高中数学双曲线-椭圆考点(3) (1).docx

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1、高中数学专题演练（历年真题+考点预测）椭圆、抛物线、双曲线1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线

2、：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e.在双曲线中：c2a2b2；离心率为e.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0).双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程x.抛物线x22py(p0)的焦点F，准线方程y.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入

3、.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一圆锥曲线的几何性质【例1】 (2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：消去x得a2y22pb2ya2b20，由根与系数的关系得y1y2p，又|AF|BF|4|

4、OF|，y1y24，即y1y2p，pp，即.双曲线渐近线方程为yx.答案yx探究提高1.分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练1】 (1)(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线

5、段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)(2016北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.解析(1)以线段A1A2为直径的圆是x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离da，整理为a23b2，即.e.(2)取B为双曲线右焦点，如图所示.四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.答案(1)A(2)2热点二直线与圆锥曲线【例2】 (2016全国卷)在直角坐标系

6、xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共

7、点.探究提高1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2.弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|，其中k为弦AB所在直线的斜率.3.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练2】 (2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线

8、C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.解(1)把P(1，1)代入y22px，得p，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y得4k2x2(4k4)x10.考虑(4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1D

9、.13.(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.4.(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.B.1C.D.22.(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A.B.C

10、.D.3.(2017邯郸质检)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若4，则|QF|等于_.4.(2017佛山调研)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，右焦点为F(1，0).(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程.1.(2017新乡模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.12.(2017石家庄三模)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2

11、，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，若F1PF2，则双曲线C2的渐近线方程为()A.xy0B.xy0C.xy0D.x2y03.(2017潍坊三模)已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为5，双曲线1(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为_.4.(2017郴州三模) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.参考答案1.【解题思路】方

12、程1表示双曲线，根据一元二次不等式可知m，n之间的不等关系，进而分别确定m2n和3m2n的正负，当然也可以分类讨论处理.【答案】方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0)，即2，所以k2.故选D.2.【解题思路】(为到的距离).【答案】由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21).故选D.3.【解题思路】过点Q作l的垂线，利用三角形相似，对应边成比例处理.【答案】过点Q作QQ

13、l交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.故填3.4.【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出a，b， (2) OMON0，结合韦达定理处理.【答案】解(1)依题意可得解得a，b1.椭圆E的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x1).联立得方程组消去y得(12k2)x24k2x2(k21)0，x1x2，x1x2.y1y2k2x1x2(x1x2)1.OMON，0.x1x2y1y20，k.故直线l的方程为y(x1).

14、1.【解题思路】由2可确定A点坐标，A点在双曲线上，又|4由勾股定理可得，列方程组解出a，b.【答案】设A(x，y)，右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且2，x，y，代入双曲线方程，得1，且c2a2b2，b.|4，c2b216，a2，b，双曲线C的方程为1.故选D.2.【解题思路】共焦点相同，再再可得椭圆与双曲线的a，b，c的关系，结合定义可得|PF1|，|PF2|.【答案】设椭圆C1：1(ab0)，双曲线C2：1，依题意c1c2c，且，则a3m，由圆锥曲线定义，得|PF1|PF2|2a，且|PF1|PF2|2m，|PF1|4m，|PF2|2m.在F1PF

15、2中，由余弦定理，得：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos12m2，c23m2，则n2c2m22m2，因此双曲线C2的渐近线方程为yx，即xy0.故选C.3.【解题思路】利用抛物线定义求出点M的坐标，再两直线平行，斜率相等.【答案】由题设15，p8.不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，由于双曲线的左顶点A(a，0)，且直线AM平行一条渐近线，则a3.故填3.4.【解题思路】(1)列方程组求解，(2)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【答案】解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求椭圆C的方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得x22mx2m240，判别式164m20，即m24.又x1x22m，x1x22m24，则|AB|，点P到直线l的距离d.因此SPABd|AB|2，当且仅当m22时上式等号成立，故PAB面积的最大值为2.第 16 页 共 16 页