函数逼近的插值法PPT讲稿.ppt

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1、函数逼近的插值法第1页，共83页，编辑于2022年，星期五引言 许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间a，b上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出a,b上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。第2页，共83页，编辑于2022年，星期五引言问题提出1 函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值2 仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于

2、计算的近似表达式.第3页，共83页，编辑于2022年，星期五引言 第4页，共83页，编辑于2022年，星期五2.1 Lagrange插值法第5页，共83页，编辑于2022年，星期五线性插值第6页，共83页，编辑于2022年，星期五 第7页，共83页，编辑于2022年，星期五 第8页，共83页，编辑于2022年，星期五Lagrange插值法第9页，共83页，编辑于2022年，星期五构造插值基函数 引理1 设在区间a,b上有n+1个互异节点 ，如果n次多项式 满足则第10页，共83页，编辑于2022年，星期五构造插值函数Ln(x)第11页，共83页，编辑于2022年，星期五第12页，共83页，编辑

3、于2022年，星期五第13页，共83页，编辑于2022年，星期五第14页，共83页，编辑于2022年，星期五误差估计第15页，共83页，编辑于2022年，星期五特例第16页，共83页，编辑于2022年，星期五第17页，共83页，编辑于2022年，星期五第18页，共83页，编辑于2022年，星期五第19页，共83页，编辑于2022年，星期五例题第20页，共83页，编辑于2022年，星期五第21页，共83页，编辑于2022年，星期五例题第22页，共83页，编辑于2022年，星期五第23页，共83页，编辑于2022年，星期五第24页，共83页，编辑于2022年，星期五第25页，共83页，编辑于202

4、2年，星期五第26页，共83页，编辑于2022年，星期五Lagrange插值算法第27页，共83页，编辑于2022年，星期五 第28页，共83页，编辑于2022年，星期五编写程序如下nfunction yy =Lagrange(x,y,xi)nm=length(x);n=length(y);nif m=n,error(The length of vector x and y must be consistent);endns=0;nfor i=1:nn z=ones(1,length(xi);n for j=1:nn if j=in z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j);n end

5、n endn s=s+z*y(i);nendnyy=s;nend第29页，共83页，编辑于2022年，星期五n 例2 已知数据如表所示，试用Lagrange插值多项式求x=0.5626，0.5635，0.5645时的函数近似值。xi0.56160 0.56280 0.56401 0.56521yi0.82741 0.82659 0.82577 0.81495第30页，共83页，编辑于2022年，星期五nx=0.5610,0.56280,0.56401,0.56521;n y=0.82741,0.82659,0.82557,0.82495;n xi=0.5625,0.5635,0.5645;n

6、yi=Lagrange(x,y,xi)nyi=n 0.8268 0.8260 0.8252n plot(x,y,o,xi,yi,g)第31页，共83页，编辑于2022年，星期五第32页，共83页，编辑于2022年，星期五关于Langrange插值的几点说明n 仅与已知数据 有关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。n若 本身是一个不超过n次多项式，则第33页，共83页，编辑于2022年，星期五nLangrange插值也有其不足 为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的 全改变，也就是原来的数据不能利用，浪费资源；第34页，共83页，编辑于2022年，星期五第35页，共83页，编辑于202

7、2年，星期五n例3 在区间【-5，5】上取节点数n=11，等距间隔h=1的节点为插值点，对于 进行Lagrange插值，画出 和插值多项式的曲线图。作业：取节点数n=21 等距间隔h=1第36页，共83页，编辑于2022年，星期五nt=-5:0.1:5;nft=5./(1+t.*t);nt1=-5:1:5;nft1=5./(1+t1.*t1);ny1=Lagrange(t1,ft1,t);nplot(t,ft,b+,t,y1,r:)第37页，共83页，编辑于2022年，星期五第38页，共83页，编辑于2022年，星期五第39页，共83页，编辑于2022年，星期五第40页，共83页，编辑于202

8、2年，星期五第41页，共83页，编辑于2022年，星期五第42页，共83页，编辑于2022年，星期五第43页，共83页，编辑于2022年，星期五差商的性质 第44页，共83页，编辑于2022年，星期五第45页，共83页，编辑于2022年，星期五差商的性质第46页，共83页，编辑于2022年，星期五第47页，共83页，编辑于2022年，星期五第48页，共83页，编辑于2022年，星期五第49页，共83页，编辑于2022年，星期五第50页，共83页，编辑于2022年，星期五第51页，共83页，编辑于2022年，星期五第52页，共83页，编辑于2022年，星期五Newton插值计算插商表1一阶插商二

9、阶插商三阶插商单元号F(0)F(1)F(2)F(3)F(n)第53页，共83页，编辑于2022年，星期五插商表2第54页，共83页，编辑于2022年，星期五求Nn(x)n插商表1计算简单，好实现，但数值不稳定。n插商表2在计算机上稳定性好，但算法复杂。n下面用n=3举例计算“秦九韶算法”第55页，共83页，编辑于2022年，星期五第56页，共83页，编辑于2022年，星期五例题第57页，共83页，编辑于2022年，星期五第58页，共83页，编辑于2022年，星期五第59页，共83页，编辑于2022年，星期五第60页，共83页，编辑于2022年，星期五nfunction yi=Newton In

10、t(x,y,xi)nn=length(x);m=length(y);nif n=mn error(The length of vector x and y must be consistent);n return;nendnY=zeros(n);Y(:,1)=y;nfor k=1:n-1n for i=1:n-kn Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i);n endnendnyi=0;nfor i=1:nn z=1;n for k=1:i-1n z=z*(xi-x(k);n endn yi=yi+Y(1,i)*z;nend第61页，共83页，编辑于2022

11、年，星期五n=2;x=linspace(0,2,n);y=2*exp(x)+sin(x);xi=0:0.01:2;yi=New_Int(x,y,xi);xx=0:0.01:2;yy=2*exp(xx)+sin(xx);plot(xx,yy,b,x,y,b*,xi,yi,r-)第62页，共83页，编辑于2022年，星期五nLagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性，但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及已知点的

12、导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。第63页，共83页，编辑于2022年，星期五第64页，共83页，编辑于2022年，星期五Hermite插值多项式n构造H(x)第65页，共83页，编辑于2022年，星期五第66页，共83页，编辑于2022年，星期五第67页，共83页，编辑于2022年，星期五第68页，共83页，编辑于2022年，星期五第69页，共83页，编辑于2022年，星期五第70页，共83页，编辑于2022年，星期五第71页，共83页，编辑于2022年，星期五第72页，共83页，编辑于2022年，星期五算法2.3.1第73页，共83页，编辑于2022年，星期五第74页，共83页，编辑于2022年，星期五Hermite插值余项第75页，共83页，编辑于2022年，星期五特例第76页，共83页，编辑于2022年，星期五第77页，共83页，编辑于2022年，星期五例题第78页，共83页，编辑于2022年，星期五第79页，共83页，编辑于2022年，星期五第80页，共83页，编辑于2022年，星期五第81页，共83页，编辑于2022年，星期五第82页，共83页，编辑于2022年，星期五第83页，共83页，编辑于2022年，星期五