第三章线性代数方程组精选文档.ppt

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1、第三章线性代数方程组本讲稿第一页，共四十六页例 1：求下列矩阵的秩本讲稿第二页，共四十六页分析例中3个矩阵的求秩过程，可以得到如下结论结论：（1）A=0的充要条件是 rank(A)=0；（2）若A有一个k阶子式不为零，那么r(A)k；当r(A)=k时，则A至少有一个不为零的k阶子式，但不是所有k阶子式都不为零，而且可以断言所有高于k 阶的子式(如果存在)都为零；(3)若A是mn 矩阵，那么r(A)minm,n；r(A)=r(AT)；(4)若A是n阶矩阵，则r(A)n。r(A)=n detA0 是 A可逆。称行列式不为零的矩阵为满秩阵(非退化阵)；行列式为零的矩阵为降秩阵(退化阵)。本讲稿第三页

2、，共四十六页 练习练习 1 对于矩阵 k取何值时，可使：（1）r(A)=1 (2)r(A)=2 (3)r(A)=3。练习练习2 证明 r(A)=r(AT)。本讲稿第四页，共四十六页312 计算计算定义定义2满足以下两个条件的mn矩阵称为梯矩阵梯矩阵：1第 k+1 行的首个非零元（如果有的话）前的零元个数多于第k行的非零元（如果存在）前的零元个数，k=1,2,m-1；2如果某行都是零元，则其下所有行的元都是零。本讲稿第五页，共四十六页例 2 说明为梯矩阵，并求出rank(A)。本讲稿第六页，共四十六页 结论结论 如果A是梯矩阵，那么r(A)=A的 非零行的行数。对于一般的mn矩阵，从秩的定义求A

3、的秩是不方便的。希望将A经过初等变换，变换成梯矩阵，然后再求A的秩。问题：经过初等变换的矩阵，其秩会变化？经过初等变换的矩阵，其秩会变化？本讲稿第七页，共四十六页定理定理 1 任一mn矩阵A经有限次初等变换后，其秩不变。证明证明 设A 经一次行初等变换后成为B，首 先证明 r(A)r(B)，（B=RA；）推得：r(B)r(A)，（因为 A=R-1B）得到 r(A)=r(B)。因此，只要分别对三类初等变换证明 r(A)r(B)。设r(A)=k。本讲稿第八页，共四十六页对第一类行初等变换，本讲稿第九页，共四十六页 因为r(A)=k，即A中必有一个k阶子式Mk0。B中有一个与Mk对应的k阶子式Nk，

4、满足下述之一的条件：（1）当Mk中不包含A 的第i行和j行的元素，那么 Mk=Nk；（2）当Mk中仅包含A的第i行（或j行）元素；只要适当交换Nk的行，就可以得到Mk，Mk=Nk。（3）当Mk中包含A的第i 行和第j行，只要交换Mk中与A的第i、j行对应的行，就可以得到Nk，所以 Mk=-Nk。综上所述，当A中k阶子式Mk0，那么B中存在k阶子式Nk0，所以，r(A)r(B)；本讲稿第十页，共四十六页对第二类行初等变换，：本讲稿第十一页，共四十六页 设Mk0是A的一个k阶子式，Nk是B中与Mk对应的行组成的k阶子式。若Mk中含第i行，则Nk=Mk0；若Mk中不含第i行，则 Nk=Mk0，所以，

5、r(A)r(B)；本讲稿第十二页，共四十六页对于第3类初等变换，本讲稿第十三页，共四十六页对于A中的k阶子式Mk0，则有四种可能：（1）Mk中同时含A的第i和j行，此时，B中的k阶子式可以取与Mk对应的行，得到k阶子式Nk，那么Nk=Mk0，得到 r(A)r(B)；(相当于将Mk中的第i行的倍加到第j行)（2）Mk中含A的第i行，但不含第j行元，则B中对应的Nk，必有Nk=Mk0，得到 r(A)r(B)；本讲稿第十四页，共四十六页（3）M k中含A的第j行元，但不含第i行元：选择B中与M k中序号对应的行元组成N k，则其包含B中第j行元，但不含第i行元，那么本讲稿第十五页，共四十六页 由于M

6、k 0，所以Nk与N2k 不同时为零，否则 Mk=0，与题设矛盾。(讲义中的证明不完全正确)如果Nk0，已知Nk是B的一个k阶子式，那么 r(B)r(A)；如果 N2k 0，它也与B的一个k阶子式对应：将B中第j行元替换成第i行元，再取与Mk相同的行元组成的k阶子式，得到r(A)r(B)；（4）Mk中既不含A的第i行元，也不含A的第j行元，此时，在B中取与Mk相同序号的行元，得到Nk，则有Nk=Mk0，得到r(A)r(B)。综上述，由（1，2，3，4）得到r(A)r(B)。本讲稿第十六页，共四十六页l推论推论1 任一mn矩阵A，经有限次列初等变换后，不改变秩。l推论推论2 A是任一mn矩阵，B

7、是任一m（或n）阶满秩矩阵，则必有：r(BA)=r(A)（或r(AB)=r(A)）l推论推论3 设A是任一mn矩阵，已知其标准形分解 A=PNQ，其中，那么r(A)=r。本讲稿第十七页，共四十六页 定理定理 2 任一mn矩阵A，必可以通过有限次行初等变换而成为梯矩阵。例 3 给定矩阵A，依据证明的步骤，用初等行变换将其化成梯矩阵。本讲稿第十八页，共四十六页l练习3 确定矩阵A的秩 本讲稿第十九页，共四十六页3.2 线性代数方程组的解 相容性：一个存在解的线性代数方程组称为相相容性：一个存在解的线性代数方程组称为相容的，否则就是不相容或矛盾方程。容的，否则就是不相容或矛盾方程。3.2.1 齐次方

8、程组 m x n 的齐次线性代数方程组为：本讲稿第二十页，共四十六页 写成矩阵向量形式：Ax=0，其中，x=0，是方程的一个解零解零解，称为平凡解平凡解。那么齐次方程总是相容的。对于齐次方程，需要解决的问题：1）在何种情况下，存在非平凡解？2）存在非零解的条件下，如何表示所有的解，即解的一般形式是什么？本讲稿第二十一页，共四十六页定理定理 3 方程Ax=0 存在非平凡解的充要条件是 r(A)n，且在任一通解式中含有n r(A)个任意参数。证 对m x n系数矩阵A作标准形分解，A=PNQ P：m阶可逆阵，Q：n阶可逆阵。因为，Ax=0 PNQx=0 NQx=0 记 y=Qx,那么 Ny=0本讲

9、稿第二十二页，共四十六页本讲稿第二十三页，共四十六页本讲稿第二十四页，共四十六页本讲稿第二十五页，共四十六页l记 则构成方程的一个基础解系基础解系。而且方程的任一解x都可以表示成，由于解表达式中yi,i=r+1,n，是n-r任意常数，故称为方程的通解通解。本讲稿第二十六页，共四十六页本讲稿第二十七页，共四十六页本讲稿第二十八页，共四十六页本讲稿第二十九页，共四十六页本讲稿第三十页，共四十六页非齐次方程组的通解l对于非齐次方程组 AX=b 设 是其导出组的一个基础解系，是非齐次方程的一个特解，那么方程组的通解：本讲稿第三十一页，共四十六页 课堂讨论题：课堂讨论题：(1)问：a,b取何值时方程组有

10、解？在有解的情况下求出解。本讲稿第三十二页，共四十六页解：当a=0,b=2时，方程有解。因为本讲稿第三十三页，共四十六页（2）问：a，b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。本讲稿第三十四页，共四十六页解：l当当 时时有唯一解；l当当 时时：本讲稿第三十五页，共四十六页本讲稿第三十六页，共四十六页l（a）时，没有解；l（b）b=5时，有无穷多个解。l当当 时时有无穷多解；lb=-1时时，所以方程没有解。因为 不论a是何值！本讲稿第三十七页，共四十六页本讲稿第三十八页，共四十六页l(3)设 计算 采用两次加边的方法本讲稿第三十九页，共四十六页再加边，构成n+2阶行列式。本讲稿第四十页，共四十六页解答步骤3n+2列减去第二列。本讲稿第四十一页，共四十六页解答步骤l首先，3n+2列减去第一列。l然后，本讲稿第四十二页，共四十六页l(5)证明按第1列分解成两个行列式之和。本讲稿第四十三页，共四十六页本讲稿第四十四页，共四十六页那么本讲稿第四十五页，共四十六页l该题还可以用归纳法来证明：本讲稿第四十六页，共四十六页