5.3导数在研究函数中的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义.doc

《5.3导数在研究函数中的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.3导数在研究函数中的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义.doc（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、5.3 导数在研究函数中的应用 知识梳理1、函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：（1）若0，则f(x)在这个区间内单调递增；（2）若0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2、求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求；（3）在定义域内解不等式0，得单调递增区间；（4）在定义域内解不等式0，求函数F（x）af（x）在a，2a上的最小值。【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）令0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在a，2a上的最小值为F

2、（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.试题解析：（1）.令0得xe.因为当x（0，e）时，0，f（x）在（0，e）上为增函数；当x（e，）时，0，f（x）在（e，）上为减函数，所以f（x）maxf（e）。（2）因为a0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，在（e，）上单调递减，所以F（x） 在a，2a上的最小值F（x）minminF（a），F（2a）。因为F（a）F（2a），所以当02时，F（a）F（2a）0，F（x）minF（2a）ln2a题型八 函数构造例 8 若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）xf（x），则（ ）A3f（1）f（3）B3f（1）f（3）C3

3、f（1）=f（3）Df（1）=f（3）【答案】A【解析】试题分析：根据条件f（x）xf（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求解：设g（x）=，g（x）=f（x）xf（x），g（x）=0即g（x）在（0，+）上单调递减函数即3f（1）f（3）故选A巩固练习已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】设t=lnx，则不等式f（lnx）3lnx+1等价为f（t）3t+1，设g（x）=f（x）3x1，则g（x）=f（x）3，f（x）的导函数f（x）3，g（x）=f（x）30，此时函数单调递减，f（1）=4，g（1）=f（1）31=0

4、，则当x1时，g（x）g（1）=0，即g（x）0，则此时g（x）=f（x）3x10，即不等式f（x）3x+1的解为x1，即f（t）3t+1的解为t1，由lnx1，解得0xe，即不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（0，e），故选A巩固提升1、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，故选：A2、已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）A和B和C和D【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得

5、到函数的单调递增区间【详解】函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，)故选C3、函数的导函数的图象如图所示，则（ ）A是最小值点B是极小值点C是极小值点D函数在上单调递增【答案】C【解析】由图象得： 在 递增，在递减，在 递增， 是极小值点，故选C.4、已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数，则，因为函数在上是单调函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是，故选C5、（多选）已知函数的定义域为

6、且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A函数的增区间是B函数的增区间是C是函数的极小值点D是函数的极小值点【答案】BD【分析】先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.【详解】由题意，当时，；当，；当时，；当时，；即函数在和上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.6、设、在上可导，且，则当时有（ ）ABCD【答案】D【分析】构造函数，利用导数推导函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】设，当时，则，所以，函数在区间上是增函数，当时，所以，即；，即.故选：

7、D.7、（多选）对于函数，下列说法正确的有（ ）A在处取得极大值B有两不同零点CD若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B，令，则可得函数的零点；对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可【详解】函数的导数，令得，则当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，由，得，得，即函数只有一个零点，故错误， 由时，函数为减函数知，故成立，故正确，若在上恒成立，则，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，即当时，

8、函数取得极大值同时也是最大值，成立，故正确.故选：ACD8、函数在区间内最小值是_，最大值是_.【答案】 0 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.【详解】，令，或2，当时，单调递增；当时，单调递减，而，函数的最小值是，最大值为0.故答案为：；0.9、若函数f (x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为_.【答案】【解析】由f (x)在区间a，a1上单调递增，得f (x)ex(x2a2)0，xa，a1恒成立，即(x2a2)min0，xa，a1.当a时，a2a20，则1a；当a时，(a1)2a20，则0x0或

9、x2.故f(x)的单调增区间为(0，)和(，2)(2)由f(x)(x2ax)ex，xRf(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(2a)xaex.记g(x)x2(2a)xa.依题意知，x1,1时，g(x)0恒成立结合g(x)的图像特征得，即a，所以a的取值范围是 .13、已知函数.（1）求函数的单调区间（2）当时，有，求的范围.【答案】(1)单调减区间是.(2) .【解析】分析：（1）求，判断的符号，从而找出该函数的单调区间；（2）先根据的范围，求出 和 的范围，并确定出 和 属于单调区间，根据单调性列不等式求解即可.详解：(1) ，函数在上单调减，所以函数的单调减区间是.(2) 时，即和都在

10、的单调减区间上，所以由得，解得或，又，所以，所以的取值范围是.14、已知函数在处有极值（1）求a,b的值；（2）求的单调区间【答案】(1),(2) 单调减区间是,单调增区间是【分析】（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.【详解】解：（1）又在处有极值,即解得,（2）由（1）可知,其定义域是,由,得；由,得函数的单调减区间是,单调增区间是15、已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；（2）求导

11、，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；（2）由（1）可知：，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，故函数的最小值为.16、已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR)(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围【答案】（1）见解析（2），+）【分析】（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围【详解】（1）a=2时，f（x）=（x2+2x）ex的导数为f（x）=ex（2x2），由f（x）0，解得x，由f（x）0，解得x或x即有函数f（x）的单调减区间为（，），（，+），单调增区间为（，）（2）函数f（x）=（x2+ax）ex的导数为f（x）=exax2+（a2）x，由函数f（x）在（1，1）上单调递增，则有f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，则有1+（a2）a0且1（a2）a0，解得a则有a的取值范围为，+）