第八节多元函数极值精选文档.ppt

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1、第八节多元函数极值本讲稿第一页，共四十一页（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若（极值存在的必要条件）若 f(x)在极值点在极值点处可导，则导数一定为处可导，则导数一定为 0，反之不成立。，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）（驻点为极值点的充分条件）设设存在，则有存在，则有（1）如果）如果（3）如果）如果，则，则为为 f(x)的的极小值极小值；（2）如果）如果，则，则为为 f(x)的的极大值极大值；，定理失效。，定理失效。本讲稿第二页，共四十一页（一）

2、二元函数的极值（一）二元函数的极值定义定义：设：设 z=f(x,y)的定义域为的定义域为 D，总有总有总有总有是是 D 的一个的一个内点内点，则称则称是是 f(x,y)的的极大值极大值；则称则称是是 f(x,y)的的极小值。极小值。若存在点若存在点 的一个去心邻域的一个去心邻域 极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值；本讲稿第三页，共四十一页 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点；同一元函数一样，二元函数同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念极值也是一个局部概念 极值点必是极值点必是 D 的内点的内点；利用点函数的概念，上述二元函数利用点函数的概念，上述二元

3、函数极值的概念可以极值的概念可以 推广到推广到 n 元函数的情形元函数的情形本讲稿第四页，共四十一页因为在点因为在点(0,0)处，函数值为处，函数值为 0，而在点而在点(0,0)的任何邻域内的任何邻域内，即有使函数值大于，即有使函数值大于0 的点，的点，也有使函数值小于也有使函数值小于 0 的点。的点。本讲稿第五页，共四十一页定理定理 1:（极值存在的必要条件）如果（极值存在的必要条件）如果 在点在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明

4、，极小值情形类似证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为因为 f(x,y)在点在点有极大值有极大值本讲稿第六页，共四十一页定理定理 1:（极值存在的必要条件）如果（极值存在的必要条件）如果 在点在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似这表明一元函数这表明一元函数在点在点处取得极大值，处取得极大值，因此因此同理可证同理可证本讲稿第七页，共四十一页 凡是能使凡是能使 具有偏

5、导数的函数的极值点必定是驻点，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。但驻点不一定是极值点。同时成立的点同时成立的点 称为函数的称为函数的驻点驻点。极值点也可能是使偏导数极值点也可能是使偏导数 不存在的点。不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数极值点只可能在驻点或使偏导数 不存在的点不存在的点中产生。中产生。本讲稿第八页，共四十一页例例4：解：解：得驻点得驻点该函数无极值。该函数无极值。如何判断一个驻点是否为极值点？如何判断一个驻点是否为极值点？本讲稿第九页，共四十一页定理定理 2:（极值存在的充分条件）如果（极值存在的充分条件）如果 （1）（2）在点在点的某一邻域内有连续

6、的二阶偏导数，且的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当时具有极值，且当 A 0 时，有极小值；时，有极小值；时没有极值；时没有极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值，时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。还需另作讨论。本讲稿第十页，共四十一页具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数 f(x,y)的极值的求法：的极值的求法：第一步：第一步：解方程组解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。第二步：第二步：对于每一个驻点对于每一个驻点第三步：第三步：定出定出计算二阶偏导数值计算二阶偏导数值 A、B、C。的符号，按定理的符号，按定

7、理 2 判定判定是否是极值，是极大值还是极小值是否是极值，是极大值还是极小值本讲稿第十一页，共四十一页例例5：求求 的极值的极值解：（解：（1）得到四个驻点：得到四个驻点：（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断的符号的符号所以所以(1,0)为极小值点，为极小值点，为极小值。为极小值。本讲稿第十二页，共四十一页所以点所以点(1,2)和和(3,0)不是函数的极值点。不是函数的极值点。例例5：求求 的极值的极值解：（解：（1）得到四个驻点：得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断的符号的符号（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数

8、 A、B、C。本讲稿第十三页，共四十一页所以所以(3,2)是极大值点。是极大值点。为极大值。为极大值。例例5：求求 的极值的极值解：（解：（1）得到四个驻点：得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断的符号的符号（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。本讲稿第十四页，共四十一页（二）最大值和最小值（二）最大值和最小值 如果如果 f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续，则它在上连续，则它在 D 上上 必定取得最大值和最小值。必定取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在 D 的的 内部，也可能在内部，也

9、可能在 D 的边界上。的边界上。假定函数在假定函数在 D 上连续、在上连续、在 D 的内部可微且仅有有限的内部可微且仅有有限 个驻点，这时如果函数在个驻点，这时如果函数在 D 的内部取最大或最小值，的内部取最大或最小值，则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点 上取得。上取得。本讲稿第十五页，共四十一页 求可微函数最大值和最小值的一般方法：求可微函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在求函数在 D 内的所有驻点；内的所有驻点；（2）求函数在求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及

10、在将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上上 的最大值，最小者就是最小值。的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或上的最大或 最小值点。最小值点。本讲稿第十六页，共四十一页 求可微函数最大值和最小值的一般方法：求可微函数最大值和最小值的

11、一般方法：（1）求函数在求函数在 D 内的所有驻点；内的所有驻点；（2）求函数在求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上上 的最大值，最小者就是最小值。的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就

12、是函数在内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或上的最大或 最小值点。最小值点。本讲稿第十七页，共四十一页例例6：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：24cm梯形的上底长为梯形的上底长为高为高为其中其中本讲稿第十八页，共四十一页例例6：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才

13、能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：问题转化为求面积函数问题转化为求面积函数 A=A(x,)在区域在区域 D上的最大值上的最大值（1）求）求 A=A(x,)在在 D 内的驻点内的驻点本讲稿第十九页，共四十一页例例6：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：D注意到注意到得唯一驻点得唯一驻点本讲稿第二十页，共四十一页例例6：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一

14、断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：得唯一驻点得唯一驻点（2）在）在 D 的边界上的边界上D本讲稿第二十一页，共四十一页例例6：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：得唯一驻点得唯一驻点（2）在）在 D 的边界上的边界上D所以当所以当断面的面断面的面积最大。积最大。本讲稿第二十二页，共四十一页（三）条件极值与拉格朗日乘数法（三）条件极

15、值与拉格朗日乘数法例：例：求表面积为求表面积为解：解：设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积体积为为 V ,则问题可描述为：则问题可描述为：求体积求体积 在约束条件在约束条件下的最大值下的最大值转化为无条件极转化为无条件极值问题。值问题。而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积本讲稿第二十三页，共四十一页问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。假设假设为一极值点，则为一极值点，则又进一步假设又进一步假设 (x,y)在在 的某一邻域内的某一邻域内具有一阶连

16、续偏导数，且具有一阶连续偏导数，且则则 (x,y)=0 确定了一个隐函数确定了一个隐函数 代入目标函数代入目标函数 z=f(x,y)中得中得它在它在处取得极值，故必有处取得极值，故必有本讲稿第二十四页，共四十一页假设假设为一极值点，则为一极值点，则则则 (x,y)=0 确定了一个隐函数确定了一个隐函数 又由隐函数求导公式有又由隐函数求导公式有所以所以问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。本讲稿第二十五页，共四十一页假设假设为一极值点，则为一极值点，则所以所以则有则有此即为问题此即为问题1 在

17、在取极值的必要取极值的必要条件条件问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。本讲稿第二十六页，共四十一页引入辅助函数引入辅助函数则则问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日乘子拉格朗日乘子本讲稿第二十七页，共四十一页拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：其中，其中，为参数，称之为拉格朗日乘子。为参数，称之为拉格朗日乘子。（2）

18、联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。本讲稿第二十八页，共四十一页 问题问题 2：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 (x,y,z)=0,(x,y,z)=0 下的条件极值。下的条件极值。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数其中其中

19、，称为拉格朗日乘数。称为拉格朗日乘数。（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 2 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。（3）进一步确定所）进一步确定所求点是否为极值点，求点是否为极值点，在实际问题中往往可在实际问题中往往可根据问题本身的性质根据问题本身的性质来判断。来判断。本讲稿第二十九页，共四十一页例例7：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积解：解：设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积体积为为 V ,则问题可描述为在约束条件则问题可描述为在约束条件下，求体积函数下，求体积函数的最大值。的最大值。（1）构造拉格朗

20、日函数）构造拉格朗日函数（2）联解方程组）联解方程组本讲稿第三十页，共四十一页例例7：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积（1）构造拉格朗日函数）构造拉格朗日函数（2）联解方程组）联解方程组解：解：由对称性知，由对称性知，x=y=z，代入最后一个方程解得代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。本讲稿第三十一页，共四十一页例例7：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体

21、积而体积为最大的长方体体积解：解：这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。结论：结论：表面积为表面积为的长方体中，以棱长为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为的正方体的体积最大，且最大体积为本讲稿第三十二页，共四十一页例例8：在椭球面在椭球面上，求距离平面上，求距离平面的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：设解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为则该点到平面的距离为问题

22、问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。由于由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题本讲稿第三十三页，共四十一页问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数的最大最小值。的最大最小值。问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数（2）联解方程组）联解方程组本讲稿第三十四页，共四十一页（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数（2）联解方程组）联解方程组求得两个驻点：求得两个驻点：对应的距离为对应

23、的距离为本讲稿第三十五页，共四十一页例例8：在椭球面在椭球面上，求距离平面上，求距离平面的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：解：问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：对应的距离为对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为最远距离为最远距离为本讲稿第三十六页，共四十一页例例9：求求在条件在条件解：解：下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗

24、日函数（2）联解方程组）联解方程组由对称性知，由对称性知，x=y=z，代入最后一个方程解得代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点本讲稿第三十七页，共四十一页例例9：求求在条件在条件解：解：下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：）判断：设条件设条件所确定的隐函数为所确定的隐函数为代入目标函数中得代入目标函数中得它有唯一驻点它有唯一驻点(3 a,3 a),经计算可得经计算可得本讲稿第三十八页，共四十一页例例9：求求在条件在条件解：解：下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：）判断：它有唯一驻点它有唯一驻点(3 a,3 a),所以，所以，(3a,3a)是函数是函数 u=x y (x,y)的极小值点的极小值点从而原条件极值问题有极小值点从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a)对应的极小值为对应的极小值为本讲稿第三十九页，共四十一页多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结本讲稿第四十页，共四十一页习题习题 9-83、4、5、6、8作 业本讲稿第四十一页，共四十一页