构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用.doc

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1、构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。高等数学中两个重要极限12（变形）由以上两个极限不难得出，当时1，2（当时，）下面用构造函数法给出两个结论的证明（1）构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以，即（2）构造函数，则所以函数在上单调递增，所以，即要证两边取对数，即证事实上：设则因此得不等式构造函数下面证明在上恒大于0在上单调递增，即 以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2

2、007年山东理科22一、三年高考1【09天津文】10设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是A B C D【答案】A【解析】由已知，首先令得，排除B，D令，则，当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而综上故选A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力2【09辽宁理】21（本小题满分12分）已知函数，（）讨论函数的单调性； （）证明：若，则对任意，有解：（）的定义域为 2分（i）若即，则，故在单调增加（ii）若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减少，在单调增加（ii

3、i）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加（II）考虑函数则 由于故，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 12分3【09广东理】21（本小题满分14分）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线 （）依题意有，解得，又， 联立可解得， （）， 先证：， 证法一：利用数学归纳法 当时，命题成立， 假设时，命题成立，即， 则当时， ，故 当时，命题成立 故成立证法二：，下证： 不妨设，令，则在上恒成立，故在上单调递减，从而，即综上，成立4【09全国理】22（本小题满分12分）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并

4、讨论的单调性；（II）证明：【解】（I）由题设知，函数的定义域是且有两个不同的根，故的判别式，即 且 又故因此的取值范围是当变化时，与的变化情况如下表：因此在区间和是增函数，在区间是减函数（II）由题设和知 于是设函数 则 当时，；当时，故在区间是增函数于是，当时，因此 wwwks5ucom5【2008年山东理】21（本题满分12分）已知函数其中为常数（I）当时，求函数的极值；（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有【标准答案】（）解：由已知得函数的定义域为，当时，所以（1）当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增（2）当时，恒成立，所以无极值综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小

5、值为当时，无极值（）证法一：因为，所以当为偶数时，令 ，则（）所以 当时，单调递增，又，因此 恒成立，所以 成立当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令 ，则 （），所以 当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立综上所述，结论成立证法二：当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令 ，则 ，当时，故在上单调递增，因此 当时，即成立故 当时，有即 【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类

6、讨论无目标，判断的正负漏掉符号【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性6【2007年山东理】 （22）（本小题满分14分）设函数，其中（I）当时，判断函数在定义域上的单调性；（II）求函数的极值点；（III）证明对任意的正整数，不等式都成立【解】（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得：当时，函数无极值点时，有两个

7、相同的解，时， 时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时， ，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又 时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立7【2008年湖南理】 21（本小题满分13分）已知函数（I）求函数的单调区间；（）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）求的最大值解： （）函数的定义域是，设，则令则当时，

8、在上为增函数，当x0时，在上为减函数所以在处取得极大值，而，所以，函数在上为减函数于是当时，当时，所以，当时，在上为增函数当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）不等式等价于不等式由知，设则由（）知，即所以于是在上为减函数故函数在上的最小值为所以a的最大值为二、两年模拟试题（一）2009年3月试题12009潍坊文科（22）（本小题满分14分） 设函数表示的导函数 （I）求函数的单调递增区间； （）当k为偶数时，数列满足，求数列的通项公式；（）当k为奇数时， 设，数列的前项和为，证明不等式对一切正整数均成立，并比较与的大小解：（）函数的定义域为（0，+）， 又 ， 1分 当k

9、为奇数时，即的单调递增区间为 2分 当k为偶函数时，由，得，即的单调递增区间为，综上所述：当k为奇数时，的单调递增区间为，当k为偶数时，的单调递增区间为 4分（）当k为偶数时，由（）知 所以根据题设条件有是以2为公比的等比数列， 8分（）由（）知，当k为奇数时，由已知要证两边取对数，即证10分事实上：设则因此得不等式 构造函数下面证明在上恒大于0在上单调递增，即 即成立 12分由得即当时， 14分2山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分14分）已知，函数（）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（）若在区间 上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（）当 时，设数

10、列 的前项和为，求证：解：（）的定义域为，由得 2分 当时，递减； 当时，递增 所以不是定义域上的单调函数 4分（）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立6分 即 8分 （）当时，由（）知，在上为增函数， 又当时， ，即 令则，当时， 从而函数在上是递增函数，所以有即得 综上有： 10分 12分 令时，不等式也成立， 于是代入，将所得各不等式相加，得 即即 14分3山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21（本小题满分12分）已知函数，如果在其定义域上是增函数，且存在零点（的导函数） （I）求的值； （II）设是函数的图象上两点，解：（I）因为所以因为上是增函数 所以上恒成立 1分当而上

11、的最小值是1于是（） 可见从而由（）式即得 4分同时，由解得，或由得 此时，即为所求 6分注：没有提到（验证）时，不扣分 （II）由（I），于是 7分以下证明（） （）等价于 8分构造函数则时，上为增函数因此当 即从而得到证明 11分同理可证 12分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分4烟台市三月诊断性检测数学理22（本小题满分14分） 设函数（为自然对数的底数） （1）求的极值； （2）若存在实常数k和b，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足和，则称直线为和的“隔离直线” 试问函数和是否存在“隔离直线”?若存在求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由解：（1）当时，当时此时递减；3当

12、时，此时递增当时，取极小值，其极小值为06（2）由（1）可知，当时，（当且仅当时取等号）若存在和的“隔离直线”，则存在实常数和，使得和恒成立和的图象在处有公共点，因此若存在和的“隔离直线”，则该直线过这个公共点 8设“隔离直线”方程为，即由可得当时恒成立由，得10下面证明当时恒成立令则当时，；当时，此时递增；当时，此时递减当时，取极大值其极大值为0从而即恒成立13函数和存在唯一的“隔离直线”1452009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21（本小题满分12分）已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数（1）求、的表达式；（2）求证：当时,方程有唯一解；（3）当时,若在内恒成立,求的取值范围解

13、：（1）依题意,即,上式恒成立, 1分又,依题意,即,上式恒成立, 2分 由得3分 4分（2）由（1）可知,方程,设,令,并由得解知5分令由 6分 列表分析：（0,1）1（1,+）-0+递减0递增可知在处有一个最小值0, 7分当时,0,在（0,+）上只有一个解即当x0时,方程有唯一解8分（3）设, 9分在为减函数 又11分所以：为所求范围 12分6山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）22已知函数 （注：）（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当时，若直线与函数的图象在上有两个不同交点，求实数的取值范围：（3）求证：对大于1的任意正整数解：（1）因为 所以依题意可得

14、，对恒成立，所以 对恒成立，所以 对恒成立，即（2）当时，若，单调递减；若单调递增；故在处取得极小值，即最小值又所以要使直线与函数的图象在上有两个不同交点，实数的取值范围应为，即；（3）当时，由可知，在上为增函数，当时，令，则，故，即所以故 相加可得又因为所以对大于1的任意正整书（二）2009年4月后7山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20（本题满分12）已知函数（）求的单调区间；（）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点 ，求证：解：（）略（）当时，以下先证， 所以只需证，即设，则所以在时，为减函数， 即又，成立，即同理可证8山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22（

15、本题满分14分）设函数（是自然对数的底数）（）判断函数零点的个数，并说明理由；（）设数列满足：，且 求证：；比较与的大小解：（） 令 当时，在上是增函数 当时，在上是减函数 2分 从而4分 注意到函数在上是增函数， 从而 从而 综上可知：有两个零点 6分（）因为即 所以 7分 下面用数学归纳法证明 当时，不等式成立 假设时， 那么 即 这表明时，不等式成立 所以对， 10分因为考虑函数 12分从而在上是增函数所以即 14分9山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22（本题满分14分）已知函数在上为增函数，且，（1）求的取值范围；（2）若在上为单调函数，求的取值范围；（3）设，若

16、在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围解：（1）由题意，在上恒成立，即 故在上恒成立， 2分 只须，即，只有结合得4分（2）由（1），得在上为单调函数，或者在恒成立 6分等价于即而 8分等价于即在恒成立，而综上，的取值范围是 10分（3）构造函数当时，所以在上不存在一个，使得成立当时， 12分因为所以，所以在恒成立故在上单调递增，只要，解得故的取值范围是 14分10山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 22（本小题满分14分） 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，=271828）

17、和任意正整数，总有；（3）在正数数列中，求数列中的最大项解：由已知：对于，总有成立（1） （2） 1分（1）（2）得均为正数， 数列是公差为1的等差数列 3分 又时，解得 5分（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有6分 9分（3）解：由已知 ， 易得 猜想时，是递减数列 11分 令，则 当时，则，即 在内为单调递减函数， 由知 时，是递减数列，即是递减数列 又，数列中的最大项为 14分三、2010年模拟试题1山东临沂罗庄补习学校数学资料已知（1）求函数的极值点；（2）若函数在上有零点，求的最小值；（3）证明：当时，有成立；（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请

18、说明理由（为自然对数的底数）解：（1）由题意，的定义域为 1分 2分函数的单调递增区间为和，的单调递减区间为，所以为的极大值点， 3分为的极小值点， 4分（2）在上的最小值为且在上没有零点，5分函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，6分易验证当时均有所以函数在上有零点，即函数在上有零点， 的最大值为 9分（3）证明：当时，不等式即为：构造函数则所以函数在上是减函数，因而时，即：时，成立，所以当时，成立；11分（4）因为令，得：，结合得：时，因此，当时，有所以当时，即 12分又通过比较的大小知：，因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项，即 14分2皖南八校2010届高三年级第二次联考21（本小题满分13分） 在数列中， （I）求证：数列为等差数列； （II）若m为正整数，当时，求证：解：（I）由变形得：故数列是以为首项，1为公差的等差数列（5分） （II）（法一）由（I）得（7分）令当又则为递减数列当m=n时，递减数列（9分）要证：时，故原不等式成立（13分）（法二）由（I）得（7分）令上单调递减（9分）也即证，故原不等式成立（13分）