第七章 相似矩阵及二次型精选文档.ppt

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1、第七章相似矩阵及二次型本讲稿第一页，共一百一十九页定义1 设有维向量令 ,则称为向量 与 的内积。7.1 7.1 标准正交基标准正交基本讲稿第二页，共一百一十九页内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有内积满足下列运算规律（其中为维向量，为实数）i(ii)()本讲稿第三页，共一百一十九页利用向量的内积概念，我们可以定义维向量的长度.定义2设是一个维实向量，令,称为维向量的长度（或范数）。向量的长度具有下述性质：1、非负性：当时，；当时，；本讲稿第四页，共一百一十九页2、齐次性：；3、三角不等式：。当时，称为单位向量。向量的内积满足，上式称为Schwarz(施瓦兹)不等式。由此

2、可得（当是非零向量时），于是有下面的定义：当时称为维向量的夹角.本讲稿第五页，共一百一十九页当时，称向量与正交。显然，若，则与任何向量都正交。定义3如果向量组中任意两个向量都是正交，而且每个都不是零向量，那么这个向量组就称为正交向量组。下面证明关于正交向量组一个重要性质。定理1正交向量组一定是线性无关的。证明：设是一个正交向量组，如果本讲稿第六页，共一百一十九页那么以左乘上式两端，得因，故，从而必有。类似可证。于是向量组线性无关。我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。显然任意个两两正交的维非零向量都可以构成向量空间的一个正交基。本讲稿第七页，共一百一十九页例1已知3维向量

3、空间中的两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交。解：记应满足齐次线性方程组,由本讲稿第八页，共一百一十九页得，从而有基础解系，取即可。本讲稿第九页，共一百一十九页定义4设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个正交规范基。例如，就是的一个正交规范基。本讲稿第十页，共一百一十九页若是的一个正交规范基，那么中任一向量应能由线性表示，设表示式为为求其中的系数，可用左乘上式，有即设是向量空间的一个基，要求的一个正交规范基。这也就是要找一组两两正交的单位向量，使与等价。这个问题称为把这个基正交规范化.我们有下面的定理：本讲稿第十一页，共一百一十九页定理2设是一组线性无关的

4、向量，那么，可以找到一组正交的向量，使得与等价。证明只要令本讲稿第十二页，共一百一十九页这个证明过程给出了求与已知线性无关向量组等价的正交向量组的方法.通常称为Schimidt（施密特）正交化方法.如果再将所得的正交向量组单位化,即令,就得到一组与等价的正交单位向量组.本讲稿第十三页，共一百一十九页例设，试用Schimidt(施密特)正交化方法把这组向量正交规范化.解取;本讲稿第十四页，共一百一十九页.再把它们单位化,取,.即为所求本讲稿第十五页，共一百一十九页例已知,求一组非零向量,使两两正交.解应满足方程，即它的基础解系为，本讲稿第十六页，共一百一十九页把基础解系正交化，即合所求取其中于是

5、得本讲稿第十七页，共一百一十九页定义如果阶方阵满足那么称为正交矩阵例如，实矩阵，和都是正交矩阵。本讲稿第十八页，共一百一十九页正交矩阵有以下一些性质：性质1正交矩阵的行列式等于1或证明：设是正交矩阵，则两边取行列式得：于是，由此即得。本讲稿第十九页，共一百一十九页性质2如果是正交矩阵，则.性质3如果是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质4.如果是同阶正交矩阵，则它们的乘积也是正交矩阵。这些性质都可以简单地验证。本讲稿第二十页，共一百一十九页设是一个阶正交矩阵，它的行向量为由式，我们易得的元素间的下述关系式这说明：阶方阵是正交矩阵的充分必要条件是它的个行向量恰好是两两正交的单位向量组，因而可以构成向量

6、空间的一个正交规范基。类似地，的个列向量也构成向量空间的一个正交规范基.本讲稿第二十一页，共一百一十九页例4已知正交单位向量，。求使是正交单位向量组；求一个以为第1，2列的正交矩阵。解由于是线性无关的，所以可取两个向量，使线性无关。本讲稿第二十二页，共一百一十九页将正交化得一个正交向量组：，本讲稿第二十三页，共一百一十九页再将这组向量单位化，即得到一个正交单位向两组：，本讲稿第二十四页，共一百一十九页，其中向量即为所求。（2）以的转置为列作一个矩阵：这个矩阵即为所求。本讲稿第二十五页，共一百一十九页这个例题表明：正交单位向量与在正交化和单位化的过程中都不会改变。这说明任意个维正交的单位向量都可

7、以作为某个阶正交矩阵的个行（或列）.定义6若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。设为正交变换，则有由于表示向量的长度，就表示正交变换保持向量的长度不变。本讲稿第二十六页，共一百一十九页7.2 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 设设 复空间复空间 中的向量，称中的向量，称 为为 的共轭向量，其中的共轭向量，其中 表表示示 的共轭复数。的共轭复数。定理定理4 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.证明证明 设复数设复数 为实对称矩阵的特征值为实对称矩阵的特征值,复向量复向量 为对应的特征向量为对应的特征向量,即即 .本讲稿第二十七页，共一百一十九页 用用 表示表示 的共轭复数的共轭

8、复数,表示表示 的的共轭向量共轭向量,则则 =.于是有于是有及及两式相减两式相减,得得本讲稿第二十八页，共一百一十九页但因但因 ,所以所以故故 即即 ，这说明，这说明 是实数是实数.显然显然,当特征值当特征值 为实数时为实数时,齐次线性方齐次线性方程组程组是实系数方程组，必有实的基础解系，所以是实系数方程组，必有实的基础解系，所以对应的特征向量可以取实向量。对应的特征向量可以取实向量。本讲稿第二十九页，共一百一十九页 定理定理5 设设 是一个实对称矩阵是一个实对称矩阵.那么属于那么属于 的不同的特征值的特征向量是正交的的不同的特征值的特征向量是正交的 证明证明 设设 分别是分别是 的属于不同特

9、征的属于不同特征值值 的实特征向量的实特征向量:,.于是于是 本讲稿第三十页，共一百一十九页而而所以所以但是但是 ,所以所以 ,即即 与与 是是正交的正交的本讲稿第三十一页，共一百一十九页 定理定理6 设设 为为 阶对称矩阵阶对称矩阵,是是 的的特征方程的特征方程的 重根重根,则方阵则方阵 的秩的秩 ,从而对应特征值从而对应特征值 恰有恰有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.这个定理在这里不予证明这个定理在这里不予证明.本讲稿第三十二页，共一百一十九页 定理定理7 设设 为为 阶对称矩阵阶对称矩阵,则必有正则必有正交阵交阵 ,使使 ,其中其中 是以是以 的的个特征值为对角元素的对角阵个特

10、征值为对角元素的对角阵.证明证明 设的互不相等的特征值为设的互不相等的特征值为,它们的重数依次为它们的重数依次为 .本讲稿第三十三页，共一百一十九页 根据定理根据定理6及定理及定理7知知,对应特征值对应特征值 ,恰有恰有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化,可得可得 个单位正交的个单位正交的特征向量特征向量.由由 ,知这样的特征知这样的特征向量共可得向量共可得 个个.本讲稿第三十四页，共一百一十九页 根据定理根据定理5知对应于不同特征值的特征知对应于不同特征值的特征向量正交，故这向量正交，故这 个单位特征向量两两正个单位特征向量两两正交。于是以它

11、们为列向量构成正交阵交。于是以它们为列向量构成正交阵 ,并并有有 其中对角阵其中对角阵 的对角元素含的对角元素含 个个 ,个个 ,个个 ,恰是恰是 的的 个特征值。个特征值。本讲稿第三十五页，共一百一十九页可按以下步骤求出具体的正交矩阵可按以下步骤求出具体的正交矩阵 ：1.求出特征多项式求出特征多项式 的全部根的全部根,即即 的特征值的特征值,设设 的全部不同的特征值为的全部不同的特征值为 2.对每个对每个 解齐次线性方程组解齐次线性方程组3.找出一个基础解系找出一个基础解系本讲稿第三十六页，共一百一十九页4.将将 正交化，单位化，得到一组正交化，单位化，得到一组正交的单位向量正交的单位向量

12、它们是它们是 的的属于属于 线性无关的特征向量线性无关的特征向量5.因为因为 各不相同各不相同,向量组向量组仍是正交的单位向量组它们总共有仍是正交的单位向量组它们总共有 个以个以这一组向量为列向量，作一个矩阵这一组向量为列向量，作一个矩阵 ，则，则就是所要求的正交矩阵就是所要求的正交矩阵本讲稿第三十七页，共一百一十九页例例10 设设求一个正交阵求一个正交阵 ，使，使 为对角阵为对角阵解解本讲稿第三十八页，共一百一十九页故得特征值故得特征值 当当 时，由时，由本讲稿第三十九页，共一百一十九页基础解系为基础解系为 ，单位化得，单位化得本讲稿第四十页，共一百一十九页 当当 时，由时，由得基础解系得基

13、础解系本讲稿第四十一页，共一百一十九页 由于这两个向量正好正交，单位化即得由于这两个向量正好正交，单位化即得两个正交的特征向量两个正交的特征向量于是得正交阵于是得正交阵本讲稿第四十二页，共一百一十九页可以验证知的确有可以验证知的确有本讲稿第四十三页，共一百一十九页例例11 设设求正交矩阵求正交矩阵 ，使，使 为对角形为对角形本讲稿第四十四页，共一百一十九页解首先求解首先求 的特征值因为的特征值因为所以的特征值为（重），所以的特征值为（重），本讲稿第四十五页，共一百一十九页当当 时，由时，由求得一个基础解系：求得一个基础解系：本讲稿第四十六页，共一百一十九页把它正交化，得把它正交化，得本讲稿第四

14、十七页，共一百一十九页再单位化，得再单位化，得本讲稿第四十八页，共一百一十九页当当 时，由时，由基础解系为基础解系为 .再将单位化，得再将单位化，得本讲稿第四十九页，共一百一十九页（一定与一定与 正交）正交），是是 的一组正交的单位特的一组正交的单位特征向量。以它们为列，作一个矩阵征向量。以它们为列，作一个矩阵本讲稿第五十页，共一百一十九页 是一个正交矩阵，而且有是一个正交矩阵，而且有本讲稿第五十一页，共一百一十九页7.3 实二次型及其标准形实二次型及其标准形 二次型的问题起源于化二次曲线和二次二次型的问题起源于化二次曲线和二次曲面为标准型的问题在解析几何中，当坐曲面为标准型的问题在解析几何中

15、，当坐标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般方程是：方程是：（7.67.6）为便于研究这个二次曲线的几何性质，可以为便于研究这个二次曲线的几何性质，可以用适当的坐标旋转变换用适当的坐标旋转变换本讲稿第五十二页，共一百一十九页把方程化为标准形把方程化为标准形本讲稿第五十三页，共一百一十九页式（式（7.6）左端是一个二次齐次多项式，从代）左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看数学的观点看,化标准形的过程就是通过变量化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只使它只含有平方项。这样一个问题含有平方项。这样

16、一个问题,不但在几何中常不但在几何中常会遇到会遇到,而且在数学的其他分支以及物理，力而且在数学的其他分支以及物理，力学中也常会遇到。这一节里我们介绍二次齐学中也常会遇到。这一节里我们介绍二次齐次多项式的一些重要性质及其化简问题。次多项式的一些重要性质及其化简问题。本讲稿第五十四页，共一百一十九页定义定义8 含有含有 个变量的二次齐次函数个变量的二次齐次函数 (7.7)称为二次型称为二次型.为方便起见，二次型常简记为为方便起见，二次型常简记为 .取取 ,则则本讲稿第五十五页，共一百一十九页于是于是(7.7)式可以写成式可以写成(.8).8)本讲稿第五十六页，共一百一十九页 由由(7.8)式式,利

17、用矩阵利用矩阵,二次型可表示为二次型可表示为本讲稿第五十七页，共一百一十九页本讲稿第五十八页，共一百一十九页记记则二次型可记为则二次型可记为 （7.10）其中其中 为对称矩阵为对称矩阵本讲稿第五十九页，共一百一十九页例例12 用矩阵表示二次型用矩阵表示二次型解解 由二次型的矩阵由二次型的矩阵 的元素的元素 与二与二次型的系数的关系，令次型的系数的关系，令本讲稿第六十页，共一百一十九页得得 任给一个二次型，就唯一地确定一个对任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵，反之，任给一个对称阵称阵，反之，任给一个对称阵,也可唯一地确也可唯一地确定一个二次型。这样定一个二次型。这样,二次型与对称矩阵之间二次

18、型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。存在一一对应的关系。本讲稿第六十一页，共一百一十九页 因此因此,我们把对称阵我们把对称阵 叫做二次型叫做二次型 的的矩阵矩阵,也把也把 叫做对称阵叫做对称阵 的二次型的二次型.对称阵对称阵 的秩就叫做二次型的秩的秩就叫做二次型的秩.容易看出容易看出,二次型二次型(7.8)的矩阵的矩阵 的对角线的对角线元素元素 正好就是正好就是(7.8)中中 的的系数；而系数；而 正好就是的系数正好就是的系数 的一半。的一半。本讲稿第六十二页，共一百一十九页 定义定义9 设设 ；是两组是两组变量变量,则下面一组关系式则下面一组关系式(7.9)(7.9)称为由称为由 到到 的一

19、个线性变的一个线性变换换,简称线性变换简称线性变换.本讲稿第六十三页，共一百一十九页如果系数矩阵如果系数矩阵是可逆的，就称线性变换是可逆的，就称线性变换(7.9)是可逆的当是可逆的当 是正交矩阵时，就称是正交矩阵时，就称(7.9)是正交的。正交是正交的。正交的线性变换简称正交变换的线性变换简称正交变换本讲稿第六十四页，共一百一十九页 由此看出由此看出,若已知二次型若已知二次型 ,我们可以容我们可以容易地写出它对应的矩阵易地写出它对应的矩阵 ,反之反之,已知实对称已知实对称矩阵矩阵,由可以容易地写出它对应的二次型由可以容易地写出它对应的二次型.记记 ,把可逆变换把可逆变换(7.9)记作记作代入代

20、入(7.8),有有本讲稿第六十五页，共一百一十九页 对于二次型对于二次型,我们讨论的主要问题是我们讨论的主要问题是:寻寻求可逆的线性变换求可逆的线性变换(7.9)使二次型使二次型(7.7)能简化能简化为只含平方项为只含平方项,也就是用也就是用(7.9)代入代入(7.7)时时,能能使使这种只含平方项的二次型这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准称为二次型的标准形形(或法式或法式).本讲稿第六十六页，共一百一十九页 当当 为复数时为复数时,称称 为复二次型为复二次型,当当 为为实数时实数时,称为实二次型。这里，我们只讨论实称为实二次型。这里，我们只讨论实二次项二次项,所求的线性变换所求的线性变换

21、(7.9)也限于实系数范也限于实系数范围围.在讨论二次型时在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工矩阵是一个有力的工具具,因此我们先把二次型用矩阵来表示。因此我们先把二次型用矩阵来表示。本讲稿第六十七页，共一百一十九页 定理定理10 任给可逆矩阵任给可逆矩阵 ,令令 ,如果如果 为对称阵为对称阵,则则 也是对称阵也是对称阵,且且 证明证明 为对称矩阵为对称矩阵,于是有于是有 ,从而从而即即 为对称阵。为对称阵。本讲稿第六十八页，共一百一十九页再证再证 .因因 ,故故 因因 ,故故 .于是于是 .这定理说明经可逆变换这定理说明经可逆变换 后后,二次二次型型 的矩阵由的矩阵由 变为变为 ,且二次型的秩且

22、二次型的秩不变不变.本讲稿第六十九页，共一百一十九页 如果两个矩阵如果两个矩阵 和和 满足满足 =,其中其中 是一个可逆矩阵是一个可逆矩阵,则称则称 与与 是合同是合同的的.要使二次型要使二次型 经可逆变换经可逆变换 变成标准变成标准型型,就是要使就是要使本讲稿第七十页，共一百一十九页也就是要使也就是要使 成为对角阵成为对角阵.因此因此,我们的我们的主要问题就是主要问题就是:对于对称矩阵对于对称矩阵 ,寻求可逆寻求可逆矩阵矩阵 ,使使 为对角阵为对角阵;或者说是寻找与或者说是寻找与 合同的对角阵合同的对角阵.本讲稿第七十一页，共一百一十九页定理定理11 任给二次型任给二次型 ,总存在正交变换总

23、存在正交变换 ,使使 化为标准形化为标准形其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征的特征值值 证明证明 由第由第2节定理知节定理知,任给一个实对任给一个实对称矩阵称矩阵 ,总可以找到一个正交矩阵总可以找到一个正交矩阵 ,使使 为对角矩阵为对角矩阵本讲稿第七十二页，共一百一十九页因为因为 是正交矩阵是正交矩阵,所以所以 ,于是于是=.由于一个二次型经可逆线性变换后得到由于一个二次型经可逆线性变换后得到的仍是二次型的仍是二次型,且当一个二次型的系数矩阵是且当一个二次型的系数矩阵是对角矩阵时对角矩阵时,这个二次型就是平方和的形式。这个二次型就是平方和的形式。本讲稿第七十三页，共一百一十九页例例13 用正

24、交变换用正交变换 化实二次型化实二次型为标准形为标准形.解解 的矩阵为的矩阵为本讲稿第七十四页，共一百一十九页首先求一个正交矩阵首先求一个正交矩阵 ,使使 为对角形为对角形.先求先求 的特征多项式：的特征多项式：得的特征值是（重）和得的特征值是（重）和本讲稿第七十五页，共一百一十九页 当当 时，由时，由解得基础解系：解得基础解系：本讲稿第七十六页，共一百一十九页正交化后，得正交化后，得 当当 时得到的等价的齐次线性方时得到的等价的齐次线性方程组为程组为本讲稿第七十七页，共一百一十九页得基础解系：得基础解系：单位化单位化 后得后得本讲稿第七十八页，共一百一十九页由由 组成正交矩阵组成正交矩阵则二

25、次型经正交变换则二次型经正交变换本讲稿第七十九页，共一百一十九页即即化为标准形化为标准形本讲稿第八十页，共一百一十九页例例14 设二次型设二次型通过正交变换可化为标准形式：通过正交变换可化为标准形式：求参数求参数 及所用的正交变换。及所用的正交变换。本讲稿第八十一页，共一百一十九页解解 对应的矩阵为对应的矩阵为标准形对应的矩阵为标准形对应的矩阵为本讲稿第八十二页，共一百一十九页设正交阵设正交阵 使得使得 ，两边取行列式，两边取行列式得得 ，即，即由由 ，得，得 。因为因为 ，所以有特征值，所以有特征值本讲稿第八十三页，共一百一十九页 当当 时，由时，由基础解系为基础解系为 ，单位化得，单位化得

26、本讲稿第八十四页，共一百一十九页 当当 时，由时，由基础解系为基础解系为 ，取，取 ；本讲稿第八十五页，共一百一十九页 当当 时，由时，由基础解系为基础解系为 ，单位化得，单位化得 ；本讲稿第八十六页，共一百一十九页显然显然 是两两正交的单位向量，以是两两正交的单位向量，以 为列即得所求的正交矩阵为列即得所求的正交矩阵本讲稿第八十七页，共一百一十九页 用非退化的线性变换化二次型成标准形用非退化的线性变换化二次型成标准形 二次型中最简单的一种是只包含平方项二次型中最简单的一种是只包含平方项的形式的形式,即平方和的形式即平方和的形式 (5.11)在用正交变换化二次型成标准形时在用正交变换化二次型成

27、标准形时,标准形中标准形中各项的系数恰好是二次型的矩阵的特征值。各项的系数恰好是二次型的矩阵的特征值。除了可以用正交变换化二次型为标形外除了可以用正交变换化二次型为标形外,也可也可以用多个可逆线性变换化二次型为标准形以用多个可逆线性变换化二次型为标准形.这这里介绍拉格朗日配方法里介绍拉格朗日配方法.本讲稿第八十八页，共一百一十九页例例15 化二次型化二次型成标准形成标准形,并求出所用的可逆线性变换并求出所用的可逆线性变换.解解 由于由于 中含有变量中含有变量 平方项平方项,故把含故把含 的项归并起来的项归并起来,配方可得配方可得本讲稿第八十九页，共一百一十九页上式右端除第一项外已不再含有上式右

28、端除第一项外已不再含有 ,继续配继续配方方,可得可得本讲稿第九十页，共一百一十九页 令令 即即这就把这就把 化成标准形化成标准形 ,所用的所用的变换矩阵为变换矩阵为本讲稿第九十一页，共一百一十九页例例6 化二次型化二次型为标准形为标准形.并写出所用的可逆变换。并写出所用的可逆变换。解解 作可逆线性变换作可逆线性变换:本讲稿第九十二页，共一百一十九页则则本讲稿第九十三页，共一百一十九页 再令再令 即即得得也就是将也就是将 化成了平方和化成了平方和.本讲稿第九十四页，共一百一十九页把上面所作的两个线性变换复合起来就把上面所作的两个线性变换复合起来就得到总的线性变换：得到总的线性变换：=本讲稿第九十

29、五页，共一百一十九页所用的线性变换为所用的线性变换为 一般地，任何二次型都可用上面两例的方法，一般地，任何二次型都可用上面两例的方法，找到可逆线性变换，把二次型化为标准形。由定理找到可逆线性变换，把二次型化为标准形。由定理10知，标准形中含有的项数就是二次型的秩。应该知，标准形中含有的项数就是二次型的秩。应该注意的是，当所用的可逆线性变换不同时，得到的注意的是，当所用的可逆线性变换不同时，得到的标准形可能不同。标准形可能不同。本讲稿第九十六页，共一百一十九页7.4 实二次型的规范形实二次型的规范形 一个二次型化为标准形时一个二次型化为标准形时,由于所用的由于所用的可逆线性变换不同可逆线性变换不

30、同,得到的标准形也可能不得到的标准形也可能不同同.例如例如,二次型二次型经可逆线性变换经可逆线性变换本讲稿第九十七页，共一百一十九页化为化为 ;而经可逆线性变换而经可逆线性变换化为化为 本讲稿第九十八页，共一百一十九页 这就是说这就是说,二次型的标准形不是唯一的二次型的标准形不是唯一的,但是一个二次型化为标准形后但是一个二次型化为标准形后,标准形中的项标准形中的项数是唯一的数是唯一的(这个项数就是二次型的秩这个项数就是二次型的秩).当限当限定二次型的系数为实数定二次型的系数为实数,且所用的可逆线性变且所用的可逆线性变换为实变换时换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变标准形中正系数的个数是不变

31、的的,从而负系数的个数也是不变的从而负系数的个数也是不变的.本讲稿第九十九页，共一百一十九页 设设 是一个实系数二次型是一个实系数二次型.经经过一个非退化的线性变换过一个非退化的线性变换,再适当排列变量的再适当排列变量的次序次序(这也可看成是作可逆线性变换这也可看成是作可逆线性变换),可使可使 变成标准形变成标准形本讲稿第一百页，共一百一十九页其中其中 ,是是 的秩的秩.因为实数可以开平方因为实数可以开平方,而且其平方根不等于而且其平方根不等于,所以可再作一次可逆线性变换所以可再作一次可逆线性变换本讲稿第一百零一页，共一百一十九页前面的标准形又变成前面的标准形又变成这个式子称为二次型这个式子称

32、为二次型 的规范形的规范形.显显然然,规范形由规范形由 两个数决定两个数决定.本讲稿第一百零二页，共一百一十九页 定理定理12 设有实二次型设有实二次型 ,它的秩它的秩为为 ,有两个实的可逆变换有两个实的可逆变换使使 及及本讲稿第一百零三页，共一百一十九页则则 中正数的个数与中正数的个数与 中正数的个中正数的个数相等数相等.这个定理通常称为惯性定理这个定理通常称为惯性定理.在此不予证在此不予证明。明。推论推论 任何一个实系数的二次型都任何一个实系数的二次型都 可以可以通过的可逆的线性变换变成规范形通过的可逆的线性变换变成规范形.本讲稿第一百零四页，共一百一十九页 定义定义10 在实系数二次型在

33、实系数二次型 的规的规范形中范形中,正平方项的个数正平方项的个数 称为称为 的的正惯性指数；负平方项的个数正惯性指数；负平方项的个数 称为称为 的负惯性指数的负惯性指数;它们的差它们的差 称为的符号差称为的符号差.本讲稿第一百零五页，共一百一十九页7.5 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 定义定义11 设有实二次型设有实二次型 ,如果对任何如果对任何 ,都有都有 ,则称则称 为正定二次型为正定二次型,并称对称矩阵并称对称矩阵是正定的是正定的,记作记作 ；如果对任何；如果对任何 ,都都有有 ，则称，则称 为负定为负定二次型二次型,并称对称矩阵并称对称矩阵 是负定的是负定的,记作记作 .常

34、常简记常常简记 。本讲稿第一百零六页，共一百一十九页 定理定理13 实二次型实二次型 是正定的是正定的充必要条件是充必要条件是:它的标准形的它的标准形的 个系数全为个系数全为正正.证明证明 设可逆变换设可逆变换 使使先证充分性先证充分性本讲稿第一百零七页，共一百一十九页 设设 任给任给 ,则则 ,故故 再证必要性再证必要性,用反证法用反证法.假设有假设有 则当则当(维单位坐标向量维单位坐标向量)时时 ,显然显然 ,这与这与 为正定相矛盾为正定相矛盾.这就证明了这就证明了 .本讲稿第一百零八页，共一百一十九页 推论推论1 对称阵对称阵 为正定的充分必要条件为正定的充分必要条件是：是：的特征值全为

35、正。的特征值全为正。推论推论2 正定二次形的规范形是正定二次形的规范形是 本讲稿第一百零九页，共一百一十九页定义定义12 设设是一个是一个 阶矩阵。行标和列标相同的子式阶矩阵。行标和列标相同的子式称为称为 的主子式；其中，主子式的主子式；其中，主子式本讲稿第一百一十页，共一百一十九页称为称为 的顺序主子式。的顺序主子式。例如，设例如，设 ，本讲稿第一百一十一页，共一百一十九页那么那么1，2，都是都是 的主子式；而的主子式；而 的顺序主子式共有的顺序主子式共有4个，即个，即本讲稿第一百一十二页，共一百一十九页1，定理定理14 对称阵对称阵 为正定的充分必要条为正定的充分必要条件是：件是：的各阶主

36、子式都为正，即的各阶主子式都为正，即本讲稿第一百一十三页，共一百一十九页对称阵对称阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即主子式为负，而偶数阶主子式为正，即该定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。该定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。本讲稿第一百一十四页，共一百一十九页例例17 判别实二次型判别实二次型是否正定。是否正定。解解令令本讲稿第一百一十五页，共一百一十九页 这是一个可逆线性变换，经过这个变换，这是一个可逆线性变换，经过这个变换，化为化为 所以的正惯性指数为所以的正惯性指数为2，由定理，由定理13知：知：不不 是正定的。是正定的。本讲稿第一百一十六页，共一百一十九页例例18 判别二次型判别二次型解解 的矩阵为的矩阵为本讲稿第一百一十七页，共一百一十九页 的顺序主子式的顺序主子式由定理由定理14知，知，是正定的二次型。是正定的二次型。本讲稿第一百一十八页，共一百一十九页 判别一个二次型是否正（负）定，可以判别一个二次型是否正（负）定，可以从其正惯性指数来判别；也可以从其对应的从其正惯性指数来判别；也可以从其对应的矩阵出发，判别该矩阵是否正（负）定，从矩阵出发，判别该矩阵是否正（负）定，从而判别所讨论的二次型是否是正（负）定的而判别所讨论的二次型是否是正（负）定的.本讲稿第一百一十九页，共一百一十九页