一道不等式组问题的分析及延伸拓展——教学反思.docx

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1、一道不等式组问题的分析及延伸拓展众所周知：解不等式组，可以先把其中的每个不等式依次计算出各自的解集，再分别在数轴上表示出来，然后按照“同小取小”，“同大取大”、“相交取中”以及“向背取空”的原则求得最终的解集。但有些不等式组问题蕴含着逆向思维，比如先给出含参解集，然后再求参数。请看以下一道不等式组问题的分析。例题1：已知，不等式的解集为，则( )解析：本题从形式上看，可以理解为已知的解集为，再设法求出实数的值。求解不等式组，正常的思维模式如前所述。但此题给人的感觉是反其道而行之，而且设置参数，有必要进一步探究其解法。从数形结合的角度考虑，原不等式组可以理解为二次函数位于两条水平直线与(直线在直

2、线的上方)之间的部分时，二次函数自变量x的取值范围是，从二次函数与水平直线相交的特点分析，可知两个交点的横坐标必然关于二次函数的对称轴对称，显然二次函数对称轴为：则：，且结合题意必有：(自变量取值上限必然在二次函数对称轴的右边)故，所以有：上述对例题1的分析和解法过程，基于数形结合的思想方法和对一元二次函数图像的把握，是一个正确的解法，并得到了正确的结果。而完成此题后，让笔者想到了另外一道曾经做过的习题，顿时形成一种错觉，原本以为是表述不同而本质相同的问题，但经深入分析后，恍然大悟，有着较大的差别，为了便于比较，笔者将原习题改编如下：问题1：当时，函数的最小值为，最大值为，则( )初看此题，会

3、自然让人联想到“保值区间”问题，也可能会有部分读者分析问题1是否和例题1等价？在解析问题1前，我们不妨对例题1来一次“反刍”。代入例题1的解析结果，可以得到不等式的解集为，而对于二次函数，容易求出在上的值域为。换言之，当时，的最小值为1，最大值为4。由此可以得出：例题1与问题1并不等价，是两个不同的问题，解法必定有所差别。以下是笔者对问题1的解析解析：易知且，故10当时，根据二次函数特性，可知：，解得：(舍)20当时，根据二次函数特性，可知：，或，解得：综上，所以上述的对问题1的解法，属于求解“保值区间”问题的通性通法，这也再次验证了例题1和问题1的差别。由此我们这样认为：当时，函数满足并不意

4、味着当时，函数的最小值为，最大值为。究其原因，这是不等式的传递性造成的，也即当时，对于任意(表示函数定义域)，且函数存在最小值和最大值时(分别记为和)，则函数也必然满足不等式组；反之，当时，若函数的最小值为，最大值为，则可以记为：当时，不等式组成立。 在完整比较例题1和问题1的差别后，作为对例题1的再次拓展，笔者又提出下面的问题，相对问题1而言，姑且称为“倍值区间”问题。问题2：若函数，当时，满足最小值为，最大值为，试求实数的值。解析：此题宜采用分类讨论的思想方法，结合二次函数的单调性处理，解析过程并不复杂根据二次函数特性，可知，且，故10当时，解得：，或 (舍)20当时，有，解得： (舍)3

5、0当时，有或，得：或(舍)。综上，或问题2的解法在本质上和问题1是相同的，均是基于二次函数的对称轴与取值区间的位置关系，利用分类讨论的思想方法处理，最终获得满足题意的答案。注：所谓“保值区间”，也即当时，函数的最小值为，最大值为；所谓“倍值区间”，也即当时，函数的最小值为，最大值为()。问题2中取，根据命题的设计需要，也可以取或等。综上，我们通过研究含参一元二次不等式组的问题，紧密联系一元二次函数的特点，解决了所求问题，并在此基础上和“保值区间”问题作了比较，指出其中的解析差异，分析了形成差异的原因，进而再拓展到“倍值区间”问题，给出了每类问题的解法。下次笔者将专题讨论“保值区间”和“倍值区间

6、”的典型问题和变式问题。最后留四道习题，供读者练习。习题1：(1)不等式组的解集为 (2)不等式的解集为 (3)不等式的解集为 习题2：已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 习题3：设，当时，的最小值为，最大值为，试求实数的值。习题4：若函数，且，方程有两个相等的实根(1)求的解析式；(2)是否存在实数，使得函数的定义域和值域分别为和若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。参考答案习题1：三道习题均属于基础题，考察不等式组的基础解法，面向所有学生。(1)(,4)(2) 提示：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集： 或 (3) 提示：本题解答不要忽视不等式中的“”具有相等和

7、不等的双重性，注意正确的分类求解，不要遗忘的情形习题2： 提示此题首先需要对比分析不等式与所给解集的形式关联，形如，若对应的方程有两解，则该不等式的解集为，分析此题并结合数轴图的解集画法，可以确定且满足，最终得到答案。习题3： 提示：本题和问题1仅函数表达式的差异，解法和问题1异曲同工。习题4：(1)由，得，结合方程有两个相等的实根也即：，故(2)由，可知，故函数对称轴为，显然在上函数单调递增，也即：，即：实数是关于方程的两解，解得：补充：近期教研时，遇到另外一个类似于例题1的问题，现整编为例题2例题2：已知，若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ( )解析：10当时1.10若，则函数满足题

8、意；1.20若，则函数满足题意；20当时，令，题意转化也即对一个动态的二次函数，当自变量时，此时，也即在平面直角坐标系上，由(0,0), (1,0) , (0,1) , (1,1)四点构成的正方形区域内，存在一个二次函数图像，如下图所示2.10当时，如上图中的虚线图像所示，且此时必有2.1.10当时，一系列开口向上的抛物线，必经过(0,1) , (1,1) ，也即 ，得到只需此时的即可，得：故此时：2.1.20当时，一系列开口向下的抛物线，必经过(0,0), (1,0)，也即 ，得到只需此时的即可，得：故此时：2.20当时，如上图中的一根实线图像所示2.2.10当时(),图像必经过(0,0)

9、, (1,1)，也即，得到，解得： 2.2.20当时(),图像必经过(0,1) , (1,0)，也即 ，得到，解得： 2.30当时，如上图中的一根实线图像所示2.3.10当时,图像必经过(0,1) , (1,0)，也即，得到结合，解得：2.3.20当时,图像必经过(0,0) , (1,1)，也即，得到，结合，解得：综上，实数a的取值范围是：评析：(1)本题含有三个参数，需要注意解析式中参数的影响，必须先对函数的模型进行分类讨论，分为一次函数模型与二次函数模型；(2)必须注意到本题动态二次函数模型的特点，即开口方向、对称轴以及在y轴上的截距均是变化的，故满足题干条件的二次函数图形有多种，如前述分类讨论情形所示。且仅当图像对称轴落在时，解析的思考切入点，才和例题1有相同之处。(3)例题1和例题2的区别在于：例题1是在确定的二次函数图像基础上，探究自变量取值区间情况，因此此时的自变量取值区间必然关于二次函数对称轴对称；而例题2的二次函数图像是动态的，因此自变量取值区间关于二次函数对称轴对称，只是符合题意的一部分情况，仍需要考虑对称轴不在自变量取值区间的情况。(尽管此题求解的结果表明：对称轴不在自变量取值区间的情况，已被包括在内，但作为大题解答，我们认为仍然需要体现出这个步骤)