第六节微分中值定理精选文档.ppt

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1、第六节微分中值定理本讲稿第一页，共五十页第六节第六节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理本讲稿第二页，共五十页一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理1.引理（费马引理（费马(Fermat)定理）定理）(或称为或称为临界点临界点，稳定点，稳定点)本讲稿第三页，共五十页证明证明:本讲稿第四页，共五十页2.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f()=0.设函数设函数 f(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区

2、间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3)f(a)=f(b)本讲稿第五页，共五十页证证本讲稿第六页，共五十页2.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f()=0.设函数设函数 f(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3)f(a)=f(b)本讲稿第七页，共五十页物理解释物理解释:变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释:本讲稿第八页，共五十页3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：、罗尔

3、定理还指出了这样的一个事实：若若 f(x)可导，则可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，至的任何两个实根之间，至少有少有 f(x)=0 的一个实根的一个实根.例例2 2 不求导数不求导数,判断函数判断函数 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3)的导数的导数f(x)有几个零点及这些零点所在的范围有几个零点及这些零点所在的范围.本讲稿第九页，共五十页4.注意注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论结论可能不成立可能不成立.例如例如本讲稿第十页，共五十页2)罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有一个即若有一个不

4、满足不满足,其结论也其结论也可能成立可能成立.例如例如,本讲稿第十一页，共五十页罗罗尔尔定理的主要定理的主要应应用用证证明中明中值值的存在的存在.例例3 3例例4 4说明说明:证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理.证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理.本讲稿第十二页，共五十页例例4 4证证由由Rolle定理知定理知说明说明:证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理.证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理.本讲稿第十三页，共五十页关键技巧关键技巧:根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数.若希望用若希望用Rolle定理证明方程定理证明

5、方程 f(x)=0 根的存在性，根的存在性，则构造的辅助函数则构造的辅助函数F(x)应满足关系式应满足关系式F(x)=f(x)及及Rolle定理条件定理条件.例例5 5本讲稿第十四页，共五十页例例6 6本讲稿第十五页，共五十页二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f(b)f(a)=f()(b a)(a,b).Lagrange 中值定理中值定理 设函数设函数 f(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.本讲稿第十六页，共五十页作辅助函数作辅助函数证

6、明：证明：拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.本讲稿第十七页，共五十页几何解释几何解释:例例1本讲稿第十八页，共五十页增量增量 y 的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为拉格朗日中值定理也称为微分中值定理微分中值定理本讲稿第十九页，共五十页两个结论两个结论:(1)设设 f(x)在在(a,b)

7、内可导且内可导且 f (x)=0，则，则 在在(a,b)内内f(x)=C.(2)设设 f(x),g(x)在在(a,b)内可导且内可导且 f (x)=g(x)，则则 f(x)=g(x)C.(1)设设 f(x)在在a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导且内可导且 f (x)=0，则在，则在a,b 上上f(x)=C.本讲稿第二十页，共五十页拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用:1、用、用 Lagrange 中值定理证明等式：中值定理证明等式：说明说明欲证欲证 时时,只需证在只需证在 I 上上练习：练习：例例2 2本讲稿第二十一页，共五十页2、用、用 Lagrange 中值定理证明不等式：

8、中值定理证明不等式：Step1 找出适当的函数找出适当的函数 f(x)及区间及区间,Step2 验证验证 f(x)满足满足Lagrange 中值定理条件中值定理条件,Step3 对对 f ()作适当放大或缩小，推出所要证的作适当放大或缩小，推出所要证的结果结果.例例4 4例例3 3本讲稿第二十二页，共五十页例例4 4证证由上式得由上式得本讲稿第二十三页，共五十页三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f(x)、g(x)满足条件：满足条件：1)在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2)

9、在在开开区间区间(a,b)内可导内可导且且 g(x)0.本讲稿第二十四页，共五十页证证作辅助函数作辅助函数本讲稿第二十五页，共五十页Lagrange 中值定理是中值定理是Cauchy 中值定理中值定理 的特例的特例.本讲稿第二十六页，共五十页思考思考:柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?两个两个 不不一定相同一定相同错错!上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论.本讲稿第二十七页，共五十页例例分析分析:结论可变形为结论可变形为本讲稿第二十八页，共五十页例例1 1证证本讲稿第二十九页，共五十页本讲稿第三十页，共五十页四、小结四、小结1.1.微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条

10、件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理费马引理费马引理中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述:P125本讲稿第三十一页，共五十页2.微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1)证明恒等式证明恒等式(2)证明不等式证明不等式(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数本讲稿第三十二页，共五十页中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述:P125本讲稿第三十三页，共五十页柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微

11、积分学在微积分学,柯柯 西全集共有西全集共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程校编写的分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一,他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,本讲稿第三十六页，共五十页1.填空题填空题思考与练习思考与练习 函

12、数函数在区间在区间 1,2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件,则中值则中值本讲稿第三十七页，共五十页本讲稿第三十八页，共五十页练习：练习：试证至少存在一点试证至少存在一点 ，使，使解解 令令则则 f(x)在在 1,e 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件,使使因此存在因此存在本讲稿第三十九页，共五十页提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证即即验证验证在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使2.设设本讲稿第四十页，共五十页证：证：设辅助函数设辅助函数显然显然在在 0,1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件

13、,因此至少存在因此至少存在使得使得求证存在求证存在使使3.设设 f(x)在在 0,1 连续连续,在在(0,1)可导可导,且且即即本讲稿第四十一页，共五十页证：证：不妨设不妨设有有4.设设 ,证明对任意证明对任意本讲稿第四十二页，共五十页 5.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.解解不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可导可导的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.本讲稿第四十三页，共五十页练练 习习 题题本讲稿第四十四页，共五十页本讲稿第四十五页，共五十页本讲稿第四十六页，共

14、五十页柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集共有西全集共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程校编写的分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一,他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,本讲稿第五十页，共五十页