数学培优微专题解答题部分（解析版）.pdf

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1、高考数学培优微专题讲义解答题篇（ 本资料分享自千人QQ群323031380 ）数学培优微专题 等差等比的证明2数学培优微专题 明确等差等比求通项5数学培优微专题 给和式求通项7数学培优微专题 裂项相消法求和10数学培优微专题 错位相减法求和14数学培优微专题 数列中多规律求和18数学培优微专题 数列的和与不等式22数学培优微专题 边角互化26数学培优微专题 知三解三角形30数学培优微专题 爪型三角形34数学培优微专题 多边多角问题38数学培优微专题 解三角形中的最值问题41数学培优微专题 平行的证明45数学培优微专题 垂直的证明48数学培优微专题 度量角度51数学培优微传题 度量体积和距离56

2、数学培优微专题 探索点的位置及边长的大小60数学培优微专题 求标准方程66数学培优微专题 建设限代化处理轨迹方程68数学培优微专题 圆锥曲线中的三定问题70数学培优微专题 圆锥曲线中的静态求值75数学培优微专题 圆锥曲线中的动态最值80数学培优微专题 回归分析与独立性检验84数学培优微专题 概率分布列92数学培优微专题 确定函数处理切线单调极值98数学培优微专题 已知单调性求参数范围101数学培优微专题 单调性由一个因式决定103数学培优微专题 单调性由两个因式决定105数学培优微专题 零点极值点个数问题107数学培优微专题 不等式恒成立与分离110数学培优微专题 不等式恒成立与端点相关113

3、数学培优微专题 指对与隐零点问题117数学培优微专题 极值点偏移120数学培优微专题 双变量问题125数学培优微专题 等差等比的证明1. 数列an的前n项和为Sn， Sn=2an-3n(nN*).(1)证明数列an+3是等比数列， 求出数列an的通项公式；证明： Sn=2an-3n， Sn+1=2an+1-3(n+1)，则an+1=2an+1-2an-3， an+1=2an+3，即an+1+3an+3=2，数列an+3是等比数列，a1=S1=3， a1+3=6， 则an+3=62n-1=32n，an=32n-3；2.已知数列 an中， a1=1,a2=4,an+2-4an+1+3an=0,nN

4、 *(1)证明数列 an+1-an是等比数列， 并求数列 an的通项公式；解： (1)an+2-4an+1+3an=0， nN*an+2-an+1=3an+1-3an=3(an+1-an)，an+2-an+1an+1-an=3，数列an+1-an是等比数列， 公比q=3， 首项a2-a1=4-1=3an+1-an=33n-1=3n,a2-a1=3，a3-a2=32，an-an-1=3n-1，把上面的等式相加得an-a1=3+32+33+3n-1，an-1=3(1-3n-1)1-3an=3n-123.数列an满足a1=12， an+1-an+anan+1=0(nN*)(1)求证1an 为等差数列

5、， 并求an的通项公式；解： (1)由已知可得数列 an各项非零，否则， 若有ak=0结合ak-ak-1+akak-1=0ak-1=0，继而ak-1=0ak-2=0a1=0与已知矛盾，所以由an+1-an+anan+1=0可得1an+1 -1an=1，即数列1an 是公差为1的等差数列，所以1an=1a1+ n-1=n+1，所以数列 an的通项公式是an=1n+1 nN24.已知数列 an满足a1=0， an+1=2an+n-1,nN， an的前n项和为Sn，(1)求证： 数列an+n是等比数列， 并求an;(2)求S10解： (1)an+1+n+1an+n=2an+n-1+n+1an+n=2

6、an+2nan+n=2，数列an+n是以a1+1=1为首项， 2为公比的等比数列，an+n=12n-1=2n-1即an=2n-1-n nN*(2)由(1)知，S10=(20-1)+(21-2)+(22-3)+(29-10)=(1+2+22+29)-(1+2+10)=1-2101-2-10(1+10)2=210-1-55=9685.已知数列an的首项a1=35,an+1=3an2an+1,nN*(1)求证： 数列1an-1 为等比数列；(2)记Sn=1a1+1a2+1an， 若Sk100， 求正整数k的最大值；(3)是否存在互不相等的正整数 m， s， n， 使 m， s， n成等差数列， 且

7、am-1， as-1， an-1成等比数列?如果存在， 请给予证明； 如果不存在， 请说明理由解： (1)由题意1an+1 =23+13an ，所以1an+1 -1=13an -13=131an-1又1a1-1=230，所以1an-10(nN*)，所以数列1an-1 为等比数列(2)由(1)可得1an-1=2313n-1，所以1an=213n+1，所以Sn=1a1+1a2+1an=n+213+132+13n=n+213-13n+1 1-13=n+1-13n，若Sk100， 则k+1-13k0，设等比数列an的公比为q， 则q1,an=4qn-1，54a3是a2和a4的等差中项，254a3=a2

8、+a4即2q2-5q+2=0，q1， q=2， an=42n-1=2n+1依题意， 数列bn为等差数列， 公差d=1又s2+s6=32,(2b1+1)+ 6b1+15=32，b1=2， bn=n+1；3.在S3=12， 2a2-a1=3， a8=24这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并作答已知 an 是公差不为 0 的等差数列， 其前 n 项和为 Sn， _， 且 a1， a2， a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn是各项均为正数的等比数列， 且b2=a1， b4=a4， 求数列an+bn的前n项和Tn解： (1)设数列 an公差为d， d0，因为a1， a2， a

9、4成等比数列， 则a22=a1a4故 a1+d2=a1a1+3d化简可得d2=a1d， 因为d0，所以a1=d所以an=nd，若选S3=12， 则6d=12， 即d=2， 则an=2n，若选2a2-a1=3， 则3d=3， 即d=1， 则an=n，若选a8=24， 则8d=24， 即d=3， 则an=3n4.已知等差数列an与正项等比数列bn满足a1=b1=3， 且b3-a3， 20， a5+b2既是等差数列， 又是等比数列(1)求数列an和数列bn的通项公式；解： (1)设等差数列an的公差d， 等比数列bn的公比q(q0)，5由题意得20=b3-a3=a5+b2，即20=3q2-(3+2d

10、)20=(3+4d)+3q ，解得d=2， q=3，an=3+2(n-1)=2n+1， bn=3n.5.已知等比数列an的首项a1=3， 前n项和为Sn， 公比不为1， 4S9是S3和7S6的等差中项(1)求数列an的通项公式;解： (1)设等比数列an的公比为q， 由于q1，所以S3=a1(1-q3)1-q， S6=a1(1-q6)1-q， S9=a1(1-q9)1-q，因为4S9是S3和7S6的等差中项， 所以8S9=S3+7S6，即8a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+7a1(1-q6)1-q，8(1-q9)=1-q3+7(1-q6)，q3(q3-1)(8q3+1)=0，由于

11、q1且q0， 所以8q3+1=0， q3=-18， q=-12，又首项a1=3，所以数列an的通项公式为an=3 -12n-1=(-1)n-132n-1 6.给出以下三个条件： 4a3， 3a4， 2a5成等差数列; 对于 n N*， 点 (n,Sn)均在函数y=2x-a的图像上， 其中a为常数;S3=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整， 并求解设an是一个公比为q(q0,q1)的等比数列， 且它的首项a1=1， (1)求数列an的通项公式;解： 若选：因为4a3,3a4,2a5成等差数列， 所以23a4=4a3+2a5，又因为数列 an是等比数列， 即q2-3q+2=0解得q=

12、2或q=-1，又a1=1， 所以数列 an是首项为1， 公比为2的等比数列，所以数列 an的通项公式an=2n-1，若选：点(n,Sn)均在函数y=2x-a的图像上， 所以Sn=2n-a，又因为a1=S1=2-a， 所以a=1， 所以Sn=2n-1， 所以S2=3， 所以a2=2,q=2，所以数列 an是首项为1， 公比为2的等比数列，所以数列 an的通项公式an=2n-1，若选：S3=7， 因为 an是公比为q(q0,q1)的等比数列，所以a1(1-q3)1-q=7， 即q2+q-6=0解得q=2或q=-3(舍去)，所以数列 an是首项为1， 公比为2的等比数列，所以数列 an的通项公式an

13、=2n-1；6数学培优微专题 数列求通项之给Sn求an1. 已知数列 an的前n项和为Sn， 且满足Sn=2an-2n+1(1)求an和Sn；解： (1)S1=2a1-1， 得a1=1，由Sn=2an-2n+1，得Sn+1=2an+1-2 n+1+1，-得an+1=2an+1-2an-2，即an+1=2an+2， 即an+1+2=2(an+2)an+2为等比数列， 公比为2， 首项为a1+2=3，an+2=32n-1，an=32n-1-2，Sn=2an-2n+1=32n-2n-3;2.已知数列an的前n项和为Sn， 且满足a1=12， an+2SnSn-1=0(n2)(I)问： 数列1Sn 是

14、否为等差数列？并证明你的结论；(II)求Sn和an；解： (I)数列1Sn 是等差数列， 理由如下：由已知， S1=a1=12， 1S1=2，当n2时， an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，1Sn-1Sn-1=21Sn 为等差数列， 它的首项为2， 公差为2；(II)由(I)知1Sn=2+(n-1)2=2n， Sn=12n，当n2时， an=-2SnSn-1=-212n12(n-1)=-12n(n-1)当n=1时， 显然不符合以上通项，an=12,n=1-12n(n-1),n2；3.已知数列 an的前n项和为Sn， 且an=Sn+n2(1)若数列 an+t是等比数列， 求t的取值；(2)求

15、数列 an的通项公式；解： (1)由a1=S1+12=a1+12， 得a1=1，又由an=Sn+n2， 可得Sn=2an-n，当n1时， an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1)， 即an=2an-1+1，所以a2=2a1+1=3， a3=2a2+1=7，依题意， (3+t)2=(1+t)(7+t)， 解得t=1，故t的取值为1；(2)由(1)知， 当n1时， an=2an-1+1，所以an+1=2(an-1+1)，7又因为a1+1=2，所以数列 an+1是以2为首项， 2为公比的等比数列，所以an+1=22n-1=2n，所以an=2n-1，故数列 an的通项公式为an=2n-

16、1；4.在Sn+1=Sn+ 1， 4Sn-1 是 2n + 1 与 an的等比中项， 4Sn= (1 + an)2(an0)这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答问题： 已知数列an的前n项和为Sn， a1=1， 且满足 _， 若bn=1anan+1，求使不等式b1+b2+bn919成立的最小正整数n解： 选Sn+1=Sn+1， 则Sn+1-Sn=1，所以数列 Sn是首项为S1=a1=1， 公差为1的等差数列，所以Sn=1+(n-1)1=n，所以Sn=n2(nN*)，又an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1(n2)，a1=1也满足上式，所以an=2n-1(nN*).选

17、4Sn-1 是2n+1与an的等比中项，则4Sn-1=(2n+1)an， 4Sn-1-1=(2n-1)an-1， n2，两式相减可得4an=(2n+1)an-(2n-1)an-1， 即(2n-3)an=(2n-1)an-1，则an2n-1=an-12n-3(n2)， 所以数列an2n-1 为常数列，所以an2n-1=a121-1=1，所以an=2n-1(nN*).选4Sn=(1+an)2(an0)， 4Sn-1=(1+an-1)2， n2，两式相减可得4an=(1+an)2-(1+an-1)2，即(an-1)2-(1+an-1)2=0， 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0，所以an

18、-an-1-2=0， 即an-an-1=2(n2)，所以数列an是首项为a1=1， 公差为2的等差数列，所以an=1+2(n-1)=2n-1综上， 不论选， 都可得an=2n-1所以bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，所以b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1919，即12n+19，所以使不等式b1+b2+bn919成立的最小正整数n=105.设数列 an的前n项和为Sn， 已知a1=1， Sn+1-2Sn=1， nN*(1)证明：Sn+1为等比数列， 求出 an的通项公式；解： (1)Sn+1-2Sn=

19、1， Sn+1+1=2 Sn+1， nN*，8因为a1=S1=1， 所以可推出Sn+10 nN*故Sn+1+1Sn+1=2， 即 Sn+1为等比数列， 且首项为S1+1=2， 公比也为2，Sn+1=2n， 即Sn=2n-1，当n2时， an=Sn-Sn-1=2n-1， a1=1也满足此式， an=2n-1；6.在Sn+1=4Sn+1， 3Sn=an+1-2， 3Sn=22n+1+(R)三个条件中选择符合题意的一个条件， 补充在下面问题中， 并加以解答设等比数列an的前n项和为Sn， a1=2， an与Sn满足_，(1)求数列an的通项公式；(2)记数列bn=an(an+1)(an+1+1)，

20、数列bn的前n项和Tn， 求证： Tn19解： (1)不符合条件若选由已知Sn+1=4Sn+1，当n2时， Sn=4Sn-1+1，-可得an+1=4an(n2)，当n=1时， S2=4S1+1可得a2=7， 则a24a1数列an不是等比数列选， 由已知3Sn=an+1-2，当n2时， 3Sn-1=an-2，-可得an+1=4an(n2)，当n=1时， 可得a2=8， 满足a2=4a1数列an是首项为2， 公比为4的等比数列， 即可得an=22n-1.选， 由已知3Sn=22n+1+当n2时， 3Sn-1=22n-1+，-可得3an=22n+1-22n-1=322n-1(n2).当n=1时， a

21、1=2满足an=22n-1数列an是首项为2， 公比为4的等比数列， 即可得an=22n-1.(2)由(1)可得，bn=22n-1(22n-1+1)(22n+1+1)=13122n-1+1-122n+1+1，则Tn=1313-19+19-+122n-1+1-122n+1+1=1313-122n+1+11时， an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1)， 即an=2an-1+1，所以a2=2a1+1=3， a3=2a2+1=7，依题意， (3+t)2=(1+t)(7+t)， 解得t=1，故t的取值为1；(2)由(1)知， 当n1时， an=2an-1+1，所以an+1=2(an-1

22、+1)，又因为a1+1=2，所以数列 an+1是以2为首项， 2为公比的等比数列，所以an+1=22n-1=2n，所以an=2n-1，故数列 an的通项公式为an=2n-1；(3)由(2)知， bn=1an+1 +1anan+1=an+1anan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1则Tn=12-1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-14.已知数列nan-1 的前 n 项和为 n， 数列 bn 满足 b1= 1， bn+1- bn= an， n N* ( ) 求数列an， bn的通项公式；()若数列cn满足cn=a2nb

23、2n,nN*， 证明： c1+c2+cn0故c1+c2+cn4115.已知数列an的前n项和为Sn， 且a1=12， an+1=n+12n an(1)求an的通项公式；(2)设cn=2-Snn(n+1),nN*， Tn是数列cn的前n项和， 证明34Tn1解： (1)由已知得an+1n+1 =12ann， 其中nN ，数列ann 是公比为12的等比数列，又首项a1=12， 则ann=12n， an=n12n；证明： (2)由(1)得， cn=(2-Sn)n(n+1)=n+22nn(n+1)=21n2n -1(n+1)2n+1，Tn=21211-1222+1222-1233+1n2n -1(n+

24、1)2n+1=1-12n(n+1)，又令 f(n)=12n(n+1)， 显然 f(n)在nN*时单调递减，0 f n f(1)=14，故34Tn0， 解得q=2， 所以bn=2n；由b3=a4-2a1， 可得3d-a1=8，由S11=11(a1+a11)2=11b4， 可得a1+5d=16，联立， 解得a1=1， d=3， 由此可得an=3n-2；所以， 数列an的通项公式为an=3n-2， 数列bn的通项公式为bn=2n()设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn，由a2n=6n-2， b2n-1=124n， 有a2nb2n-1=(3n-1)4n，故Tn=24+542+843+(3n-1)4n

25、，4Tn=242+543+844+(3n-1)4n+1，上述两式相减， 得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=12(1-4n)1-4-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8，得Tn=3n-234n+1+83所以数列a2nb2n-1的前n项和为Tn=3n-234n+1+834.已知数列an的前n项和为Sn， 且满足2Sn=3an-3(1)证明数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn=log3an， 记数列bnan 的前n项和为Tn， 证明13Tn0，故数列 Tn为递增数列， 所以TnT1=13，又nN*， 故2n+3413n0，Tn=34-2n+341

26、3n34，因此13Tn345.已知数列an的前n项和为Sn， 且an+1=an+2(nN *)， a3+a4=12， 数列bn为等比数列， 且b1=a2， b2=S3()求an和bn的通项公式；()设cn=(-1)nanbn， 求数列cn的前n项和Tn【答案】 解： ()根据题意， 数列an满足an+1=an+2，则数列an是公差为2的等差数列， 可设公差为d，又由a3+a4=12， 则a3+a3+d=12， 解可得a3=5，则an=a3+(n-3)d=2n-1，又由数列bn为等比数列， 且b1=3， b2=1+3+5=9， 则数列bn的公比为3，则bn=3n，()根据题意， 由()的结论，

27、an=2n-1， bn=3n，则cn=(-1)nanbn=(-1)n(2n-1)3n=(2n-1)(-3)n，则Tn=1(-3)+3(-3)2+(2n-1)(-3)n， -3Tn=1(-3)2+3(-3)3+(2n-1)(-3)n+1， -可得： 4Tn=-3+2(-3)2+(-3)3+(-3)n-(2n-1)(-3)n+1=32-9(4n-1)2(-3)n-1，变形可得： Tn=38-9(4n-1)8(-3)n-16.已知数列 an满足a1=2， an+1=2(Sn+n+1)(nN *)(1)求证：an+1是等比数列； 并写出 an的通项公式(2)求数列 nan的前n项和Sn【答案】 (1)

28、证明： a1=2， an+1=2(Sn+n+1)(nN *)，16a2=2(2+1+1)=8，n2时， an=2(Sn-1+n)，相减可得： an+1=3an+2， n2，变形为： an+1+1=3(an+1)， n2，验证可知n=1时也成立， an+1是等比数列， 首项为3， 公比为3，所以an=3n-1；(2)由(1)得数列 n an+1的通项为n an+1=n3n， 设其前n项和为Tn所以Tn=13+232+332+n3n，3Tn=132+233+334+n3n+1，-得-2Tn=3+32+32+3n-n3n+1=3 1-3n1-3-n3n+1，化简得Tn=32n-343n+34则数列

29、nan的前n项和Sn=Tn-1+nn2，所以Sn=2n-13n+1+34-1+nn217数学培优微专题 数列中多规律求和1. 已知数列an满足a1=1， an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数. (1)记bn=a2n， 写出b1， b2， 并求数列bn的通项公式；(2)求an的前20项和【答案】 解： (1)因为a1=1， an+1=an+1,n为奇数an+2,n为偶数 ，所以a2=a1+1=2， a3=a2+2=4， a4=a3+1=5，所以b1=a2=2， b2=a4=5，bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3，所以数列bn是以

30、b1=2为首项， 以3为公差的等差数列，所以bn=2+3(n-1)=3n-1(2)由(1)可得a2n=3n-1， nN *，则a2n-1=a2n-2+2=3(n-1)-1+2=3n-2， n2，当n=1时， a1=1也适合上式，所以a2n-1=3n-2， nN *，所以数列an的奇数项和偶数项分别为等差数列，则an的前20项和为a1+a2+.+a20=(a1+a3+a19)+(a2+a4+a20)=10+10923+102+10923=3002.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5， b1=2， a2=2b2+1， a3=b3+5(1)求an和bn的通项公式;(2)数列 an 和bn 中

31、的所有项分别构成集合 A、 B， 将集合 AB 中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列cn， 求数列cn的前50项和S50【答案】 解：(1)设等差数列 an的公差为d， 等比数列 bn的公比为q，5+d=4q+15+2d=2q2+5 ， 解得： d=4,q=2，an=4n+1,bn=2n(2)易知 cn的前50项中含有 bn的前7项且含有 an的前43项S50=43 5+1732+2 1-271-2=3827+254=4081.3.已知数列 an的前n项和为Sn， 且n、 an、 Sn成等差数列， bn=2log2(1+an)-1(1)证明数列 an+1是等比数列， 并求数列 an的通

32、项公式；(2) 若数列 bn中去掉数列 an的项后余下的项按原顺序组成数列 cn， 求 c1+ c2+c100的值【答案】 解： (1)因为n， an， Sn成等差数列，所以Sn+n=2an， 所以Sn-1+n-1=2an-1(n2)由-， 得an+1=2an-2an-1，所以an+1=2(an-1+1)(n2)，又当n=1时， S1+1=2a1， 所以a1=1， 所以a1+1=2，故数列an+1是首项为2， 公比为2的等比数列，所以an+1=22n-1=2n，即an=2n-1；(2)据(1)求解知， bn=2log2(1+2n-1)-1=2n-1， b1=1，所以bn+1-bn=2，所以数列

33、bn是以1为首项， 2为公差的等差数列，又因为a1=1， a2=3， a3=7， a4=15， a5=31，a6=63， a7=127， a8=255， b64=127， b106=211， b107=213，所以c1+c2+c100=(b1+b2+b107)-(a1+a2+a7)=107(1+213)2-(21+22+27)-7=1072142-2(1-27)1-2+7=1072-28+9=112024.已知数列 an的前n项和为Sn， 且满足a1=1， 2Sn=nan+1， nN*(1)求 an的通项公式；(2)设数列 bn满足b1=1， bnbn+1=2n， nN*， 按照如下规律构造新

34、数列 cn： a1,b2,a3,b4,a5,b6,， 求 cn的前2 n项和【答案】 解： (1)由2Sn=nan+1， 2Sn-1=(n-1)an(n2)，得2an=nan+1-(n-1)an， 所以an+1n+1 =ann(n2).因为2S1=a2， 所以a2=2， 所以ann=a22=1， an=n(n2)，又当n=1时， a1=1， 适合上式所以an=n， nN*.(2)因为bnbn+1=2n， bn+1bn+2=2n+1， 所以bn+2bn =2(nN*)，又b1b2=2， 所以b2=2所以数列bn的偶数项构成以b2=2为首项、 2为公比的等比数列，故数列cn的前2n项的和T2n=(

35、a1+a3+a2n-1)+(b2+b4+b2n)，T2n=n(1+2n-1)2+2(1-2n)1-2=2n+1+n2-2，所以数列cn的前2n项和为2n+1+n2-2.5.数列an的前n项和为Sn， 且Sn+1-1=Sn+2an(nN*).(1)若数列an+1不是等比数列， 求an；(2)若a1=1， 在ak和ak+1(kN*)中插入k个数构成一个新数列bn： a1， 1， a2， 3， 5， a3， 7， 9， 11，a4， ， 插入的所有数依次构成首项为1， 公差为2的等差数列， 求bn的前50项和T50【答案】 解： (1)由Sn+1-1=Sn+2an， 得Sn+1-Sn=2an+1，则

36、an+1=2an+1，19所以an+1+1=2 an+1，当a1+1=0时， 数列 an+1不是等比数列， 符合题意；当a1+10时， an+1=2 an-1+1=22an-2+1=.=2n-1a1+10，所以an+1+1an+1=2，所以数列 an+1是首项为a1+1， 公比为2的等比数列， 与已知矛盾综上， a1+1=0， 从而an+1=0， 即an=-1；(2)因为a1=1， 则a1+1=2，由(1)知an+1是首项为a1+1， 公比为2的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1，设插入的所有数构成数列 cn， 则cn=2n-1，因为1+2+3+8=36， 36+9=4550，所

37、以b1， b2， ， b50中包含an的前9项及cn的前41项，所以T50=(a1+a2+a9)+(c1+c2+c41)=(2-1)+(22-1)+(29-1)+411+414022=2(1-29)1-2-9+1681=210-11+1681=26946.已知数列an是公差为2的等差数列， 且a1， a5+1， a23+1成等比数列数列bn满足： b1+b2+bn=2n+1-2()求数列an， bn的通项公式；()令数列cn的前n项和为Tn， 且cn=1anan+2,n为奇数-1bn,n为偶数， 若对nN*， T2nT2k恒成立， 求正整数k的值；【答案】 解： ()数列an是公差为2的等差数

38、列， 且a1， a5+1， a23+1成等比数列，可得a1(a23+1)=(a5+1)2， 即a1(a1+44+1)=(a1+9)2，解得a1=3， 即an=3+2(n-1)=2n+1；数列bn满足： b1+b2+bn=2n+1-2，可得b1=2， bn=2n+1-2-2n+2=2n， (n2)， 对n=1也成立，则bn=2n， nN*；()T2n=137+1711+1(4n-1)(4n+3)-14+116+14n=1413-17+17-111+14n-1-14n+320-141-14n1-14=-14+11214n-1 -34n+3，T2n+2-T2n=11214n-34n+7-14n-1

39、+34n+3=11212(4n+3)(4n+7)-34n=1(4n+3)(4n+7)1-(4n+3)(4n+7)4n+1，设dn=(4n+3)(4n+7)4n+1，dn+1-dn=(4n+7)(4n+11)4n+2-(4n+3)(4n+7)4n+1=(4n+7)(-12n-1)4n+21， d41， ，可得T4-T20， T6-T40， T8-T60， ，则T2n中T8取得最小值，T2nT2k恒成立， 可得k=421数学培优微专题 数列的和与不等式1. 已知数列 an是公差为正的等差数列， a2是a1和a3+1的等比中项， a4=4()求 an的通项公式；()若bn=2an， Sn是数列 an

40、bn的前n项和， 求使得Sn0， a2是a1和a3+1的等比中项，则有a1 a3+1=a22，即 a4-3da4+1-d= a4-2d2又由a4=4， 得 4-3d5-d= 4-2d2解得d=1或d=-4(舍去)，故an=a4+(n-4)d=n.()由()可得： bn=2n， anbn=n2n，Sn=12+222+.+n2n2Sn=122+223+.+n2n+1两式相减得： Sn=n2n+1-2-22-.-2n=n2n+1-2(1-2n)1-2=(n-1)2n+1+2又Sn单调递增， S7=1538,S8=3586，所以使得Sn2020成立的最大整数n=72.已知数列an， bn满足： a1=

41、3， 当n2时， an-1+an=4n； 对于任意的正整数n， b1+2b2+2n-1bn=nan.设bn的前n项和为Sn(1)求数列an及bn的通项公式；(2)求满足13Sn14的n的集合【答案】 解： (1)a1=3， 当n2时， an-1+an=4n，可得a1+a2=8， 即有a2=5， a2+a3=12， 即有a3=7，由n3时， an-2+an-1=4n-4， 又an-1+an=4n，相减可得an-an-2=4，可得数列an的奇数项以3为首项， 4为公差的等差数列， 偶数项以5为首项， 4为公差的等差数列，则数列an的奇数项以3为首项， 2为公差的等差数列，可得an=3+2(n-1)

42、=2n+1；当n=1时， b1=a1=3；n2时， b1+2b2+2n-2bn-1=(n-1)an-1， 又b1+2b2+2n-1bn=nan相减可得2n-1bn=n(2n+1)-(n-1)(2n-1)=4n-1，则bn=(4n-1)12n-1；(2)前n项和为Sn=31+712+1114+(4n-1)12n-1，12Sn=312+714+1118+(4n-1)12n，相减可得12Sn=3+412+14+12n-1-(4n-1)12n=3+4121-12n-1 1-12-(4n-1)12n，化简可得Sn=14-(4n+7)12n-113Sn14， 即为1314-(4n+7)12n-114，可得

43、4n-72n-1，则n=1， 2， 上式成立； n=3， 4， 上式不成立；n5且nN， 上式均成立，则所求n的集合为n|n=1,2或n5且nN3.已知正项数列an的前n项和为Sn， an=2 Sn-1(1)求a1的值， 并求数列an的通项an；(2)设bn=an+2an， 数列bn的前n项和为Tn， 求使不等式Tn0， 故Sn-1=Sn-1或Sn-1=1-Sn(舍)， 即Sn-Sn-1=1(n2)，可得Sn是以1为首项， 1为公差的等差数列，所以Sn=n， 则an=2n-1(2)由(1)知an=2n-1， 则bn=an+2an=2n-1+22n-1，所以数列bn的前n项和Tn=n2(1+2n

44、-1)+22n+1-23=n2+22n+1-23因为Tnn2+62n-6， 所以(2n)2-92n+80， 所以12n8， 所以0n0，所以数列bn为递增数列， 最小项为b1=12t125.已知等差数列 an的前n项和为Sn， a3=7， S4=22， 数列 bn是各项均为正数的等比数列， b1=4， b3=64(I)求数列 an和 bn的通项公式；(II)令pn=32+an， 数列 pnpn+2的前n项和An， 求证： An0)a3=7S4=22 ， a3=a1+2d=7S4=4a1+6d=22 ， 解得a1=1d=3 ，数列 an的通项公式为an=a1+(n-1)d=3n-2.b3=b1q

45、2=4q2=64， 由q0， 得q=4，数列 bn通项公式为bn=b1qn-1=44n-1=4n.(II)证明： pn=32+an=32+(3n-2)=1n，pnpn+2=1n(n+2)=121n-1n+2 An=121-13+12-14+13-15+1n-1 -1n+1 +1n-1n+2 =121+12-1n+1 -1n+2 =34-121n+1 +1n+2 1n+1 +1n+2 0An34.6.已知数列an的前n项和为Sn， 且a1=12， an+1=n+12n an(1)求an的通项公式；(2)设bn=n(2-Sn),nN， 若bn对nN*恒成立， 求实数的取值范围(3)设cn=2-Sn

46、n(n+1),nN*， Tn是数列cn的前n项和， 若不等式mTn0， 即b2b1，当n2， bn+1-bn0， 即bn+1bn， b2是最大项且b2=2，2；证明： (3)由(1)得， cn=(2-Sn)n(n+1)=n+22nn(n+1)=21n2n -1(n+1)2n+1，Tn=21211-1222+1222-1233+1n2n -1(n+1)2n+1=1-12n(n+1)，又令 f(n)=12n(n+1)， 显然 f(n)在nN*时单调递减，0 f n f(1)=14，故34Tn0， 所以cosA=12，又A(0,)， 从而得A=3选， 因为cos2B -C2-cosBcosC =1+

47、cos B -C2-cosBcosC=1-cosBcosC +sinBsinC2=1-cos(B +C)2=34，所以cos(B +C)=-12，cosA=-cos(B +C)=12， 又因为A(0,)， 所以A=3选因为(sinB +sinC)2=sin2A+3sinBsinC，所以sin2B +sin2C +2sinBsinC =sin2A+3sinBsinC，即sin2B +sin2C -sin2A=sinBsinC，所以由正弦定理得b2+c2-a2=bc，由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=12，因为A(0,)， 所以A=34.在2a-b=2ccosB， S=34(a2+b2

48、-c2)， 3sin(A+B)=1+2sin2C2这三个条件中任选一个， 补充在下面的横线处， 然后解答问题。在ABC 中， 角A， B， C 的对边分别为a， b， c， 设ABC 的面积为S， 已知_(1)求角C 的值；(2)若b=4， 点D在边AB 上， CD为ACB 的平分线， CDB 的面积为2 33， 求a的值。注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分。【答案】 解： (1)若选： 由正弦定理得： 2sinA-sinB =2sinCcosB，A+B +C =， sinA=sin B +C，2sin B +C-sinB =2sinBcosC +2cosBsinC -sinB

49、 =2sinCcosB，整理得： 2sinBcosC =sinB，又B 0,， sinB 0，cosC =12，C 0,，C =3若选： S ABC=3 a2+b2-c24=12absinC，sinC =3 a2+b2-c22ab=3cosC，tanC =sinCcosC =3，C 0,，C =3若选： 3sin A+B=1+2sin2C2=1+1-cosC =2-cosC，A+B +C =， sinC =sin A+B，273sinC =2-cosC，即3sinC +cosC =2sin C +6=2，sin C +6=1，C 0,， C +66,76，C +6=2，解得： C =3;(2)

50、由(1)知C =3，在 ABC 中， SABC=SACD+SBCD，12CB CDsinBCD+12CACDsinACD=12CACBsinACB，14aCD+CD=3a， 又S CDB=14aCD=2 33， 由得：a2a+4 =23， 解得： a=2或a=-43(舍)边长a的值为25.在ba=cosB +13sinA， 2bsinA=atanB， a-csinA+csin A+B=bsinB 这三个条件中任选一个， 补充在下面的横线上， 并加以解答已知 ABC 的内角A， B， C 所对的边分别是a， b， c，若_(1)求角B；(2)若a+c=4， 求 ABC 周长的最小值， 并求出此时