6.2排列与组合-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）.doc

《6.2排列与组合-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6.2排列与组合-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）.doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、6.2 排列与组合 知识梳理一、排列1、排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有_排列_的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数用符号表示为：A2、排列相同的条件两个排列相同，当且仅当两个排列的元素_完全相同_，且元素的_排列顺序_也相同3、排列数的公式：，其中且4、把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，即：也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，即。规定：5、排列数公式也可以写成：，其中且二、组合1、组合：从n个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2、组合数：从n个

2、不同元素中取出m(mn)个元素的_所有组合_的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示为：3、组合数公式：，其中且规定：4、组合数的性质：（1）；（2）知识典例题型一 排列概念例1判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信【精彩点拨】判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题【

3、自主解答】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题巩固练习写出下列问题的所有排列(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列【精彩点拨】(1)直接列举数字(2)先

4、画树形图，再结合树形图写出【自主解答】(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数(2)由题意作树形图，如图故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个题型二 排列公式计算例 2(1)计算：；(2)证明：AAmA.【精彩点拨】第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A进行变形推导【自主解答】(1)法一：.法二：.(

5、2)AA m mA， AA mA.巩固练习给出下列四个关系式： 其中正确的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据阶乘公式判断.根据排列数公式判断根据排列数公式判断.根据排列数公式判断.【详解】因为，故正确. ，故正确.，正确.因为，所以，故不正确.故选：C题型三组合例 3判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】要确

6、定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关【自主解答】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别巩固练习甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛（1）列出所有各场比赛的双方（2）列出所有冠、亚军的可能情况解答解：（1）甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，分别为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），（2）所有冠亚军的可能有12种，

7、分别为（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲丁乙丙），（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（乙丁甲丙），（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（丙丁甲乙），（丁甲乙丙），（丁乙甲丙），（丁丙甲乙）题型四组合公式计算例 4 (1)式子可表示为()AABCC101CD101C(2)求值：CC.【精彩点拨】根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明【自主解答】(1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n100，最小的为n，故101101C.【答案】D(2)由组合数定义知：所以4n5，又因为nN，所以n4或5.当n4时，CCCC5；当n5时，CCCC16.巩固练习（多选）下列等式中，成立的有

8、（ ）ABCD【答案】BCD【分析】根据排列数公式和组合数性质判断【详解】，A错；根据组合数性质知正确；，D正确故选：BCD题型五排列式应用例 55名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（ ）A12种B10种C15种D9种【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求解.【详解】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：.故选：A巩固练习把12345这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第9

9、5项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）.【分析】（1）先考虑大于45312的数，分为两类：第一类5开头的五位数，第二类4开头的五位数，求出对应的个数，即可得出不大于45312的数的个数，进而可到结果；（2）分别求出1开头的五位数，2开头的五位数，3开头的五位数，对应的个数总和为，进而可得出结果；（3）根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结果.【详解】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：第二类4开头的五位数有：45321一个不大于45312的数有：(个)即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：2

10、开头的五位数有：3开头的五位数有：共有(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位数上的数字之和为同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有个五位数，所以这个数列的各项和为.题型六组合式应用例 6 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男女医生都有，则不同的选取方法种数为_(用数字作答).【答案】【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男女医生都有，可分为两类：第一类，若2

11、男1女，共有种不同的选取方法；第二类，若1男2女，共有种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为种.故答案为：.巩固练习从进入决赛的9名选手中决出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有_种.（用数字作答）【答案】【分析】根据分步计数原理计算可得答案.【详解】第一步，决出三等奖，有种；第二步，决出二等奖，有种；第三步，决出一等奖，有种，根据分步计数原理可得，共有种.故答案为：巩固提升1、若，则（ ）A5B6C7D8【答案】B【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可.【详解】解：由得：，解得：或（舍去）.故选：B.2、下列等式不正确的是（ ）ABCD【答案】A

12、【分析】根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案【详解】A，根据组合数公式，A不正确；B，故 B正确；C，故 C正确；D，故 D正确；故选：3、若，则的值为（ ）A60B70C120D140【答案】D【分析】先由可求出n，再代入式子即可求出.【详解】，解得或（舍去），.故选：D.4、某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）A10B30C60D125【答案】C【分析】先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.【详解】根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别， 则有种选

13、法；故选：C.5、某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（ ）A70种B140种C840种D420种【答案】D【分析】先按“男女”或“男女”选出名同学，再排到三个地方，由此计算出不同的方法数.【详解】如果按“男女”选出名同学，则方法数有种，如果按“男女”选出名同学，则方法数有种，再将选出的名同学安排到个地方，则总的方法数有种.故选：D6、三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A72种B108种C36种D144种【答案】D【分

14、析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，利用分步乘法原理，共有种.故选：D7、以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A1480B1468C1516D1492【答案】B【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形

15、不共面的情况数，即可得到答案【详解】因为平行六面体的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，从中任选两个，共有种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-126=1468种，故选：B.8、5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）

16、；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）捆绑法求解即可；（2）插空法求解即可；（3）特殊位置法求解即可；（4）插空法求解即可.【详解】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：；（3）根据题意可得排法为：；（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法.9、现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若本书都不相同，共有多少种分法？（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）种；（2）种；（3）150种.【分析】（1）用挡板

17、法求解；（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3）用分组分配问题的求解方法求解，将本书分成组，将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，即有种不同的分法；（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有种；（3）根据题意，分2步进行分析：将本书分成组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，则有种分法.10、现有编

18、号为，的7个不同的小球（1）若将这些小球排成一排，且要求，三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球排成一排，要求，四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）把，三个球看成一个整体，利用捆绑法可求所有的排法总数；（2）先排好，再就，中哪些在的左侧，哪些在的右侧分类讨论后可求不同的排法总数；（3）从7个位置中选出4个位置给，再排余

19、下元素，从而可得不同的排法总数；（4）三个盒子所放的球数分别为或，就两类情形分别计数后可得不同的排法总数.【详解】（1）把，三个球看成一个整体，则不同的排法总数为种.（2）在正中间，所以的排法只有1种，因为，互不相邻，故，三个球不可能在同在的左侧或右侧，若，有1个在的左侧，2个在的右侧，则不同的排法有，同理可得若，有2个在的左侧，2个在的右侧，不同的排法有，故所求的不同排法总数为种.（3）从7个位置中选出4个位置给，且，四个球按从左到右排，共有排法种，再排余下元素，共有种，故不同排法总数为种.（4）三个盒子所放的球数分别为或，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，故不同的排法总数为.