第八讲函数的奇偶性与周期性精选文档.ppt

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1、本讲稿第一页，共五十六页教材知识整合教材知识整合回归教材回归教材本讲稿第二页，共五十六页1.如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x,都有都有f(-x)=f(x),则称则称f(x)为偶函数为偶函数,若若f(-x)=-f(x),则称则称f(x)为奇函数为奇函数,如果一个函数如果一个函数f(x)是是奇函数或是偶函数奇函数或是偶函数,那么我们就说函数那么我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性,奇函数的奇函数的图象关于图象关于原点原点对称对称,偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴轴对称对称,反过来反过来,如果一如果一个函数的图象关于个函数的图象关于原点原点对称对称,那么这个

2、函数为奇函数那么这个函数为奇函数,如果一个如果一个函数的图象关于函数的图象关于y轴轴对称对称,那么这个函数就是偶函数那么这个函数就是偶函数,并且奇并且奇 偶函数偶函数的定义域关于的定义域关于原点原点对称对称.本讲稿第三页，共五十六页2.对于函数对于函数y=f(x),如果存在不为零的常数如果存在不为零的常数T,使得当使得当x取定义域中的每取定义域中的每一个值时一个值时,f(x+T)=f(x)都成立都成立,那么那么f(x)为周期函数为周期函数,T是它的一个周是它的一个周期期,对于一个周期函数来说对于一个周期函数来说,如果在所有周期中存在一个最小如果在所有周期中存在一个最小正数正数,则这个最小正数叫

3、做最小正周期则这个最小正数叫做最小正周期,且若且若T是函数的一个周期是函数的一个周期,则则nT也是函数的一个周期也是函数的一个周期.但并不是所有的周期函数都有最小正但并不是所有的周期函数都有最小正周期周期,如常函数如常函数f(x)=c等等.本讲稿第四页，共五十六页基础自测基础自测1.若函数若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数为偶函数,则则a=()A.-2 B.-1C.1 D.2解析解析:y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数为偶函数,1-a=0,故故a=1.答案答案:C本讲稿第五页，共五十六页2.下列函数中既是奇函数下列函数中既是奇函数,又在区间又在区间(0,+)上单调递增

4、的是上单调递增的是()A.y=sinx B.y=-x2C.y=xlg2 D.y=-x3解析解析:逐个检验逐个检验.答案答案:C本讲稿第六页，共五十六页3.已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)满足满足f(x+2)=-f(x),则则f(6)的值为的值为()A.-1 B.0C.1 D.2解析解析:f(x+2)=-f(x)知知f(x)为周期函数为周期函数,T=4,f(6)=f(2),由由f(x+2)=-f(x),得得f(2)=-f(0),又又f(x)为奇函数为奇函数,f(0)=0,故故f(2)=0,即即f(6)=0.答案答案:B本讲稿第七页，共五十六页4.(2011江西莲塘期末江西莲塘期

5、末)设函数设函数 本讲稿第八页，共五十六页答案答案:2本讲稿第九页，共五十六页5.(2011江西模拟江西模拟)函数函数f(x)对于任意实数对于任意实数x满足条件满足条件f(x+2)若若f(1)=-5,则则ff(5)=_.本讲稿第十页，共五十六页答案答案:-本讲稿第十一页，共五十六页重点难点突破重点难点突破题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性本讲稿第十二页，共五十六页本讲稿第十三页，共五十六页解解 (1)函数的定义域为函数的定义域为R,关于坐标原点对称关于坐标原点对称,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),f(x)为奇函数为奇函数.本讲稿第十四页，

6、共五十六页本讲稿第十五页，共五十六页(4)f(x)的定义域为的定义域为R,关于坐标原点对称关于坐标原点对称,当当x0时时,-x0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x),当当x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x).又又f(0)=02-20=0.对于对于xR,总有总有f(-x)=f(x),故故f(x)为偶函数为偶函数.本讲稿第十六页，共五十六页点评点评 判断一个函数的奇偶性判断一个函数的奇偶性,应分两步进行应分两步进行,第一步第一步,看函数的定看函数的定义域是否关于原点对称义域是否关于原点对称;第二步第二步,看看f(-x)等于什么等于什么,若若f(-x)

7、=-f(x),则则f(x)为奇函数为奇函数,若若f(-x)=f(x),则则f(x)为偶函数为偶函数.本讲稿第十七页，共五十六页变式变式1:(2011江西进贤摸底江西进贤摸底)函数函数的图象的图象()A.关于原点对称关于原点对称 B.关于直线关于直线y=x对称对称C.关于关于x轴对称轴对称 D.关于关于y轴对称轴对称本讲稿第十八页，共五十六页解析解析:f(x)=2x+2-x,f(-x)=2-x+2x=f(x),故故f(x)为偶函数为偶函数.答案答案:D本讲稿第十九页，共五十六页题型二题型二奇偶性的应用奇偶性的应用【例【例2】(1)已知已知f(x)=ax2+bx+1为定义在为定义在2a,1-a上的

8、偶函数上的偶函数,则则a+b=_.(2)若若y=f(x+2)为偶函数为偶函数,则则y=f(x)关于关于_对称对称;若若y=f(x+2)为为奇函数奇函数,则则y=f(x)关于关于_对称对称.(3)已知已知f(x)为定义在为定义在-1,1上的奇函数上的奇函数,且当且当x-1,0上为增函数上为增函数,为锐角三角形的两个内角为锐角三角形的两个内角,则则f(cos)与与f(sin)的大小关系为的大小关系为_.-1x=2(2,0)f(cos)0的的x的取值范围是的取值范围是()A.(-1,0)B.(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-1,+)答案答案:C 本讲稿第二十五页，共五十六页(2)(2011

9、江西南昌摸底江西南昌摸底)已知函数已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数是偶函数,函数函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在在(-,+)单调递减单调递减,则则m的值为的值为()A.2 B.-2C.2 D.0答案答案:B本讲稿第二十六页，共五十六页解析解析:(1)由由lgx0得得x1,又又f(x)为奇函数知为奇函数知f(x)0的解为的解为-1x1.(2)由由f(x)为偶函数为偶函数,知知m2-4=0得得m=2,当当m=2时时,g(x)=-3x2+4x+2不恒小于不恒小于0,不合题意舍去不合题意舍去.当当m=-2时时,g(x)=-3x2+4x-2.=16-4320,故故g(

10、x)0,则则f(2011)=_;(2)(2011江西模拟江西模拟)已知函数已知函数y=f(x),(xR)满足满足f(x+1)=f(x-1),且且x-1,1时时,f(x)=x2,则函数则函数y=f(x)与与y=log5x的图象的交点个的图象的交点个数为数为_.14本讲稿第二十九页，共五十六页 解析解析 (1)f(x+2)f(x)=1知知f(x+2)=f(x+4)f(x)是以是以4为周期的函数为周期的函数.f(2011)=f(3)=f(-1),又当又当x=-1时时f(1)f(-1)=1,而而f(x)为偶函数为偶函数,f(-1)2=1,又又f(x)0,f(-1)=1,即即:f(2011)=1.本讲稿

11、第三十页，共五十六页(2)由由f(x+1)=f(x-1),得得f(x)=f(x+2),则函数则函数f(x)是以是以2为周期的函数为周期的函数,作出作出y=f(x)与与y=log5x的图象的图象(如图如图),可知函数可知函数y=f(x)与与y=log5x的的图象交点个数为图象交点个数为4.本讲稿第三十一页，共五十六页点评点评 抽象函数的周期性往往是以三角函数为模型设计的抽象函数的周期性往往是以三角函数为模型设计的,故研究故研究抽象函数的周期性时抽象函数的周期性时,可联想三角函数的性质可联想三角函数的性质 公式等公式等,运用类比的运用类比的思想思想,分析抽象函数的周期性分析抽象函数的周期性.本讲稿

12、第三十二页，共五十六页变式变式3:已知偶函数已知偶函数f(x)满足满足f(x+3)=-f(x),当当x-3,-2时时,f(x)=2x,则则f(116.5)=_.解析解析:由由f(x+3)=-f(x)知知f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故故f(x)为周期函数为周期函数,6为为f(x)的一个周期的一个周期,故故f(116.5)=f(2.5).又又f(x)为偶函数为偶函数,f(2.5)=f(-2.5)=2(-2.5)=-5.答案答案:-5本讲稿第三十三页，共五十六页【例【例4】已知函数已知函数f(x)是定义域为是定义域为R的奇函数的奇函数,且它的图象关于直且它的图象关于直线线x=1对称对称.

13、(1)求求f(0)的值的值;(2)证明证明:函数函数f(x)是周期函数是周期函数;(3)若若f(x)=x(0 x1),求求xR时时,函数函数f(x)的解析式的解析式,并画出满足条并画出满足条件的函数件的函数f(x)至少一个周期的图象至少一个周期的图象.本讲稿第三十四页，共五十六页 解解 (1)函数函数f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=-f(x),令令x=0,则则f(0)=-f(0),即即2f(0)=0,f(0)=0.本讲稿第三十五页，共五十六页(2)函数函数f(x)是奇函数是奇函数,f(x)=-f(-x)又又f(x)关于直线关于直线x=1对称对称,f(x)=f(2-x)由由得得,-f(-x

14、)=f(2-x),换换-x为为x,则则f(2+x)=-f(x),f(4+x)=f2+(2+x)=-f(2+x)=-f(x)=f(x),故故f(x)是以是以4为周期的为周期的周期函数周期函数.本讲稿第三十六页，共五十六页(3)f(x)=x,0 x1,当当-1x0时时,0-x1,f(-x)=-x.又又f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x,f(x)=x,又又f(0)=0,当当-1x1时时,f(x)=x,当当1x3时时,f(x)=-x+2,本讲稿第三十七页，共五十六页本讲稿第三十八页，共五十六页 点评点评 (1)周期函数问题周期函数问题,在考题中常有两类表现形式在考题中常

15、有两类表现形式:一类是一类是研究三角函数的周期性研究三角函数的周期性;一类是研究抽象函数的周期性一类是研究抽象函数的周期性.抽象抽象函数的周期常常应用定义函数的周期常常应用定义f(T+x)=f(x)给予证明给予证明,证明时多从中心证明时多从中心对称对称 轴对称所产生的数学等式出发轴对称所产生的数学等式出发,推导满足周期定义的等式推导满足周期定义的等式,从从而证明函数为周期函数的同时求出周期而证明函数为周期函数的同时求出周期.(2)根据函数周期性根据函数周期性,可求某区间上解析式可求某区间上解析式,画出某区间上图象或求画出某区间上图象或求某一函数值某一函数值.本讲稿第三十九页，共五十六页变式变式

16、4:已知偶函数已知偶函数f(x)满足满足y=f(x+1)为奇函数为奇函数,当当x0,1时时f(x)=2x,则则f(2011.5)=_.本讲稿第四十页，共五十六页解析解析:y=f(x+1)为奇函数为奇函数,可知可知f(x)关于关于(1,0)对称对称,故有故有f(x)+f(2-x)=0,f(x)=-f(2-x),f(-x)=-f(2+x),又又f(x)为偶函数为偶函数,f(x)=-f(2+x),故故f(4+x)=-f(2+x)=f(x),f(x)为周期函数为周期函数T=4,f(2011.5)=f(3.5)=f(-0.5)=f(0.5)=1.答案答案:1本讲稿第四十一页，共五十六页解题方法拾遗解题方

17、法拾遗函数的奇偶性函数的奇偶性 周期性是函数的重要性质周期性是函数的重要性质,也是高考的必考内容之一也是高考的必考内容之一,研究函数的奇偶性必须坚持研究函数的奇偶性必须坚持“定义域优先定义域优先”的原则的原则,因为定义域不因为定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数,研究周期函数常研究周期函数常用定义法用定义法,对于抽象函数的奇偶性常用赋值法对于抽象函数的奇偶性常用赋值法.本讲稿第四十二页，共五十六页【例【例5】已知函数已知函数y=f(x),(xR,且且x0),对任意非零实数对任意非零实数x1,x2,恒恒有有f(x1 x2)=f(x1)+f(

18、x2),试判断试判断f(x)的奇偶性的奇偶性.本讲稿第四十三页，共五十六页解解 令令x1=x2=1,f(1)=2f(1),故故f(1)=0,令令x1=x2=-1.则有则有f(1)=2f(-1)=0,即即:f(-1)=0,令令x2=x,x1=-1,则则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),f(x)为偶函数为偶函数.本讲稿第四十四页，共五十六页点评点评 判断抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性,常用赋值法常用赋值法.本讲稿第四十五页，共五十六页考向精测考向精测本讲稿第四十六页，共五十六页1.(2010安徽安徽)若若f(x)是是R上周期为上周期为5的奇函数的奇函数,且满足且满足f(1)=1,f

19、(2)=2,则则f(3)-f(4)=()A.-1 B.1C.-2 D.2解析解析:f(x)为为R上的以上的以5为周期的奇函数为周期的奇函数,f(4)=f(4-5)=-f(1)=-1,f(3)=f(3-5)=-f(2)=-2,f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.答案答案:A本讲稿第四十七页，共五十六页2.(2011江西修水月考江西修水月考)已知函数已知函数f(x)=kx+log4(4x+1)(kR)是偶函数是偶函数.(1)求求k的值的值;(2)若方程若方程f(x)-m=0有解有解,求求m的范围的范围.本讲稿第四十八页，共五十六页本讲稿第四十九页，共五十六页教师备课资源教师备课资源本讲稿第五

20、十页，共五十六页本讲稿第五十一页，共五十六页本讲稿第五十二页，共五十六页2.已知已知f(x)为定义在为定义在(-1,1)上的奇函数上的奇函数,在在(-1,0)上单调递增上单调递增,若对于若对于任意任意x(-1,1),总有总有f(1-m)+f(1-m2)0,求求m的取值范围的取值范围.本讲稿第五十三页，共五十六页本讲稿第五十四页，共五十六页3.(2010重庆重庆)已知函数已知函数f(x)满足满足4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),(x,yR),则则f(2010)=_.本讲稿第五十五页，共五十六页解析解析:由由4f(1)f(0)=f(1)+f(1)得得f(0)=2f(1)=,f(n+1)+f(n-1)=4f(n)f(1)=f(n),f(n+1)=f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-2)-f(n-1)=-f(n-2),故故f(x)为周期函数为周期函数.T=6,f(2010)=f(0)=.答案答案:本讲稿第五十六页，共五十六页