高中数学教学论文-数形结合思想在解题中的应用.doc

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1、数形结合思想在解题中的应用知识要点：1数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3纵观多年来的高考试题，巧

2、妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。考点一：利用数形结合的方法解决有关方程和不等式问题：【例题分析】 例1. 若关于的方程的两根都在区间(1，3）内，求的取值范围。解：由的图象可知，要使两根都在区间（1，3）内，只需，同时成立，

3、解得，故说明：，其图象与轴交点的横坐标就是方程的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。其他函数和方程也可以类似得出解决的方法。 例2. 已知，则方程的实根个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B。说明：数形结合法可以解决一些既不是无理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例题中的方程。考点二：利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题 例3. 如果实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 解：等式有明显

4、的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由下图可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为。 例4. 已知满足的最大值与最小值。解：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。 令，原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小截距。 由，得，故的最大值为13，最小值为。例5. 求函数的值

5、域。几何法：的形式类似于斜率公式，表示过两点的直线的斜率。 由于点在单位圆上（见下图） 显然， 设过的圆的切线方程为，则有，解得 即 函数值域为考点三：利用数形结合法解决其它问题： 例6. 若集合，集合，且，则的取值范围为_。解：，显然，表示以（0，0）为圆心，以3为半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即 例7. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，则（ ）A. B. C. 4D. 8解：（1）设椭圆另一焦点为，（如下图），则而又注意到各为的中点是的中位线 （

6、2）若联想到第二定义，可以确定点的坐标，进而求中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出，但这样就增加了计算量，方法较之（1）显得有些复杂。例8. 双曲线C的两个焦点是F1、F2，双曲线上任意一点P，过F2作F1PF2的平分线的垂线平分线交于M，则M的轨迹是A. 圆 B. 直线 C. 双曲线 D. 抛物线解：如图，PM是F1PF2的平分线，F2N是PM的垂线，则F2PM和NPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根据双曲线的定义PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM为中位线，所以：|OM|=a，所以M点的轨迹为以原点为圆心a为半径的圆。说明：数形结合法解决数学问题的

7、关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系。【模拟试题】一. 选择题： 1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 不充分也不必要条件 4. 若不等式的解集为，且，则的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 若时，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数在上为增函数，

8、且函数的图象的对称轴为，则（ ）A. B. C. D. 二. 填空题： 7. 若对任意实数，都有，则，由小到大依次为_。 8. 若关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为_。 9. 函数的最小值为_。 10. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是。三. 解答题：11. 若方程在上有唯一解，求的取值范围。12. 若不等式的解集为，且，求的取值范围。13. 设，试求下述方程有解时的取值范围： 【试题答案】一. 选择题： 1. C解：画出在同一坐标系中的图象即可。确定lgx=1的解为x=10，y=lgx在(0，+)内递增，所以和的图象应该有三个交点。2. D解：画出的图象。 情形

9、1：情形2：3. A解：命题甲：，命题乙：-3，由甲可以得出乙，反之不成立4. B解：画出的图象，依题意，从而，由5. C解：令，若，两函数图象如下图（一）所示，显然当时，要使，只需使，即。 综上可知，当时，不等式对恒成立 若，两函数图象如右图（二）所示，显然当时，不等式恒不成立。 6. A解：的图象是由的图象向左平移2个单位而得到的，又知的图象关于直线（即轴）对称，故可推知，的图象关于直线对称，由在上为增函数，可知在上为减函数，依此易比较函数值的大小。二. 填空题： 7. 解： 由知，的图象关于直线对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由的图象，易知的大小。8. 解： 设画出两函数图

10、象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使9. 解：最小值为对，联想到两点的距离公式，它表示点到（1，0）的距离；表示点到点（3，3）的距离，于是表示动点到两个定点（1，0），（3，3）的距离之和，结合图形，易得。 10. 解：表示倾角为，纵截距为的直线族，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在轴上方的部分（包括圆与轴的交点）如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即三. 解答题： 11. 解：原方程等价于则上述不等式组在上只有一个解。 令在同一坐标系内，画出它们的图象。 其中注意，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当或时，原方程有唯一解，因此的取值范围为 说明：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 12. 解：令，其中表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在轴的上方的部分（包括圆与轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的值，由于不等式解集，因此只需要 的取值范围为13. 解：将原方程化为 ，且 令，它表示倾角为的直线系， 令，它表示焦点在轴上，顶点为的等轴双曲线在轴上方的部分， 原方程有解 两个函数的图象有交点，由下图知或 的取值范围为