314ln 324ln 32512290.又因为g(x)在(3，)上单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点2已知函数f(x)ln x.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点解f(x)的定义域为

2、(0,1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)上单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)上有唯一零点x1，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)上有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点3已知函数f(x)ln xx2sin x，f(x)为f(x)的导函数（1）求证：f(x)在(0，)上存在唯一零点；（2）求证：f(x)在(0，)有且仅有两个不同的零点证明（1）设g(x)f(x)12cos x，当x(0，)时，g(x)2sin x0，g10，f(x)在(0，)上单调递增；当x(，)时，f(x)fln 220，又因为f22sin 2

3、20，所以f(x)在(0，)上恰有一个零点，又因为f()ln 20，解得x1，令f(x)0，解得0x0，f（1）=20，故f(x)在(0，1)和(1，)各有一个零点； （2） F(x)3f(x)由（1）得x1，x2，使得f(x1)f(x2)0，满足0x110，x(x1，x2)时，f(x) 0， F(x)f(x)，故F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，因为 x1 x20 F(x2)，F()0， 于是F(x)在(，x1 ), (x1，x2) (x2，4) 各有一个零点，故F(x) 在(0，)上的零点有3个5已知函数f(x)xsin xcos x，g

4、(x)x24.（1）讨论f(x)在，上的单调性；（2）令h(x)g(x)4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点（1）解f(x)sin xxcos xsin xxcos x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0,4(1cos x)0，h(x)0，h(x)无零点；当x(0,4)时，h(x)2x4xcos x2x(12cos x)，当x时，h(x)0，h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(x)minh4sin 4cos 20，h(x)在上无零点，在上有唯一零点综上，h(x)在(0，)上有唯一零点，又h(0)0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有三个零点类型二 含有参数的函数的零点问题

5、1已知函数f(x)x28x6ln xm有三个零点，求 m的取值范围解f(x)x28x6ln xm，f(x)2x8(x0)，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(1，3)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x1或x3时，f(x)0，于是，f(x)的极大值f（1）m7，f(x)的极小值f(3)m6ln 315，x0时，f(x)0，因此要使f(x) 有三个零点即7m0，（1）当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增，又f（1）ln 1aa0，当x时，f(x)，所以函数f(x)在定义域(0，)上有1个零点（2）当a0，则x(0，a)时，f(x)0所以函数f(x)在(

6、0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增当xa时，f(x)取得最小值，且f(x)minln a1，当x0时，f(x)，当x时，f(x)（i）当a时，f(a)ln a10，所以函数f(x)在定义域(0，)上有1个零点；（ii）当a时，f(a) 0，所以函数f(x)在定义域(0，)上无零点；（iii）当0a时，f(a) 0，函数f(x)在 (0，a)和(a，)上各有一个零点所以函数f(x)在定义域(0，)上有2个零点方法二由f(x)ln x0可得axln x，设f(x)xln x，则f(x)ln x1，由f(x)0，x令f(x)；令f(x)0，得0x时，axln x，所以函数f(x)在定义域(0，

7、)上无零点；（iii）当0a0，t(x)单调递增，当x(1，)时，t(x)0，t(x)单调递减，故t(x)在x1处取得最大值t(1)1，又当x0(x从右侧趋近于0)时，t(x)，当x时，t(x)，所以当a1时，方程f(x)g(x)有一个实数解；当a1时，方程f(x)g(x)没有实数解4已知函数f(x)exa(x2)（1）当a1时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围解（1）当a1时，f(x)ex(x2)，f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0，所以f(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)（2）解法一：当a0时，f(x)exa0

8、恒成立，f(x)在(，)上单调递增，不符合题意；当a0时，令f(x)0，解得xln a，当x(，ln a)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的极小值也是最小值为f(ln a)aa(ln a2)a(1ln a)又当x时，f(x)，当x时，f(x).所以要使f(x)有两个零点，只要f(ln a)0，可得a.综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围是.解法二：若f(x)有两个零点，即exa(x2)0有两个解，显然x2不成立，即a(x2)有两个解，令h(x)(x2)，则有h(x)，令h(x)0，解得x1，令h(x)0，解得x2或2x1，所以函数h(x)在(，2)和(2，1)上单调递减，在(

9、1，)上单调递增，且当x2时，h(x)0，而当x2(从右侧趋近于2)时，h(x)，当x时，h(x)，所以当a有两个解时，有ah(1)，所以满足条件的a的取值范围是.5已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）方法一：若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，当时，当时，当，且远远大于和，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，即，设，则，求导

10、，由（1），解得：，的取值范围（2）方法二：若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，由（1）可知：当时，取得最小值，当，时，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点的取值范围8已知函数f(x)ax212ln x(aR)（1）当a1时，求证：f(x)0；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围（1）证明当a1时，f(x)x212ln x(x0)，f（1）0.f(x)2x，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，函数f(x)取得最小值，f(x)f（1）0，即f

11、(x)0.（2）解方法一f(x)2ax(x0)，当a0时，f(x)0时，f(x)2ax，可得当x时，函数f(x)取得最小值当x0时，f(x)；当x时，f(x).函数f(x)有两个零点，f(x)minf112ln ln a0，解得0a0，得ln x0，0x1，由h(x)0，x1，函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，h(x)maxh（1）1，当x0时，h(x)，当x时，h(x)0，画出h(x)的草图，如图所示，由ah(x)有两个解，可知0a1，故实数a的取值范围是(0,1)9已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【试题来源】2020-2021学年【补习教

12、材寒假作业】高二数学（理）（北师大版）【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）【解析】（1）函数，定义域为，当时，故在定义域上单调递增，此时无减区间当时，令，得；当时，故单调递增；当时，故单调递减综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减要有两个零点，需满足，即此时，因为，所以在有一个零点；因为，令，所以在单调递增，所以，所以在上有一个零点所以，有两个零点10已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，当时，求零点的个数【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】（1）因为，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程是，即；（2）因为，所以，所以当时，所以在上单调递减因为，所以有且仅有一个零点；当时，令，得，令，得所以在上单调递减，在上单调递增因为，所以在上有且仅有一个零点因为，即，则，所以，则，所以，使得，所以在上有且仅有一个零点所以当时，有两个零点；当时，令，得，令，得所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得最小值，且，所以有且仅有一个零点综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点