等式性质与不等式性质（教案）—— 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

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1、授课时间： 年 月 日课题2.1.2等式性质与不等式性质课型新授第几课时课时教学目标（三维）1.梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法，即实数序关系的特性和运算中的不变性.2.运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质；体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用，发展学生逻辑推理素养.3.运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养.教学重点与难点重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法

2、引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质。难点：梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质。教学方法与手段通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再有理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握。使用教材的构想教材中先从等式性质入手，等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”。不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类。不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种。再利用不等式的基本性质可推

3、导出不等式的一些其他性质。课时教学流程(试用) 补 充补充设计教 师 行 为学 生 行 为课堂变化及处理主要环节的效果新课引入通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质. 好！我们一起走进“等式性质与不等式性质”.复习等式性质，梳理思想方法问题1：请你回忆一下等式都有哪些性质？追问：（1）这三条性质有什么共性？可以看

4、作是运用了什么相同的方法“得到的”？教师板书这三条性质.（2）等式是否还有其他性质？还有些等式的性质，我们在无意识地使用，之所以大家说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的性质.比如说，一个相等关系，即两个相等的实数，无论哪个写在等号左边或右边，等式均成立，即“如果a=b，则b=a”，此性质与a,b的顺序无关，它反映了等式自身的特性.（3）从等式自身性质的角度是否还有其他性质？教师板书5条性质.（4）观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么共性？哪些基本性质可以看作是运用了相同的方法（发现的视角相同）得到的？具体的角度是什么？学生说出性质3，4，5归纳这3条性质是从运算角度提出

5、的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立.教师指出，学生说出性质2，此性质也反映了等式自身的特性.学生发现性质3，4，5具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，然后发现性质1，2蕴含的共性都是反映了等式自身的特性.这三条性质反映了相等关系在运算中保持不变性的特点.性质3中减法可以看成加法，即两边同加 ，性质5中的除法可以看成乘法，即两边同乘1/c ，高中数学加减乘除的运算更趋于一般性，所以可以将其合并.由于数学的基本运算有加法和乘法，所以这些性质可称为等式的基本性质.数学基本运算可派生出像乘方、开方等运算的结论，就是一些常用的性质.课时教学流程(试用) 补 充补充设计教 师 行 为

6、学 生 行 为课堂变化及处理主要环节的效果问题2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了哪些思想方法吗？探究不等式的性质，体会类比探究方法问题3：初中我们通过由特殊到一般的方法，归纳过一些不等式的性质.现在，你打算如何研究不等式的性质？追问：从什么视角来研究不等式的性质？问题4：类比等式的基本性质蕴含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果 ，那么 ”.但学生会认为这是显然成立的事实，不能从逻辑推理角度进行证明.追问：（1）你打算怎么进行证明？（2）此性质与等式性质1有何异同？学生总结，发现等式的基本性质的方法有“相等关系自身的特性”和“相等

7、关系对运算保持不变”两种.这两个方面是研究等式基本性质中体现的思想方法.学生领悟到研究不等式的性质可类比发现等式性质及其蕴含的思想方法.学生表述，从不等式的“自身”和“运算”两个视角研究不等式的基本性质.学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导. 学生证明预设两种方案：方案一：学生运用数轴说明a,b的大小关系. 教师评价此方法是从几何角度分析代数性质的，其直观性较强，能帮助我们感受到此性质反映了“不等式自身的特性”.同时教师指出数学结论要从逻辑推理角度进行严格的证明.教师继续提问，能否进行证明？（见方案二）方案二：教师视情况引导，目前只能用两个实数大小关系的基本事实，别无他法.学生

8、发现由于不等号是有方向的，实数位置对调后，符号也要对调.由学生自主发现研究问题的方法，提高学生对等式性质中蕴含的思想方法的理解和对类比学习方法的认识.让学生自主进行类比研究，体会性质1反映的是不等关系自身的特性.学生在利用两个实数大小关系的基本事实证明的过程中，感受到数学问题的证明均有章可循，有理有据.课时教学流程(试用) 补 充补充设计教 师 行 为学 生 行 为课堂变化及处理主要环节的效果（3）你还有什么结论？通过性质1的证明中的启示，能否修证你的证明过程？（4）如何证明（a-b）+（b-c）大于0？师生活动：问题5：类比等式性质中蕴含的“运算中的不变性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的

9、基本性质吗？追问：（1）用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？学生猜想不等式自身特性有“如果ab, bc，那么ac”.学生的证明预设两种方案.预案一：学生利用实数的几何意义，即在数轴上找到三个数，分析其大小关系（学生受到性质1证明过程的启发，一般不会采用此方法）；预案二：学生分析证明思路，若要证明ac，只需证a-c0.学生容易想到与a-b0，b-c0建立联系.考虑到a-c=（a-b）+（b-c），只需判断此代数式的符号.学生联想实数的基本事实，“正数加正数是正数”问题得证.教师指出，实数的一些基本事实在证明中的有着重要

10、的作用，让学生体会代数证明的逻辑性和严谨性.教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导.学生猜想“不等式在加法运算中保号性”，即 “如果ab，那么a+cb+c”.在前两个性质证明的基础上，学生能够分析要证a+cb+c，只需证（a+c）-（b+c）与0 的大小关系，也就是a-b与0的大小关系.得出如下证明：由ab，得a-b0，所以（a+c）-（b+c）0, 即a+cb+c.1.学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向.教师点明文字语言表达具有“直白”的特点，有助于理解其本质，即反映了不等式在加法运算中的“保号性”.教师指出“减法”与“加法”在运

11、算中是一致的，加法是基本运算，进而此性质为基本性质.此性质的探究过程，一方面使学生经历类比的探究过程，另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想要有证明，证明要有依据”.课时教学流程(试用) 补 充补充设计教 师 行 为学 生 行 为课堂变化及处理主要环节的效果2.通过教师展示a+c,b+c的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c的正负.教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题.（2）是否还有其他结论？（3）不等式的两边同乘一个数，为何要分类讨论？教师引导学生分析，此

12、结论在于比较ac与bc的大小，由两个实数大小关系的基本事实，即判断ac-bc与 的大小关系，这显然与条件中的a-b有关，自然能考虑通过ac-bc=（a-b）c，从而判断此式的正负。由于a-b0，（a-b）c的正负由c的正负决定，从而需要分析讨论，这样学生也自然有了证明的思路.（4）用文字语言怎样表述此性质？强调文字语言具有较为“直白”的特点，让学生感受此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”. 可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质.学生猜想“不等式在乘法运算中的规律性”，即不等式两边同乘同一个实数的结论，并用数学语言表达.

13、学生猜想“如果ab,c0，那么acbc”，“如果ab,c0，那么acb,cd，那么a+cb+d”.证明方法有两种：方法一：学生分析证明方法，若要证a+cb+d，只需证（a+c）-（b+d）0，与已知联系，也就是证明（a+c）-（b+d）0。由已知a-b0,c-d0，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证.学生探索证法二（如下）.方法二：学生从性质3中得到启发，要证a+cb+d，需要构造与a+c和b+d相关的不等式，联想不等式基本性质，可有以下证明.由性质3，得a+cb+c，c+bd+b；由性质2，得a+cb+d.预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果ab,cd，那么a

14、cbd”.学生回答，不等式基本性质4中强调，两边同乘负数不等号要变方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”.同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的.教师评价，这是缩小范围修正错误的方法，由学生课后进行证明.教师指出此性质为不等式性质6.总结等式基本性质与不等式基本性质的差异，并能从本质上理解不等号变号的原因.此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时占据“一席之地”.此方法是基于不等式的基本性质的应用，逻辑性很强.指出此性质为性质5.课时教学流程(试用) 补 充补充设计教 师 行 为学 生 行 为课堂

15、变化及处理主要环节的效果（5）如果性质6中a=c,b=d，你有何新的结论？实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.例2已知，求证分析：要证明，因为，所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明证明：因为，所以，.于是 即由，得课堂小结：1.本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？2.类比探究都要经历什么过程？学生可以得出“如果ab0，那么a2b2”，并能推广到“如果ab0，那么anbn（nN*, n2）”.教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例.教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，我们还能推导出很多

16、不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论.师生共析，学生尝试书写证明过程。本题利用不等式基本性质，体现“分析法”的证明思路和“综合法”的表达方式，提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识.学生口答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质.学生总结，教师帮助整理：经历“前备经验归纳特点类比猜想推理证明（修正）理解表达探究个性应用反思”的过程.1.让学生经历“猜想证明修正再证明得出性质理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；2.让学生充分认识到“运算中的不变性、规律性”在研究不等式性质中的“引路人”作用，加深学生对“代数性质”的认识，从而发展“四基”，提高“四能”.从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中.补充设计课时教学设计尾页板书设计 2.1.2等式性质与不等式性质 一、等式的基本性质： 例题： 二、不等式的基本性质：小结 作业设计教材42页习题2.1第6，7，8，10题.教学后记检测的目标点与用时预设；反馈、矫正方法预设与达标效果补充 课时达标检测设计项 目 检 测 内 容当 堂达 标检 测