第三章第一节复数项级数PPT讲稿.ppt

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1、第三章第一节复数项级数第1页，共18页，编辑于2022年，星期二3.1 复数项级数复数项级数3.2 幂级数幂级数3.3 解析函数的解析函数的Taylor展开展开3.4 解析延拓解析延拓3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类第三章第三章第2页，共18页，编辑于2022年，星期二3.1 复数项级数复数项级数本节主要内容：本节主要内容：u 复数复数(复变复变)项级数定义项级数定义u 级数收敛的判据级数收敛的判据u 收敛级数的一些性质收敛级数的一些性质第3页，共18页，编辑于2022年，星期二第4页，共18页，编辑于2022年，星期二(一一)复数项级数复数项级数1.复数项

2、级数定义复数项级数定义级数中每一项都可分为实部和虚部级数中每一项都可分为实部和虚部第5页，共18页，编辑于2022年，星期二即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。第6页，共18页，编辑于2022年，星期二第7页，共18页，编辑于2022年，星期二2.复数项级数收敛的柯西判据复数项级数收敛的柯西判据复数项级数复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数 ，必有，必有N存在，使得存在，使得n

3、N时，时，其中，其中，p为任意正整数。为任意正整数。第8页，共18页，编辑于2022年，星期二3.复数项级数的绝对收敛复数项级数的绝对收敛如果复数项级数如果复数项级数(3.1.1)各项的模各项的模(正实数正实数)组成的级数组成的级数收敛，就把复数项级数收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。叫做绝对收敛。第9页，共18页，编辑于2022年，星期二u绝对收敛的复数项级数必是收敛的绝对收敛的复数项级数必是收敛的u绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。u两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛两个绝对收敛的复数项级数之积仍

4、然绝对收敛第10页，共18页，编辑于2022年，星期二(二二)复变项级数复变项级数(函数项级数函数项级数)1.复变项级数定义复变项级数定义它的各项是它的各项是z 的函数。的函数。第11页，共18页，编辑于2022年，星期二2.复变项级数收敛复变项级数收敛如果在某个区域如果在某个区域B(或某根曲线或某根曲线 l)上所有的点，级数上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就都收敛，就叫做在叫做在B(或或l)上收敛。上收敛。第12页，共18页，编辑于2022年，星期二举例说明：例如举例说明：例如右边的级数在整个复数平面右边的级数在整个复数平面xy上都收敛，当然，当上都收敛，当然，当z沿着沿着xy面上任意

5、一曲面上任意一曲线线l 或在任意一个区域或在任意一个区域B内变化时，级数都收敛。内变化时，级数都收敛。第13页，共18页，编辑于2022年，星期二3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数复变项级数(3.1.6)在某个区域在某个区域B(或某根曲线或某根曲线 l)上收敛的充分上收敛的充分必要条件是，在必要条件是，在B(或或l)上各点上各点z,对于任一给定的小正数对于任一给定的小正数 ，必，必有有 存在，使得存在，使得 时，时，式中式中p为任意正整数。为任意正整数。如果如果N与与z 无关无关，就把复变函数叫做在，就把复变函数叫做在B(或或l)上一致收敛。上一

6、致收敛。第14页，共18页，编辑于2022年，星期二关于一致收敛的说明：关于一致收敛的说明：级数级数一致收敛是指：一致收敛是指：对于区域对于区域B或曲线或曲线l上的任意点上的任意点zi，对应的级数，对应的级数都收敛。而且按照同一个函数收敛或者说收敛于同一个函数。都收敛。而且按照同一个函数收敛或者说收敛于同一个函数。第15页，共18页，编辑于2022年，星期二幂级数幂级数 在收敛圆在收敛圆内部一致收敛于内部一致收敛于，即对于收敛圆内的任意点，即对于收敛圆内的任意点ti，对应的，对应的都收敛。而且按照同样的函数关系收敛或者说收敛都收敛。而且按照同样的函数关系收敛或者说收敛级数级数于同一个函数于同一

7、个函数例如：例如：第16页，共18页，编辑于2022年，星期二4.一致收敛复变项级数的重要性质一致收敛复变项级数的重要性质u 如在如在B上一致收敛的复变项级数的每一项都是上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续函数，则级数的上的连续函数，则级数的和也是和也是B上的连续函数。上的连续函数。即即求极限求极限和和求和求和可以调换顺序。可以调换顺序。u在在l 上一致收敛的复变项级数的每一项都是上一致收敛的复变项级数的每一项都是l 上的连续函数，则级数的上的连续函数，则级数的和也是和也是l 上的连续函数上的连续函数,而且级数可以沿而且级数可以沿l 逐项积分。逐项积分。第17页，共18页，编辑于2022年，星期二收敛，则复变项级数在区域收敛，则复变项级数在区域B(或曲线或曲线 l)上绝对且一致收敛。上绝对且一致收敛。u 如果对于某个区域如果对于某个区域B(或某根曲线或某根曲线 l)所有的点所有的点z，复变项级数，复变项级数(3.1.6)的各项的模的各项的模 而正的常数项级数而正的常数项级数第18页，共18页，编辑于2022年，星期二