第三章齐次变换精选文档.ppt

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1、第三章齐次变换1本讲稿第一页，共五十二页2.1 引言 机器人位置和姿态的描述机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行器相对人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人手臂机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系间之间的关系本讲稿第二页，共五十二页丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（H

2、artenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题其数学基础即是齐次变换本讲稿第三页，共五十二页2.2 齐次坐标 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数为比例系数 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的值的不同而不同。在计算机图学中，不同而不同。在计算机图学中，w 作为

3、通用比作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵本讲稿第四页，共五十二页例：可以表示为：可以表示为：V=3 4 5 1 V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2 V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4 V=-12 -16 -20 -4T T 本讲稿第五页，共五十二页 齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。本讲稿第六页，共五十二页 几个特定意义的齐次坐

4、标：0,0,0,nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 本讲稿第七页，共五十二页2.3坐标系在固定参考坐标系原点的表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由三个向量表示，通常这三个向量相互垂直，称为单位向量每个单位向量都由它们所在参考坐标系中的三个分量表示。则坐标系可以由三个向量以矩阵的形式表示为：本讲稿第八页，共五十二页2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示在该坐标系的原点与参考坐标系的原点之间做一个向量来表示该坐标系的位置。这个向量由相对于参考坐标系的三个分量来表示。那么，

5、这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。P本讲稿第九页，共五十二页2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示前三个向量是w0的方向向量，表示该坐标系的三个单位向量 的方向，而第四个w1的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标系的位置。P本讲稿第十页，共五十二页2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示例：如图所示的F坐标系位于参考坐标系中3，5，7的位置，它的n轴与x轴平行，o轴相对于y轴的角度为45，a轴相对于z轴的角度为45。该坐标系可表示为：P4545本讲稿第十一页，共五十二页2.5齐次变换矩阵在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可以在矩阵中加入比例因子使之成为44矩阵。如果

6、只表示姿态，则可去掉比例因子得到33矩阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵：本讲稿第十二页，共五十二页2.5齐次变换矩阵变换定义为空间的一个运动，当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。变换可有以下几种形式：（1）纯平移变换；（2）绕一个轴的纯旋转变换；（3）平移与旋转相结合的变换。本讲稿第十三页，共五十二页2.5齐次变换矩阵纯平移纯平移的变换：一个坐标系在空间以不变的姿态运动。它的方向单位向量保持同一方向不变。所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化。相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得

7、。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不变，变换矩阵T可以简单地表示为：P本讲稿第十四页，共五十二页2.5齐次变换矩阵纯平移变换P本讲稿第十五页，共五十二页2.5齐次变换矩阵纯平移变换结论：1.新坐标系位置可通过在坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到；2.方向向量经过纯平移后保持不变，但新的坐标系的位置是各向量相加的结果；3.齐次变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维数各变换前相同。本讲稿第十六页，共五十二页2.5齐次变换矩阵纯平移变换例：坐标系F沿参考坐标系的x轴移动9个单位，沿z轴移动5个单位。求新的坐标系位置。本讲稿第十七页，共五十二页OaP当

8、坐标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。旋转前，P点在两个坐标系中的坐标是相同的。旋转后，该点的坐标在旋转坐标系中保持不变，但在参考坐标系中改变了。求P点在固定参考坐标系中的新坐标。为了简化绕轴旋转的推导，首先假设该坐标系位于参考坐标系的原点。然后推广到其他的旋转以及旋转的组合。P点为旋转坐标系上的一点则：P点相对于参考坐标系的坐标为：P点相对于运动坐标系的坐标为：2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换xyzaoPn(n)本讲稿第十八页，共五十二页OaP任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位方向的投影。2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换xyzaoPn(n)要求可以先求在X、Y、Z单位

9、方向上的分量，则：本讲稿第十九页，共五十二页2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换本讲稿第二十页，共五十二页2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换本讲稿第二十一页，共五十二页例例：旋旋转转坐坐标标系系中中有有一一点点，此此坐坐标标系系绕绕参参考考坐坐标标系系x x轴旋转轴旋转9090。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换本讲稿第二十二页，共五十二页例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参考坐标，相对固定参考坐标系系 做如下运动：做如下运动：R（x,90）；）；R(z,90)；R(y,90)。求点求点 在固定参

10、考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 2.5齐次变换矩阵复合变换本讲稿第二十三页，共五十二页解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,90）R（y,90）（2-14）（2-15）（2-16）本讲稿第二十四页，共五十二页 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式：R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令：定义定义1：当动坐标系当动坐标系 绕固定

11、坐标系绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换注意：旋转矩阵间不可以交换 本讲稿第二十五页，共五十二页2.6 相对变换 举例说明：举例说明：例例1：动坐标系：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标系动坐标系0做如做如下运动：下运动：R(Z,90)R（y,90）Trans(4，-3,7)，求合成矩阵，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法：本讲稿第二十六页，共五十二页解解2：用计算的方法：用计算的方法 根据定

12、义根据定义1，我们有：，我们有：以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例例2：先平移先平移Trans(4,-3,7)；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩阵。（2-202-20）本讲稿第二十七页，共五十二页解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用计算的方法：用计算的方法（2-212-21）本讲稿第二十八页，共五十二页式式（2-202-20）和和式式（2-212-21）无无论论在在形形式式上上

13、，还还是是在在结结果果上上都都是是一一致致的的。因因此我们有如下的结论：此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转转或或平平移移，则依次左乘，称为绝对变换。则依次左乘，称为绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。次变换为依次右乘，称为相对变换。结结果果均均为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐

14、坐标标中中的的位位姿姿（位位置置+姿姿态态）。相相对对于于固固定定坐标系，坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。等的结果，就应该用相反的顺序。本讲稿第二十九页，共五十二页2.7 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换 有时动坐标系O可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动角。研究这种转动的好处是可用O绕某轴r 的一次转动代替绕O各坐标轴的数次转动为推导此旋转矩阵，可作下述变换：a.绕X 轴转角，使r 轴处于XZ平面内b.绕Y 轴转-角，使r 轴与OZ轴

15、重合c.绕OZ轴转动角d.绕Y 轴转角e.绕X 轴转-角本讲稿第三十页，共五十二页由上图容易求出：由上图容易求出：由定义由定义1和定义和定义2，上述，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：次旋转的合成旋转矩阵为：（2-252-25）本讲稿第三十一页，共五十二页带入式带入式（2-252-25），得），得本讲稿第三十二页，共五十二页2.8 齐次交换矩阵的几何意义 设设T=T=，有一个手爪，已知其在，有一个手爪，已知其在OO的位置，设一个的位置，设一个该坐标系该坐标系OO，已知，已知，那么，那么OO在在OO中的齐次坐中的齐次坐标变换为标变换为 ，如果手爪转了一个角度，如果手爪转了一个角度，则：则：本讲稿第三

16、十三页，共五十二页T T反反映映了了O O在在O O中中的的位位置置和和姿姿态态，即即表表示示了了该该坐坐标标系系原原点点和和各各坐坐标标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由该矩阵可以由4 4个子矩阵组成，写成如下形式：个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵，表示动坐标系为姿态矩阵，表示动坐标系OO在固定参考坐在固定参考坐标系标系OO中的姿态，即表示中的姿态，即表示OO各坐标轴单位矢各坐标轴单位矢量在量在OO各轴上的投影各轴上的投影 为位置矢量矩阵，代表动坐标系为位置矢量矩阵，代表动坐标系OO坐标原点坐标原点在固定参考坐标系在固定参考坐标系O

17、O中的位置中的位置 为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为一般置为0 0 为比例系数为比例系数 本讲稿第三十四页，共五十二页如果需要求解如果需要求解OO在在OO中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为 ，即求逆矩阵：，即求逆矩阵：其中：其中：这些式子以后经常遇到，这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要求在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵的就是齐次变换矩阵本讲稿第三十五页，共五十二页知识点：点和面的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，

18、称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。绕任意轴选转，5步顺序透视变换本讲稿第三十六页，共五十二页练习练习1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴轴转动转动6060 ；绕绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。本讲稿第三十七页，共五十二页练习练习2 2：OO与与OO初始重合，初始重合，OO作如下运动：作如下运动：绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如

19、何旋转才能获改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。得相同的结果。解解：解解：绕绕Z Z（w w）轴转动）轴转动9090；绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。本讲稿第三十八页，共五十二页练习练习3 3：矢量矢量 在在OO中表示为中表示为 ，OO相对于相对于OO的的齐次变换为：齐次变换为：解：解：1 1）本讲稿第三十九页，共五十二页解：解：2 2）解：解：3 3）本讲稿第四十页，共五十二页练习练习4 4：如图所示，如图所示，1 1）写出）写出 、；2 2）求）求 解：解：1 1）本讲稿第四十一页，共五十二页解解2 2）：根据定义）：根据定义2 2，绕自身旋转，右乘，

20、绕自身旋转，右乘本讲稿第四十二页，共五十二页习题习题1 1：OO与与OO初始重合，初始重合，OO作如下运动：作如下运动：绕绕z z轴转动轴转动9090；绕绕v v轴转轴转动动9090；绕绕x x轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如何旋转才能获得改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。相同的结果。习题习题2 2：已知齐次变换矩阵已知齐次变换矩阵 要求要求R R（f,)f,),求求f f和和值值习题习题3：动动坐坐标标系系0起起始始位位置置与与固固定定参参考考坐坐标标系系0重重合合,动动坐坐标标系系0做做如如下下运运动：动：Trans(4，-3,7)R（y,90）R(Z,90)，求合成矩阵，求合成矩阵 本讲稿第四十三页，共五十二页习题习题4 4：动动坐坐标标系系0上上的的点点P(7,3,2)T,动动坐坐标标系系0做做如如下下运运动动：Trans(4，-3,7)R（y,90）R(Z,90)，求求变变换换后后该该点点相相对对于于参考坐标系的坐标。参考坐标系的坐标。本讲稿第四十四页，共五十二页蔡自兴机器人学本讲稿第四十五页，共五十二页1.2.本讲稿第四十六页，共五十二页3.本讲稿第四十七页，共五十二页本讲稿第四十八页，共五十二页或本讲稿第四十九页，共五十二页本讲稿第五十页，共五十二页本讲稿第五十一页，共五十二页本讲稿第五十二页，共五十二页