第七节方向导数与梯度精选文档.ppt

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1、第七节方向导数与梯度本讲稿第一页，共四十页问题的提出考虑二元函数考虑二元函数z=f(x,y)的偏导数的偏导数仅反映函数在仅反映函数在水平方向水平方向（横轴方向）（横轴方向）上的变化率。上的变化率。同理，偏导数同理，偏导数仅反映函数在仅反映函数在垂直方向垂直方向上的变化率。上的变化率。在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。本讲稿第二页，共四十页实例：实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(

2、5,3)在坐标原点处有一个火焰，它在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？答案：答案：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行问题：问题：如何确定上述变化最剧烈的方向如何确定上述变化最剧烈的方向？问题的实质：问题的实质：要研究温度在各个方向上的变化率要研究温度在各个方向上的变化率。本讲稿第三页，共四十页一、方向导数的定义一

3、、方向导数的定义 函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向上的上的方向导数方向导数。与与l 同方向的单位向量为同方向的单位向量为则射线则射线l 的参数方程为的参数方程为动点从动点从沿方向沿方向l 运动到点运动到点P P 时，函数产生的增量时，函数产生的增量本讲稿第四页，共四十页称之为函数在称之为函数在l 方向上的增量。方向上的增量。称之为函数在称之为函数在l 方向上的方向上的平均变化率平均变化率。如果极限如果极限存在存在l的参数方程为的参数方程为则称它为则称它为 f(x,y)在点在点 处沿方向处沿方向 l 的的方向导数方向导数。本讲稿第五页，共四十页

4、记为记为问题问题1 1：方向导数与偏导数的关系？方向导数与偏导数的关系？问题问题2 2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？什么？如何计算方向导数？如果极限如果极限存在存在，则称它为则称它为 f(x,y)在点在点处沿方向处沿方向 l 的方向导数。的方向导数。方向导数方向导数就是函数在点就是函数在点 处沿方向处沿方向 l 的的变化率变化率。本讲稿第六页，共四十页（1）在在 x 轴的正方向上轴的正方向上，假设假设 z=f(x,y)在点在点 偏导数存在偏导数存在问题问题1 1：方向导数与偏导数的关系？方向导数与偏导数的关系？本讲稿第七页

5、，共四十页假设假设 z=f(x,y)在点在点 偏导数存在偏导数存在（2）在在 x 轴的负方向上轴的负方向上，问题问题1 1：方向导数与偏导数的关系？方向导数与偏导数的关系？本讲稿第八页，共四十页（3）同理，在同理，在 y 轴的两个方向上轴的两个方向上正方向：正方向：负方向：负方向：则函数在则函数在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在.偏导数偏导数均存在均存在，结论结论1 1：如果函数如果函数 z=f(x,y)在点在点的两个的两个即：即：偏导数是一种特殊的方向导数偏导数是一种特殊的方向导数。结论结论2 2：偏导数存在不能保证斜方向的方向导数存在。偏导数存在

6、不能保证斜方向的方向导数存在。本讲稿第九页，共四十页思考：思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？保证偏导数一定存在？例例1：解：解：不存在。不存在。本讲稿第十页，共四十页定理 如果函数 f(x,y)在点 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有其中 是方向 l 的方向余弦.问题问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？结论结论3：即使函数沿任意方向的方向导数均存在，也不即使函数沿任意方向的方向导数均存在，也不能保证偏导数一定存在。能保证偏导数一定存在。本讲稿第十一页，共四十页考虑函数在

7、方向考虑函数在方向 l 上的增量上的增量令令证明：证明：设设其中其中本讲稿第十二页，共四十页计算可微函数方向导数的步骤：计算可微函数方向导数的步骤：（1 1）确定给定方向）确定给定方向l 的方向余弦：的方向余弦：即与即与l 同方向的单位向量。同方向的单位向量。（2 2）计算偏导数）计算偏导数（3 3）利用公式计算）利用公式计算或本讲稿第十三页，共四十页例例1 求函数 在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.解解:这里方向 l 即向量 的方向，与 l 同向的单位向量为所求方向导数为本讲稿第十四页，共四十页例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导

8、数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为本讲稿第十五页，共四十页解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故例例3 求函数求函数在点（在点（1，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线 l 的方向导数的方向导数,并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值；（2）最小值；）最小值；（3）等于零？）等于零？本讲稿第十六页，共四十页对于三元函数对于三元函数 u=f(x,y,z),它在点它在点处沿方向处沿方向的方向导数定义为的方向导数定义为如果如果 u=f(x,y,z)在点在点处可微，则处可微，则本讲稿第十

9、七页，共四十页定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,且有例例4.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为本讲稿第十八页，共四十页例例5 设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向的方向导数.在点P 处沿求函数 对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。令令则曲面上任意一点 P(x,y,z)处的法向量可取为 指向外侧，则指向内侧，本讲稿第十九页，共四十页令令故故又又解：解：的方向余弦，即与的方向余弦，即与 同方向的单位向量为同方向的单位向量为故故本讲稿第二十页，共四十页定义：设

10、函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 都可定出一个向量这向量称为函数f(x,y)在点 的梯度，记作，即二、梯度二、梯度 问题：问题：引进梯度概念的意义是什么？并称并称为为 z=f(x,y)在在 D 内的梯度场。内的梯度场。本讲稿第二十一页，共四十页（1 1）梯度与方向导数的关系）梯度与方向导数的关系是是 l 的方向余弦，的方向余弦，为最大值。为最大值。本讲稿第二十二页，共四十页为最大值。为最大值。即：即：函数在梯度方向上的方向导数最大，或者说函数在梯度方向上的增加速度（变化率）最快（最大）；而沿梯度的反方向函数减少最快。结论：结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向

11、与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值 本讲稿第二十三页，共四十页 设函数f(x,y,z)在空间区域G具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定出一个向量这向量称为函数f(x,y,z)在点 的梯度，将它记作 ，即梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.本讲稿第二十四页，共四十页解：解：由梯度计算公式得故故本讲稿第二十五页，共四十页例例7.证证:试证处矢径 r 的模,本讲稿

12、第二十六页，共四十页解解:故故例例8.设在设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为平面上，各点的温度与点的位置关系为本讲稿第二十七页，共四十页解解:解解:沿梯度方向温度变化率最大，最大值为沿负梯度方向最小，最小值为本讲稿第二十八页，共四十页梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式本讲稿第二十九页，共四十页函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数 f 的等值线等值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.本讲稿第三十页，共四十页等值线与梯度等值线与梯度为z=f(x,y)的一条等值线当平面

13、z=c 上下移动时，得到一簇互不相交的等值线。本讲稿第三十一页，共四十页本讲稿第三十二页，共四十页内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为本讲稿第三十三页，共四十页2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.本讲稿第三十四页，共四十页思考与练习思考与练习设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .本讲稿第三十五页，共四十页曲线(1)在点解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量本讲稿第三十六页，共四十页本讲稿第三十七页，共四十页备用题备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)本讲稿第三十八页，共四十页指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示提示:则(96考研考研)本讲稿第三十九页，共四十页习题习题9-7:1,4,5,79-7:1,4,5,7高数A本讲稿第四十页，共四十页