2021_2022学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课后篇巩固提升含解析新人教A版选修1_2.docx

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1、第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z=|4+3i|+a(1-2i)为纯虚数,则实数a=()A.-5B.0C.5D.-10解析由题可得z=a+5-2ai,又z为纯虚数,所以a=-5.故选A.答案A2.如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则复数z=z1-2z2所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由图知,z1=1+2i,z2=1-i,所以z=1+2i-2(1-i)=-1+4i,所以z所对应的点Z(-1,4)在第二象限.故选B.答案B3.在平行四

2、边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i解析依题意有CD=BA=OA-OB=(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即CD对应的复数为4-2i,故选D.答案D4.已知z1,z2C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=3,则|z1-z2|=()A.0B.1C.3D.2解析设z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,依题意得a2+b2=1,c2+d2=1,由|z1+z2|=3得(a+c)2+(b+d)

3、2=3,则a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)=3,故2(ac+bd)=1.所以|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1.故选B.答案B5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是()A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线解析设z=x+yi(x,yR),|z+1|=|x+yi+1|=(x+1)2+y2,|z-i|=|x+yi-i|=x2+(y-1)2,(x+1)2+y2=x2+(y-1)2.x+y=0.z的对应点Z的集合构成的图象是第二、四象限角平分线.答案B6.若复数z1=4-3i,z2=4+

4、3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为OZ1与OZ2,则OZ1Z2的周长为.解析因为OZ1=(4,-3),OZ2=(4,3),Z1Z2=OZ2-OZ1=(0,6),所以|OZ1|=42+(-3)2=5,|OZ2|=42+32=5,|Z1Z2|=02+62=6.所以OZ1Z2的周长为5+5+6=16.答案167.设f(z)=z+3-2i,|z|3,2-3i-z,|z|3,则f(f(2i)=.解析因为|2i|=23,所以f(f(2i)=f(2-5i)=2-5i+3-2i=5-7i.答案5-7i8.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设z=a+bi(a,bR),则a+bi+

5、3i=a+(b+3)i是纯虚数,a=0,b+30,又|z|=3,b=3,z=3i.答案3i9.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,bR),且z1-z2=43,求复数z=a+bi.解z1-z2=32a+(a+1)i-33b+(b+2)i=32a+33b+(a-b-1)i,所以32a+33b=43,a-b-1=0,解得a=2,b=1,故z=2+i.10.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:(1)向量AO对应的复数;(2)向量CA对应的复数;(3)向量OB对应的复数.解(1)因为AO=-OA,所以向量AO对应的复数为-3

6、-2i.(2)因为CA=OA-OC,所以向量CA对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为OB=OA+OC,所以向量OB对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.能力提升1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则复数z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i解析由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.答案B2.已知zC,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1

7、的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.答案B3.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(aR),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(aR)为纯虚数,所以a2-a-2=0,a2+a-60,解得a=-1.答案-14.已知实数x,y满足条件x-y+50,x+y0,x3,z=x+yi(i为虚数单位),则|z-1+2i|的最大值与最小值之和为.解析作出不等式组x-y+50,x+y0

8、,x3对应的可行域,如图中阴影部分所示.|z-1+2i|表示可行域中的点到点(1,-2)的距离.根据图象,得最小值为点(1,-2)到直线x+y=0的距离,最大值为点(1,-2)到点(3,8)的距离,即|z-1+2i|min=|1-2|2=22,|z-1+2i|max=(1-3)2+(-2-8)2=226,故|z-1+2i|min+|z-1+2i|max=22+226.答案22+2265.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.(1)求AB,AC,BC对应的复数;(2)判断ABC的形状.解(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,所以OA,OB,OC对

9、应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),所以OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2).于是AB=OB-OA=(1,1),AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB=(-3,1).即AB对应的复数为1+i,AC对应的复数为-2+2i,BC对应的复数为-3+i.(2)因为|AB|=1+1=2,|AC|=(-2)2+22=8,|BC|=(-3)2+1=10,所以|AB|2+|AC|2=10=|BC|2,又因为|AB|AC|,故ABC是以角A为直角的直角三角形.6.已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=3,求|z1-z2|.解方法一:在复平面内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量OZ1,OZ2,如图,则z1+z2对应向量OZ,z1-z2对应向量Z2Z1.由题意|OZ1|=1,|OZ2|=1,|OZ|=3,可得OZ1Z=120,Z2OZ1=60,在Z2OZ1中,|Z2Z1|=1,即|z1-z2|=1.方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).则由题意,知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.2(ac+bd)=1.|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1,|z1-z2|=1.4