第七章偏导数与全微分精选文档.ppt

《第七章偏导数与全微分精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章偏导数与全微分精选文档.ppt（74页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第七章偏导数与全微分1本讲稿第一页，共七十四页xo-RRR-R2本讲稿第二页，共七十四页（2）邻域：以点为园心，以 为半径的开园域称为点 的 邻域，即3本讲稿第三页，共七十四页（3 3）平面区域）平面区域：由一条或几条连续曲线所围的平面的一部分称为平面区域记为D.围成区域的曲线称为边界，连同边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域；如果可延伸到无穷远处，就称为无界区域，否则称为有界区域.我们这里讨论的区域是一种特殊的区域：任何平行于X轴或Y轴的直线与该平面区域的交点不多于两点，但容许边界曲线包含平行坐标轴的线段.例如：是无界开区域4本讲稿第四页，共七十四页是有界闭区域.5本讲稿第五

2、页，共七十四页2、多元函数的定义二元函数的定义域是平面点集，通常用平面区域D表示.6本讲稿第六页，共七十四页107本讲稿第七页，共七十四页对应关系的求法同一元函数8本讲稿第八页，共七十四页9本讲稿第九页，共七十四页3、二元函数的几何意义10本讲稿第十页，共七十四页11本讲稿第十一页，共七十四页注：二元函数的极限要求点注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，以任何方式，任何方向，任何路径趋向于任何方向，任何路径趋向于 时，均时，均有有若能找到两条不同的路径使若能找到两条不同的路径使沿此两路径沿此两路径 时，时，f(x,y)具有不同的具有不同的4.4.二元函数的极限二元函数的极限12本讲稿

3、第十二页，共七十四页例4.若有(C ),则极限 存在.当点 沿无穷条路径趋向定点 时,有分析:多元极限是全面极限,动点趋于定点13本讲稿第十三页，共七十四页方式应是任意方向任意路径.同时取极限过程中各变量变化是同步的,与累次极限没有关系,由此(C)成立,即连续必有极限.5.5.二元函数连续性定义：二元函数连续性定义：14本讲稿第十四页，共七十四页4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。大最小值定理、零值定理。6.6.二元函数偏导数定义二元函数偏导数定义15本讲稿第十五页，共七十四页 同样可定义关于同样可定义关于y的偏导数的偏导

4、数:注：注：16本讲稿第十六页，共七十四页17本讲稿第十七页，共七十四页7二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数18本讲稿第十八页，共七十四页12若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，则意味着可交换混则意味着可交换混 合偏导数的求导次序，合偏导数的求导次序，可将结果整理为最简形式。可将结果整理为最简形式。8.8.二元函数的全微分二元函数的全微分:19本讲稿第十九页，共七十四页20本讲稿第二十页，共七十四页21本讲稿第二十一页，共七十四页三元函数的全微分三元函数的全微分:多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和.22本讲

5、稿第二十二页，共七十四页12349.9.连续、偏导数存在与可微之间的关系连续、偏导数存在与可微之间的关系混合偏导数相等.23本讲稿第二十三页，共七十四页24本讲稿第二十四页，共七十四页二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一):一般函数一般函数 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算 25本讲稿第二十五页，共七十四页26本讲稿第二十六页，共七十四页例例2.已知已知 则（则（）分析：如果先求导再代值，无法将代入，所以应按定义去做。27本讲稿第二十七页，共七十四页故应选（B）28本讲稿第二十八页，共七十四页29本讲稿第二十九页，共七十四页解解：（1）30本讲稿第三十页，共七十四页31本

6、讲稿第三十一页，共七十四页搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积。对自变量的偏导数之积。注：注：有些复杂的函数也可引进中间变量画出变有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导。量关系图后再求导。问题问题(二二):):复合函数偏导数求法复合函数偏导数求法32本讲稿第三十

7、二页，共七十四页解解:变量关系如图变量关系如图:33本讲稿第三十三页，共七十四页34本讲稿第三十四页，共七十四页35本讲稿第三十五页，共七十四页36本讲稿第三十六页，共七十四页“抽象抽象”的复合函数偏导数的求法的复合函数偏导数的求法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法法具体求出只能保留法具体求出只能保留“抽象抽象”的形式。视情况可画变量的形式。视情况可画变量关系图，也可不画变量关系图。关系图，也可不画变量关系图。37本讲稿第三十七页，共七十四页例1.设 可导，则分析：应填2Z38本讲稿第三十八页，共七十四页另解：另解：39本讲稿第三十九页

8、，共七十四页例3.设函数解：40本讲稿第四十页，共七十四页由三元方程由三元方程F(x,y,z)=0所确定的所确定的z是是x,y的函数的函数z=f(x,y)称称二元隐函数。二元隐函数。(因变量不能单独出现在等号一边因变量不能单独出现在等号一边);问题问题(三三)：多元隐函数偏导数的求法：多元隐函数偏导数的求法41本讲稿第四十一页，共七十四页42本讲稿第四十二页，共七十四页43本讲稿第四十三页，共七十四页44本讲稿第四十四页，共七十四页两边求导法两边求导法:公式法：公式法：45本讲稿第四十五页，共七十四页问题问题(四四):):求二元函数的极值求二元函数的极值(1)定义：定义：46本讲稿第四十六页，

9、共七十四页(3)极值存在的充分条件：极值存在的充分条件：47本讲稿第四十七页，共七十四页步骤步骤48本讲稿第四十八页，共七十四页条件极值及解法条件极值及解法求条件极值有两种方法：求条件极值有两种方法：(1)化为无条件极值化为无条件极值49本讲稿第四十九页，共七十四页(2)拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求极值步骤：求极值步骤：123无须判定，直接根据实际问题下结论无须判定，直接根据实际问题下结论50本讲稿第五十页，共七十四页51本讲稿第五十一页，共七十四页52本讲稿第五十二页，共七十四页例例2.（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为单价分别为

10、10万元和万元和9万元，生产万元，生产x件甲种产品和件甲种产品和y件件乙种产品的总成本为乙种产品的总成本为又已知两种产品的总产量为又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大件，求企业获得最大利润时利润时,两种产品的产量各是多少两种产品的产量各是多少?53本讲稿第五十三页，共七十四页54本讲稿第五十四页，共七十四页答答:企业获得最大利润时企业获得最大利润时,两种产品的产量分别为两种产品的产量分别为70件件和和30件件.55本讲稿第五十五页，共七十四页例例3.某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入的广告，根据统计

11、资料，销售收入R（万元）与电台广（万元）与电台广告费告费 （万元）及报纸广告费用（万元）及报纸广告费用 (万元万元)之间有关系式：之间有关系式：(1)在广告费用不限的情况下在广告费用不限的情况下,求最优广告策略求最优广告策略;解解:（1）无条件极值）无条件极值利润函数利润函数56本讲稿第五十六页，共七十四页(2)求条件极值求条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当电台广告费为电台广告费为0.75万元，报纸广告费为万元，报纸广告费为1.25万元时利万元时利润最大此为最优广告策略润最大此为最优广告策略.以此代替检验

12、。以此代替检验。构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：57本讲稿第五十七页，共七十四页解得解得因此将广告费因此将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利万元全部用于报纸广告，可使利润最大润最大.58本讲稿第五十八页，共七十四页三、课后练习三、课后练习59本讲稿第五十九页，共七十四页60本讲稿第六十页，共七十四页61本讲稿第六十一页，共七十四页11.已知函数设12.则（B）62本讲稿第六十二页，共七十四页13.已知 的全微分为则的取值分别为（B ）（A）2和2；（B）2和2；（C）3和3；（D）3和3.分析；由 全微分存在，知偏导数存且连续，从两个二阶混合偏导数相等，即，由此可而确定由题设知63本

13、讲稿第六十三页，共七十四页故应选（B）64本讲稿第六十四页，共七十四页计算。14.设且解：变量关系如图65本讲稿第六十五页，共七十四页于是66本讲稿第六十六页，共七十四页16.设所确定的函数，且是可微的，求67本讲稿第六十七页，共七十四页解：变量关系如图：由 对x求导，得（1）再由两边对x求导，得出（2）68本讲稿第六十八页，共七十四页将（2）代入（1）得：整理解出 ：17.设69本讲稿第六十九页，共七十四页提示：18.设70本讲稿第七十页，共七十四页提示：可引进中间变量，也可直接求导.令71本讲稿第七十一页，共七十四页19.设提示：先分别求出，再代入化简.20.设由方程 确定了函数 ，则（D ）72本讲稿第七十二页，共七十四页解：利用隐函数求偏导数公式，令由此可得，故选（D）21.由方程 确定的函数 73本讲稿第七十三页，共七十四页处的全微分分析：等式两边求全微分，有74本讲稿第七十四页，共七十四页