【精品】函数的单调性与导数（可编辑.ppt

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1、函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数:（3）.三角函数三角函数：（1 1）.常函数常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）.幂函数幂函数 ：(xn)/nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式复习引入：复习引入：1、一般地，对于给定区间、一般地，对于给定区间D上的函数上的函数f(x)，若，若对于属于区间对于属于区间D的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1，x2，当当x1x2时，有时，有问题问题1 1：函数单调性的定义怎样描述的函数单调性的定义怎样描述的?(1)若若f(x1)f(x)f(x

2、2 2)，那么，那么f(x)f(x)在这个区间上在这个区间上是是减函数减函数.(2)(2)作差作差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)()(作商作商)2 2用定义证明函数的单调性的一般步骤：用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取任取x1、x2 D，且，且x1 x2.(4)(4)定号定号(判断差判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负的正负)(与比较与比较)(3)(3)变形变形(因式分解、配方、通分、提取公因式因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)(5)结论结论练习：练习：讨论函数讨论函数y=xy=x2 24x4x3 3的单调性的单调性.定义法定义法单增区间：单增区间：(

3、，+).+).单减区间：单减区间：(，).).图象法图象法xyOxyOxyOy=xy=x2y=x3 观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性(单调区间)与其导函数的正负(值域)的关系。y/=1y/=2xy/=3x2结论：在某个区间结论：在某个区间(a a,b b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增;如果如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减.如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数结论结论:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个

4、区间 内可导内可导,则函数在该区间则函数在该区间注意注意:如果在如果在某个区间内某个区间内恒有恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数如果如果f(x)0,例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解:当当1 x 4,或或 x 0(f(x)0),那么函数那么函数f(x)在在(a,b)内内为为增函数（减函数）增函数（减函数）2.如果函数如果函数f(x)在在(a,b)内内为为增函数（减函数）增函数（减函数）,那么那么f(x)0(f(x

5、)0）在区）在区间间(a,b)内恒成立。内恒成立。题题型：根据函数的型：根据函数的单调单调性求参数的取性求参数的取值值范范围围 函数在（函数在（0，1上单调递增上单调递增注：注：在某个区间上，在某个区间上，f（x）在）在这个区间上单调递增（递减）；这个区间上单调递增（递减）；但由但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到而仅仅得到 是不够的。还有可是不够的。还有可能导数等于能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：练习：练习：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值值范范围围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立，上恒成立，a0且且=36+12a0，a-3例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。