7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）.doc

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1、7.2 离散型随机变量及其分布列 知识梳理1、一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，称X为随机变量。若X可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写字母表示随机变量的取值，如x，y，z2、若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列3、性质pi0(i1，2，n)；pi

2、14、若随机变量X的分布列为X01P1pp则称该分布列为两点分布列或0-1分布若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称pP(X1)为成功概率知识典例题型一 随机变量例 1掷均匀硬币一次，下列是随机变量的为()A 掷硬币的次数B 出现正面向上的次数C 出现正面向上的次数或反面向上的次数D 出现正面向上的次数与反面向上的次数之和【答案】B【解析】掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向

3、上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量故选B.巩固练习下列随机变量中不是离散型随机变量的是_(填序号)广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；虎门大桥一天经过的车辆数X.【答案】【解析】中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填.题型二 随机变量的可能值例 2一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验

4、次数X的最大可能取值为()A 6B 5C 4D 2【答案】B【解析】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B巩固练习一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为，则随机变量的所有可能取值的种数为()A 20B 24C 4D 18【答案】B【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A4424(种)题型三 离散型随机变量的分布列例 3将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列(1)两次掷出的最小点数Y；(2)第一次掷出

5、的点数减去第二次掷出的点数之差.答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.当Y1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)故P(Y1)1136，同理P(Y2)93614，P(Y3)736，P(Y4)536，P(Y5)336112，P(Y6)136.所以Y的概率分布列为(2)的可能取值为5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5.当5时，出现的点数为(1,6)，P(5)136.当4时，出现的点数为(1,5)，(2,6)，

6、P(4)236118.同理，P(3)112，P(2)19，P(1)536，P(0)63616，P(1)536，P(2)19，P(3)112，P(4)118，P(5)136.所以的分布列为巩固练习小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28(种)，当X0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，

7、所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1，0，1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为X2101P题型四 离散型随机变量的分布列的性质例 4已知随机变量X的分布列如下：则P(X10)等于()ABCD【答案】C【解析】P(X10)1.巩固练习离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，yN)代替，分布列如下：则P等于()A 0.25B 0.35C 0.45D 0.55【答案】B【解析】根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，可解得x2，y5，故PP(X2)P(X3)0.35.题型五

8、两点分布例 5袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列解从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：X则X显然服从两点分布，且P(X1)，P(X0)1，X的分布列为X01P巩固练习在掷一枚图钉的随机试验中，令X.如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列解由题意知P(X1)p，根据分布列的性质可知P(X0)1p，即针尖向下的概率为1p.于是随机变量X的分布列为X01P1pp巩固提升1、袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取

9、1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()AX4BX5CX6 DX5C解析 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X6.2、设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是()X1234Pp4A.1BC. DD解析 由分布列的性质，得p41，所以p4.3、在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为_解析 X的所有可能值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P4、设离散型随机变量X服从两点分

10、布，若，则 【答案】【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，且，则5、设随机变量X的分布列P(X)ak(k1，2，3，4，5)(1)求常数a的值；(2)求P(X)；(3)求P(X)解由题意，所给分布列为XPa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a2a3a4a5a1，解得a.(2)P(X)P(X)P(X)P(X)，或P(X)1P(X)1().(3)X，X，.P(X)P(X)P(X)P(X).6、袋中装有编号为16的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设表示取出3个球中的最大号码，求的分布列解根据题意，随机变量的所有可能取值为3，4，5，6.3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以，P(3)；4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取，所以，P(4)；5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取，所以，P(5)；6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取，所以，P(6).所以，随机变量的分布列为3456P