《第五章薄板弯曲精选文档.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章薄板弯曲精选文档.ppt(41页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第五章薄板弯曲本讲稿第一页,共四十一页5.1 薄板的弯曲变形n如h以表示板厚,以l表示其他方向的尺寸,当h/l15时,可认为是薄板。n板内厚度中点构成的平面称中面。n板件一般常驻有垂直于中面的载荷(横向载荷),在载荷作用下,板面发生弯曲,中面由平面变为曲面,称为挠曲面。本讲稿第二页,共四十一页n以未变形的中面为xy坐标面,中面各点沿z轴的横向位移以w表示,称为挠度,如图5-1所示。n一般挠度为中面各点坐标的函数,即w=w(x,y)n称为挠曲面方程。本讲稿第三页,共四十一页薄板弯曲时,板内各点的应变为其中z为点到中面的距离为挠曲面沿方向的曲率为扭曲率本讲稿第四页,共四十一页当板弯曲挠度很小时,曲
2、率、扭曲率与挠曲面的关系为板挠曲面的曲率、扭曲率表示出板弯曲变形的程度,这3个分量也可合称为曲率。可用列阵表示为本讲稿第五页,共四十一页(5.1)本讲稿第六页,共四十一页因此,板内的应变可用列阵表示为(5.2)本讲稿第七页,共四十一页应力与应变的关系为其中Dp即平面应力问题的弹性系数矩阵板的中面处z=0,有即中曲面内没有面内应变,也没有面内应力。(5.3)本讲稿第八页,共四十一页n板内各点应变与其z坐标呈正比关系。n应力与z坐标也成正比,沿板厚度方向线性变化。n正应力x,y在板的横截面上将合成为弯矩,剪应力将合成为扭矩。分别表示如下:本讲稿第九页,共四十一页本讲稿第十页,共四十一页弯矩Mx、M
3、y与扭矩Mxy 3项为薄板弯曲的内力,合在一起用列阵表示为本讲稿第十一页,共四十一页将式(5.3)代入上式,并完成积分有其中D为薄板弯曲的弹性系数矩阵,它与平面应力问题弹性系数矩阵相似,只是多一个系数h3/12。本讲稿第十二页,共四十一页薄板弯曲的弹性应变能为其中V为板的体积域。将式(5.2)及(5.3)代入上式,并沿厚度方向积分,可得本讲稿第十三页,共四十一页其中S为板中面的面积域,D为薄板弯曲的弹性系数矩阵。由上式可见,薄板弯曲变形时,单位面积中面的弹性应变能为其曲率的二次型。板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数,因而薄板弯曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。(5.6)本讲稿第十四页,
4、共四十一页5.2 四节点的矩形薄板单元n对于薄板弯曲,可以只研究其中面的变形;n对于矩形板单元,可以只研究一个矩形平面,但是,此单元上一点实际上代表着一个长度为板厚的法线段。n按基本假设,此法线段长度不变,其位移应包括中心点的挠度w和法线绕x、y轴的转角x和y。n因而板单元任一节点i应有3个位移分量。本讲稿第十五页,共四十一页图5-3为矩形板单元,规定位移的正方向:nw i沿z轴方向;n转角xi和yi绕x、y轴按右手螺旋规定正方向。本讲稿第十六页,共四十一页节点位移按直法线假设,以小挠度变形下,法线的转角可由挠曲面的斜率表示。i节点的3项位移可用列阵表示为本讲稿第十七页,共四十一页板单元的每个
5、节点有3项独立位移,即有3个自由度,4个节点共有12个自由度。如e单元4个节点的编号为k、l、m、n,则此单元全部节点位移可以列阵表示为为分析方便,此顺序是按节点分组排列的。如按节点分块,上述节点位移应表示为本讲稿第十八页,共四十一页形状函数取矩形单元的对称轴为x、y轴,可假定单元内挠度具有如下的多项式形式其中a1、a2 a12为待定系数。(5.7a)本讲稿第十九页,共四十一页n12个待定系数对应于单元的12个自由度。n前3项为常数项及线性项,反映出中面平板无弯曲的刚体位移。n3个二次项经二阶微分后给出常曲率,反映出中面变形的3种常应变形式。n因此,前6项满足了单元的完备性要求。本讲稿第二十页
6、,共四十一页n含有完全的三次多项式,其四次项是不完全的,此种近似的挠度函数具有三次多项式的精度。n不完全四次项的两项是对称的,这使单元对x及y轴具有同等的变形能力;当坐标轴转90o时,单元不会表现出不同的弯曲挠度形式。n在x=常数及y=常数的单元边界上,其挠度都只含三次多项式。由后面的分析可见,这种假定的挠度函数可以保证单元间挠度的连续性。本讲稿第二十一页,共四十一页式(5.7a)可写成矩阵形式(5.7b)或简写为其中是M(x,y)一个1X12阶的函数矩阵,而a是由12个待定系数组成的列阵本讲稿第二十二页,共四十一页将(5.7b)对x、y分别求导,可得到两个转角的矩阵表达式如下:(5.8)本讲
7、稿第二十三页,共四十一页依次将单元的4个节点坐标代入式(5.7b)及(5.8)中,可得到4个节点的挠度w及转角x和y这里共有12个方程,联系着12个节点位移分量及12个a参数之间的关系,其矩阵表达式为上式的逆转换式为(5.9)本讲稿第二十四页,共四十一页将式(5.9)代入式(5.7b),得(5.10)其中N(x,y)即为此矩形薄板单元弯曲的形状函数矩阵,是一个1X12阶的行向量,按节点分块表示为(5.11)本讲稿第二十五页,共四十一页n对于图5-4所示的矩形单元,其任一节点i的形状函数矩阵Ni是一个1X3的行阵,表达如(5.12)(p80)本讲稿第二十六页,共四十一页单元刚阵将式(5.10)代
8、入式(5.1),可得单元的曲率为本讲稿第二十七页,共四十一页式中的B也可称为单元的应变矩阵,按节点分块表示,有而对任一节点i的应变矩阵,按图5-4所示的坐标轴,有(5.14)(p81)本讲稿第二十八页,共四十一页单元的内力n如已解出板结构的全部节点位移,则对任意的e单元都可以找出相应的单元节点位移 e,再应用应变矩阵B和薄板弯曲的弹性矩阵D,即可得到单元的内力上式中D B=S为薄板弯曲应力矩阵,为3X12的长方矩阵。本讲稿第二十九页,共四十一页将板弯曲的曲率代入板弯曲的应变能表达式(5.6),可得到单元的应变能简写为而其中即为板弯曲的单元刚度矩阵。(5.16)本讲稿第三十页,共四十一页n板弯曲
9、的单元刚度矩阵,其计算式与一般单元刚阵(如平面问题)完全一样,只是这里应代入板弯曲的弹性系数矩阵D式(5.5)和板弯曲的应变矩阵B式(5.13)。本讲稿第三十一页,共四十一页节点载荷n板结构上如受有集中荷载,一般在划分单元时宜将此力作用点划分为网格中的一个节点,此集中力可直接加入结构的总载荷列阵Q中。n如板面承受有面分布的横向载荷p(x,y),则应按式(3.10)逐个单元将分布力等效分配到各节点上。本讲稿第三十二页,共四十一页任一单元e形成的单元节点载荷为其中N为板弯曲的形状函数矩阵,由式(5.11)决定。本讲稿第三十三页,共四十一页当横向分布载荷为常值p时(均布载荷),对图5-5所示的矩形板
10、单元,其分配得到的单元节点载荷为其中Zi和Mxi、Myi为i节点沿z向的力和绕x、y轴的力偶。(5.17)由上式可见,单元在均布的横向载荷p作用下,每个节点不但分配有全部单元横向力4pab的1/4,而且对各节点还分配有绕x、y轴的力偶。本讲稿第三十四页,共四十一页5.3 薄板弯曲的相容性问题n薄板弯曲的总势能表达包含w的二阶导数。n完备性要求:所假定的单元位移模式应能实现任意的刚体位移和常曲率状态;n相容性要求:所假定的单元位移模式保证单元间挠度及其一阶导数都是连续的。本讲稿第三十五页,共四十一页n(5.7a)的假定位移模式满足完备性要求;n但该假定的位移模式不满足相容性要求,其在各单元边界上
11、挠度的导数 或 是不连续的。本讲稿第三十六页,共四十一页例如:在单元ij边界y=b(常数)上有 其中四个常数Ak,k=0,1,2,3 可以由四个条件wi,wj,及 来确定,故此时变形的挠度和沿x方向的转角是连续的。本讲稿第三十七页,共四十一页而对边界上的转角 有 式中的Bk,k=0,1,2,3 也需要四个条件才能确定,但现在只有 二个条件,不足以确定Bk,故转角 不能唯一确定。此单元相容性条件并不满足。本讲稿第三十八页,共四十一页n我们知道相容性只是充分性条件;n不满足相容性条件的单元不保证收敛性;n但实践证明,这种单元的收敛性还是很好的。为什么?本讲稿第三十九页,共四十一页薄板问题总结n薄板问题的定义:几何构形和受力情况的特点;n描述此类问题的坐标系的定义;n广义应力的定义:n广义应变的定义:本讲稿第四十页,共四十一页n广义应力应变关系(54);n单元刚度阵的推导过程;n其形函数的特点:对所设位移模式挠度函数w的连续性的要求;n外载荷向节点的等价移置;n边界条件的定义;n收敛性要求的完备性,相容性满足情况(对所讲四节点矩形薄板单元)。本讲稿第四十一页,共四十一页
限制150内