第12节 指数函数及指数型函数 教学案—— 高三数学一轮复习.docx

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1、 指数函数及指数型函数（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握指数函数概念指数函数定义域指数函数值域、最值指数型复合函数单调性指数比较大小、方程与不等式指数函数奇偶性 一、指数函数概念【知识点】1. 定义：一般地，形如形式的函数叫做指数函数，其中是底数，指数是自变量。2. 指数函数形式上的严格性：在指数函数的定义表达式中，的系数必须是1，指数必须是，而且不等含有其它项。其它形式都不是指数函数，例如：都不是指数函数。3. 指数函数过定点（1,0），因为。 4. 指数函数的单调性由底数决定，时单调递增；时，单调递减。【例题讲解】例题1下列一定是指数函数的是（）A. BC D. 答案：C解析：根

2、据指数函数的定义即可练习1下列函数不是指数函数的是ABCD答案：A解析：根据指数函数的定义即可练习2下列函数是指数函数的是（ ）A. B. C. D. 答案：D解析：根据指数函数的定义即可例题2函数是指数函数， 则 答案：3解析：根据指数函数的定义可得a=3练习1函数是指数函数，则实数的取值范围是 答案： 解析：根据指数函数的定义即可练习2函数是指数函数，且，则 答案： 解析：根据指数函数的定义设例题3函数的图象恒过的点为ABCD答案A【解答】解：令则，所以函数的图象恒过的点为练习1. 函数的图像恒过定点A，下列函数图像不过点A的是（）A. B. C. D. 答案：A解析：定点为带入验证即可练

3、习2. 函数中，不论取何值，函数图像均经过一个定点P，则定点P的坐标为 答案：（-5,2）解析：带入可将a约掉可得过定点（-5,2）例题4若函数过点，则 .答案：解析：将点带入函数即得，所以练习1. 函数的图像恒过定点，若点在直线，上，则的最小值为 .答案：解析：由题知，.所以，当且仅当时取“=”.知识点要点总结：1.判断一个函数是指数函数的方法指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)的系数必须为1；(4)指数函数不会是多项式，如不是指数函数2已知某函数是指数函数求参数值的方法(

4、1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程(2)解不等式与方程求出参数的值3. 求指数型函数过顶点时，将指数看作一个整体，令其等于0即可。提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件二、指数函数的定义域【知识点】1. 定义：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是，是底数2. 单调性：指数函数的单调性由底数决定，时单调递增；时，单调递减。【例题讲解】例题1已知集合 ， ，则 A B C D答案：B解析：解不等式取交集即可 练习1已知集合，则ABCD答案：C解析：解不等式取交集即可 例题2. 函数的定义域是（）A. B. C. D. 答案：C解析：解不等式取交集即可 练

5、习1函数的定义域为（）A. B. C. D. 答案：A解析：解不等式取交集即可 练习2设函数，则函数的定义域为（）A BCD答案：A解析：的定义域为所以例题3. 求函数的定义域答案：解析：，令，即，解得，所以 练习1函数的定义域是（ ）A BCD答案：B解析：解不等式即可三、指数函数的值域、最值【例题讲解】例题1集合，则 （ ）ABCD 答案：B解析：A集合为，B集合为取交集即可练习1已知集合，则（ ）ABCD答案：B解析：A集合为，B集合为取交集即可练习2设集合，则（ ）ABCD答案：C解析：A集合为，B集合为取交集即可例题2.函数的值域为（ ）ABCD答案：D解析：的值域为，所以的值域为练

6、习1已知函数，则_，函数的值域为_.答案： 解析：第一空带入即可，第二空画图可得练习2.函数的最小值是（ ）A65B C-1D1答案：D解析：令，则， 练习3已知函数，则函数的最大值是（ ）A7B8C21D22答案：B解析：由题意得，因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则，当 例题3. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围为（ ）ABC D答案:C解析：当时，而当时，故函数的值域为；而，所以，故，解得。 练习1.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A(16,32)B(18,34)C(17,35)D(6,7)答案：B解析：画出函数的图象如图所示不妨令，则，则结合图像可得，故所以选B

7、例题4.函数的定义域为_，值域为_.答案： 解析：略 练习1已知函数，求函数f(x)的定义域与值域答案：定义域,值域。解析：略 四、指数型复合函数单调性【知识点】与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数的单调性，它的单调区间与的单调区间有关：(1)若，函数的单调增(减)区间即函数的单调增(减)区间；(2)若，函数的单调增(减)区间即函数的单调减(增)区间即“同增异减”【例题讲解】例题1求函数的定义域、值域及单调区间答案：定义域是值域是;单调减区间是，单调增区间是解析：定义域解不等式即可，值域根据复合函数求值域，单调区间同增异减练习1已知函数，求其单调区间及值域答案：在上是增函数，在上是减函数，

8、值域为解析：值域根据复合函数求值域，单调区间同增异减练习2. 函数为增函数的区间是（ ）ABCD答案：C解析：复合函数单调区间同增异减例题2. 若函数在上单调递减，则的取值范围为_答案：(，0 解析：画图即可练习1设，那么是A奇函数且在上是增函数B偶函数且在上是增函数C奇函数且在上是减函数D偶函数且在上是减函数答案：D解析：通过图像，x带绝对值为右翻左，画图即可练习2已知函数，下面说法正确的有（ ）A的图像关于原点对称B的图像关于轴对称C的值域为D，且，恒成立答案：AC 解析：对于选项A，定义域为，则，则是奇函数，图象关于原点对称；对于选项B，计算，故的图象不关于y轴对称；对于选项C，令，易知

9、，故的值域为；对于选项D，令，函数在上单调递增，且在上单调递增，根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，故，且，不成立.例题3.已知函数，且.（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；（2）证明：函数是奇函数；（3）若，求实数的取值范围.答案：（1）2，在上为增函数；（2）证明见解析；（3）（，1）.解析：（1）因为，所以，即，因为，所以.函数在上为增函数.（2）由（1）知定义域为.对任意，都有.所以函数是奇函数，（3）不等式等价于，因为函数是奇函数，所以，又因为函数在上为增函数，所以，即.解得.所以实数的取值范围为（，1）.练习1.已知 ( 且 )的值域为 则 与 的关系是A

10、BCD不能确定答案：B解析： ，函数的值域为 由于函数 在（ 上是增函数，且它的图象关于直线 对称，可得函数在 上是减函数再由 ，可得例题4.已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若的最大值为3，求实数的值；答案：（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）1.解析：（1）当时，令，由于在上单调递减，在单调递增，而在上为减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）令，则，因为的最大值为3，所以的最小值为-1，当时，无最大值；当时，有，解得，所以当的最大值为3时.练习1已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若的最大值为3，求实数的值；（3）若的值域是，求

11、实数的值答案：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）（3）0解析：（1）当时，令，由于在上单调递减，在上单调递增，而为减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递减区间是，单调递增区间是。（2）令，则，为的最大值为3，所以的最小值为，当时，无最小值；当时，有最小值，在对称轴处取得，解得，所以当的最大值为3时，实数的值为1。（3）由指数函数的性质，知要使的值域为，应使的值域为。当时，值域为，符合题意；时，不符合题意。故当的值域是时，实数的值为0五、指数比较大小、方程与不等式【知识点】指数比较大小，底数相同时，利用指数函数的单调性；指数相同时，利用幂函数单调性。【例题讲解】例题

12、1已知，则(填“”)答案：解析：根据指数函数为减函数求得练习1已知，则ABCD【答案】B【解析】解析：，即，而，即，故选：练习2.若，则下列结论正确的是ABCD【答案】D【解析】解：，又，故选：例题2已知则()A B C D答案A解析因为；又因为，所以练习1.已知，则ABCD【答案】D【解析】解：，故选：练习2.设，则ABCD【答案】A【解析】解：，故选：例题3若偶函数满足，则不等式的解集为_答案： 解析：利用偶函数 已经指数函数性质练习1已知函数(1)讨论的奇偶性；(2)求的取值范围，使在定义域上恒成立答案：（1）偶函数；（2） 解析：（1）略（2）函数为偶函数，只需要，即 在成立。练习2不

13、等式的解集为_答案：解析：解不等式即可例题4：已知函数的定义域和值域都是1,0，则 _.答案：解析：讨论与1的大小关系，解得 练习1.已知函数，为常数，且函数的图象过点(1,2)(1)求的值；(2)若，且，求满足条件的的值答案：（1）1；（2）-1解：(1)略. （2）-1(2)解方程，令，解得 所以 六、指数函数奇偶性【知识点】1函数奇偶性常用结论(1)如果函数是偶函数，那么(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2. 掌握以下两个结论，会给解题带来方便：（1）若是偶函数，那么（2）

14、若奇函数在处有意义，则.3. 指数函数构成的奇偶函数奇函数： 偶函数：【例题讲解】例题1.已知函数，则（ ）A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数答案：B解析：，所以函数是奇函数，且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B.练习1.设，若为奇函数，则_【答案】解析：0属于定义域，奇函数。例题2. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足若，则_.【答案】【解析】，则所以，所以练习1.已知奇函数 如果对应的图像如图所示，那么（ ）A B C. D.答案：D解析：根据奇函数关于原点对称，补出

15、负半轴图像，再根据图像翻折得到答案D例题3.定义域为的函数是奇函数. （1）求的值. （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.答案：（1），（2）解析：（1） 是奇函数, ,解得.从而有, 又由知,解得.（2）由（1）知,由上式易知在上为减函数, 又因是奇函数,从而不等式等价于,因是减函数,由上式推得,即对一切有, 从而判别式,解得.练习1.已知。（1） 判断的奇偶性；（2） 讨论的单调性；（3）当时，恒成立，求的取值范围。答案：（1）奇函数（2）单调递增（3）解析：（1）函数定义域为，关于原点对称，又故为奇函数（2）当时，为增函数，为减函数，从而为增函数，故为增函数；当时，为减函数，为

16、增函数，从而为减函数，故为增函数。综上，时，在定义域内单调递增。（3）由知在上为增函数，在区间上为增函数。 要使在上恒成立，只需即的取值范围为.【课后练习】【巩固练习】1求下列函数的定义域、值域.（1）；（2）.答案：（1）定义域为R；值域为(0，1)；（2）定义域为R；值域为.解析：（1)分离常数（2）换元法2已知，则，的大小关系为ABCD【答案】C【解析】解：， 又，故故选：3已知，则，的大小关系是ABCD【答案】D【解析】解：已知，而函数是上的增函数，则，故选：4. 设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（ ） 答案：解析：0不属于定义域，奇函数。解得5.定义在R上的奇函数与偶函数满足，则

17、函数的最小值为_.答案：解析：因为，所以，又因为为奇函数为偶函数，所以，求得，所以，令，当时取得最小值6.为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则_.答案3解析：略7.设偶函数在(0，)上单调递增，则与的大小关系是_.答案解析：由偶函数得，由增函数得，所以，所以8. 若是R上的奇函数，则实数的值为_，的值域为_.答案1(1，1)解析由得，值域为(1，1).9. 已知是定义在R上的奇函数且当时，则此函数的值域为_答案，解析：换元法求值域【拔高练习】1.已知指数函数的图象过点 求函数的解析式；若不等式满足，求的取值范围答案：（1） （2）解：（）因为指数函数的图象过点，所以所以指数函数的解析式为

18、（）由（）得，等价于因为函数在上单调递减，所以，解得综上，的取值范围是2.（2020陕西安康高一期末）定义在R上的函数fx满足，当时，若在上的最小值为23，则 ( )A4B5C6D7答案：B解析：当，时，当时，；当，即，时，有，当时， ，当，即，有，则时，取得最小值2；同理可得当，即，的最小值为，当，即，的最小值为，当，即，的最小值为3（2020江苏扬州中学高一月考）已知，若对任意,或，则的取值范围是（ ）ABCD答案：C解析：因为，当时,恒成立，当时，又对任意,或，所以在时恒成立，则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在（，0）的左侧，即，解得4（2019四川省宜宾市第四中学校高一期中）已

19、知定义域为的函数是奇函数（）求实数的值；（）若任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围答案：（1）（2）解析：解：（1）是奇函数，即解得n=1所以又由知解得，经检验，；（2）由（1）知，在上为减函数又是奇函数，为减函数，得即任意的，有.，可得5（2019邵阳市第十一中学高一月考）已知定义在上的函数是奇函数，其中为实数.（1）求的值；（2）判断函数在其定义域上的单调性并证明；（3）当时，证明.答案：（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）证明见解析解析：（1）的定义域为R，有意义.又为奇函数，即.解得（2）证明：任取，且，则又，即是R上的增函数.（3）证明：在R上为增函数且为奇函数当时，得即当时，得即所以，当时，有6若，则ABCD【分析】由基本不等式得出，再根据函数的单调性即可比较大小【解答】解：当时，且是定义域上的单调增函数，所以，即；又，所以，即；所以故选： 28 / 28