高等教育自学考试复习专题：线性代数（经管类）讲义-第六部分实二次型与矩阵合同.doc

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1、第六部分实二次型与矩阵合同本章应用矩阵，特别是实对称矩阵的理论讨论如何求二次型的标准形以及如何判定二次型正定等问题。 在自学考试中，按考试大纲的规定，本章占6分左右。6.1实二次型及其标准形 6.1.1实二次型及其矩阵例1.给定实对称矩阵，求。【答疑编号12060101】定义6.1.1 称n元二次齐次多项式为二次型。 称实对称矩阵为该二次型的矩阵。称二次型以A为矩阵的二次型，为二次型的矩阵表示。称矩阵A的秩为该二次型的秩。例2 写出实二次型的矩阵表示。【答疑编号12060102】例3 已知，求。【答疑编号12060103】6.1.2二次型的标准形一、定义定义6.1.2 称只含平方项，不含交叉项

2、的二次型为二次型的标准形。其对应的矩阵为对角阵下面要讨论的问题是：对于一个给定的二次型，是否存在可逆的（非退化的）线性变换x=Cy(C为可逆阵），使得二次型化为标准形，即使得即 二、 用正交变换化二次型成标准形注意:若P是正交阵，在上一章，已看到对于任意的实对称矩阵A，都存在正交阵P使得其中是A的n个特征值，其中 依次是矩阵A属于特征值的两两正交的特征向量。于是有下面的定理。定理6.1.1对任意实二次型。都存在正交变换x=Py (其中P是正交阵)使得 其中为A的n个特征值。定理回答了我们上面提出的问题。同时也告诉我们应用上一章的方法就可以求出正交变换矩阵P和该二次型的标准形。例4 设三元二次型

3、为用正交变换将它化成标准形。【答疑编号12060104】解 先写出二次型的矩阵下面要求正交矩阵P，使得，这就是上一章5.4例1所做的。（1）求A的特征值，（2）求特征向量依次为矩阵A属于特征值的特征向量。且两两正交。(3)将依次单位化，得于是得正交阵从而当 原二次型化为标准形例5 求正交变换，使实二次型化成标准形。 【答疑编号12060105】解 首先写出该二次型的矩阵下面的问题是求正交阵P和对角阵，使得。这正是教材上一章5.4节例3所做的。（1）求得A的特征值（2）求特征向量当时， 得矩阵A的属于特征值的特征向量；当时，得矩阵A的属于特征值 的特征向量（3）将正交化注意相互不正交。故需正交化

4、。取（4）将特征向量单位化于是得正交阵则于是经正交变换x=Py，原二次型化为标准形总结用正交变换法将二次型化为标准形的方法，步骤。（1）写出二次型的矩阵A，求出实对称矩阵A的特征值（2）求A的特征向量，若没有重根，再将特征向量单位化；若A的特征值有重根，须将重根所对应的线性无关的特征向量正交化，再单位化。从而得矩阵 的能构成一个标准正交向量组的特征向量组， 进而得正交阵，当x=Py时，原二次型化为由二次型化为标准形的问题也引出了矩阵之间的另一种关系。三、矩阵的合同定义6.1.3 设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。合同关系也有 反身性：即任给方阵A，有，所以， A与A合同

5、；对称性：若A与B合同，则存在可逆阵P使得，则所以B与A也合同。传递性:因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P，Q，使得，注意PQ一定可逆，所以A与C合同。四、用配方法化二次型成标准形事实上，对于给定的二次型，未必一定要应用正交变换将它化成标准形，下面介绍用配方法化二次型成标准形例6 用配方法将二次型化成标准形。【答疑编号12060106】例7 用配方法求二次型的标准形。【答疑编号12060107】6.1.3二次型的规范形和惯性定理我们看到，求二次型的标准型的方法不惟一，且其标准形也不惟一。为使结果惟一。如例6其矩阵为，其特征多项式为所以特征值为 故用正交变换将此二次型化成的标准形为 与用

6、配方法得到不同。若再令，则也是标准形。为使结果惟一。我们引入二次型的规范形的概念。定义6.1.4 若一个实二次型的标准形中的系数只取1，1和0，进而，总可以写成则称这样的标准形为规范标准形， 简称规范形。其中，rn，容易看出r为该二次型的秩。问题是一个二次型是否总能化成规范标准形？若能化成规范形，它惟一吗？只要看若二次型的标准形为可做变换，则原二次型可化为规范形有下面的定理。定理6.1.2 （惯性定理）任意一个二次型，一定可以经过非退化的线性变换x=Cy (其中C是可逆阵)化成规范形而且，其中k，r是由原二次型惟一确定的，而与所采用的线性变换无关。k是规范形中系数为1的项的个数，称为二次型的正

7、惯性指数；r为二次型的秩，亦即实对称矩阵A的秩；r-k为规范形中系数取1的项的个数，称为二次型的负惯性指数；称正惯性指数与负惯性指数的差为二次型的符号差。二次型的规范形的矩阵为，惯性定理说明对任何一个实对称矩阵A，都存在一个可逆阵Q，使得这说明，任何一个实对称矩阵总能与一个形如的矩阵合同。由此知两个同阶的实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正负惯性指数分别相等。有下面的定理 定理6.1.3 对称矩阵A与B合同的充分必要条件是它们有相同的秩和正惯性指数。例8 写出二次型的规范形。并说明该二次型的秩，正负惯性指数及符号差。【答疑编号12060201】解：例9 在以下四个矩阵中，哪些是合同的？哪些是

8、不合同的？【答疑编号12060202】解：A与C合同，B与D，但A与B不合同，C与D不合同。小结主要概念和方法:1.二次型的矩阵:给定二次型要正确的写出它的矩阵，反之对给定的实对称矩阵A，要能正确地写出以它为矩阵的二次型。2.二次型的秩，正、负惯性指数，符号差等概念，对给定的二次型会求它的秩，正负惯性指数，符号差，且知道它们的关系。3.二次型的标准形，规范形的概念，会用正交变换法，配方法将二次型化为标准形，并进而求出规范形。4.矩阵合同的定义及其判别法。作业 p171 习题6.1 1(1)(2)(4)，2(3)(5)，3，4，5，66.2正定二次型和正定矩阵 6.2.1定义 定义6.2.1 设

9、是n元二次型，如果对任意的非零实列向量x，都有，则称该二次型正定，称此二次型的矩阵A为正定矩阵(必是实对称阵!)。例1 为正定二次型。不是正定二次型。因为取 则所以为正定矩阵，不是正定矩阵。【答疑编号12060203】6.2.2二次型正定的充分必要条件定理1 n元二次型(实对称矩阵A)正定的充分必要条件是它的正惯性指数=n。定理2 n元二次型(实对称矩阵A)正定的充分必要条件是A与n阶单位阵合同。定理3 n元二次型(实对称矩阵A)正定的充分必要条件是A的n个特征值都大于零。下面要介绍一个判断二次型正定的最常用的定理，为此，先介绍矩阵的顺序主子式的概念。定义6.2.2 设是n阶方阵，称它的如下形

10、式的k阶子式为A的k阶顺序主子式。定理4 n元二次型(实对称矩阵A)正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零。例2 判定二次型是否正定。【答疑编号12060204】解：(首选定理4) 二次型的矩阵为。各阶顺序主子式为:故该二次型正定。例3 k为何值时，下列二次型正定:（1）【答疑编号12060205】（2）【答疑编号12060206】例4 证明两个正定矩阵之和仍为正定矩阵。【答疑编号12060207】例5 证明正定阵之逆矩阵仍为正定阵。 【答疑编号12060208】例6 设A是正定矩阵，证明其主对角线上的元素必大于0。【答疑编号12060209】证：设，则所以例7 矩阵必不正定。 【答疑

11、编号12060210】6.2.3二次型的分类定义6.2.3 设Ax是n元二次型，其中A是实对称矩阵。二次型可分成以下五类:（1）如果对于任意的非零实列向量x，都有，则称该二次型正定，称此二次型的矩阵A为正定矩阵。（2）如果对于任意的实列向量x，都有，则称该二次型半正定，称此二次型的矩阵A为半正定矩阵。（3）如果对于任意的非零实列向量x，都有 ，则称该二次型负定，称此二次型的矩阵A为负定矩阵。（4）如果对于任意的实列向量x，都有 ，则称该二次型半负定，称此二次型的矩阵A为半负定矩阵。（5）既不是半正定，也不是半负定的实二次型称为不定二次型，相应的实对称矩阵称为不定矩阵。例5（1）是半正定的。 因

12、为对任意，总有，故该二次型半正定。【答疑编号12060211】（2）是负定二次型。因为是正定的，故对任意非零的x，都有，所以是负定二次型。【答疑编号12060212】（3）是半负定二次型。【答疑编号12060213】（4）是不定二次型。因为对而对【答疑编号12060214】对于一般二次型如何判断它正定，半正定，负定，半负定，还是不定，有以下结论:如果n元二次型的正惯性指数=n，则它是正定二次型；如果n元二次型的负惯性指数=0，则它是半正定二次型；如果n元二次型的负惯性指数=n，则它是负定二次型；如果n元二次型的正惯性指数=0，则它是半负定二次型；如果n元二次型的正惯性指数1且负惯性指数1，则它是不定二次型。例6 设有二次型【答疑编号12060215】A.正定B.负定C.不定D.半正定解 由容易看出，该二次型的正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以它为不定二次型。故应选择 C 。小结1.二次型（实对称矩阵）正定的定义；2.判定二次型（实对称矩阵）正定的方法；3.用正，负惯性指数判断二次型的类型。作业 p178 习题6.2 1.（1）（3）（5）,2.（1）（3）,3（1）（2）,8第六章总结1.二次型及其矩阵，二次型的秩，正负惯性指数的概念；2.二次型的标准形和规范形以及化二次型为标准形和规范形的方法3.正定二次型（正定矩阵）的定义及判定方法。