第六章二次型与对称阵精选文档.ppt

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1、第六章二次型与对称阵本讲稿第一页，共六十一页第六章第六章 二次型与对称阵二次型与对称阵 本章教学内容本章教学内容1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵2 二次型的标准型二次型的标准型3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型本讲稿第二页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵 本节教学内容本节教学内容1.二次型及其矩阵的概念二次型及其矩阵的概念2.线性变换的概念线性变换的概念本讲稿第三页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵1.二次型及其矩阵的概念二次型及其矩阵的概念定义定义1.1含含n个变量个变量x1,x2,xn的二次齐次多

2、项式的二次齐次多项式称为称为二次型二次型。若每个若每个aij数域数域P,(x1,x2,xn)称为数域称为数域P上的上的二次型；二次型；若每个若每个aijR，(x1,x2,xn)称为称为实二次型实二次型；若每个若每个aijC，(x1,x2,xn)称为称为复二次型复二次型。称为称为标准形标准形本讲稿第四页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵例例称称零二次型零二次型;本讲稿第五页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵设二次型设二次型称二项型的称二项型的和号表示和号表示本讲稿第六页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵二次型二次型称二项型的称二项型的矩阵表示矩阵表示本讲稿第七页，共

3、六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵二次型二次型(x)=xTAxA称为称为二次型二次型(x)的矩阵的矩阵，而，而(x)称为称为A的二次型，的二次型，A的秩称为的秩称为二次型二次型(x)的的秩秩,记作记作R(),即即R()=R(A)注注二次型二次型(x)的矩阵的矩阵A，由，由(x)唯一地确定；唯一地确定；反之，对称矩阵反之，对称矩阵A的二次型的二次型(x)，由，由A唯一地确定唯一地确定,即二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系即二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系本教材凡说本教材凡说:二次型二次型(x)=xTAx，矩阵，矩阵A均指对称均指对称矩阵。矩阵。本讲稿第八页，共六十一页1 二次型及

4、其矩阵二次型及其矩阵例例1.1本讲稿第九页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵选例选例解解B为方阵，为方阵，xTBx是二次型是二次型本讲稿第十页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵例例1.2注注：一般的，标准的二次型：一般的，标准的二次型的矩阵是的矩阵是n阶对角阵。阶对角阵。本讲稿第十一页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵2.线性变换的概念线性变换的概念定义定义1.2 把变量把变量x1,x2,xn化为变量化为变量y1,y2,yn的的一组线性关系一组线性关系称变量称变量x1,x2,xn到变量到变量y1,y2,yn的一个的一个线性变换线性变换记记则线性变换则线性变换(1)

5、可表为可表为 x=Py 矩阵矩阵P称为该变换的称为该变换的系数矩阵系数矩阵.本讲稿第十二页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵若若P可逆，则线性变换可逆，则线性变换x=Py 称为称为可逆线性变换可逆线性变换（或称（或称满秩线性变换满秩线性变换、非退化线性变换非退化线性变换）；）；若若P不可逆，则线性变换不可逆，则线性变换x=Py 称为称为不可逆线性变不可逆线性变换换（或称（或称降秩线性变换降秩线性变换、退化线性变换退化线性变换）.若若x=Py 称为可逆线性变换，则线性变换称为可逆线性变换，则线性变换y=P-1x 称为线性变换称为线性变换x=Py 的的逆变换逆变换.注注：线性变换：线性变

6、换y=P-1x 与与x=Py 互为逆变换互为逆变换.本讲稿第十三页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵问题问题:求可逆线性变换求可逆线性变换x=Py 将二次型将二次型(x)=xTAx化为标准形化为标准形即求可逆矩阵即求可逆矩阵P使使PTAP是对角矩阵是对角矩阵.定义定义1.3 对于对于n阶矩阵阶矩阵A,B，如果有，如果有n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得PTAP=B，则称矩阵，则称矩阵A与与B合同合同(或或相合相合)，记为，记为AB.性质性质 AA.若若AB，则，则BA.若若AB，BC，则，则AC.(证略证略)本讲稿第十四页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵若若AB，则，则R(

7、A)=R(B).若若AB，A是对称矩阵，则是对称矩阵，则B是对称矩阵是对称矩阵.概念概念：当：当P可逆时，对方阵可逆时，对方阵A的运算的运算PTAP，称对，称对A的的合同变换合同变换，称，称P为为合同因子合同因子或或合同变换矩阵合同变换矩阵。注注：合同变换：合同变换PTAP，相似变换相似变换P-1AP，若若Q为正交矩阵，则为正交矩阵，则QTAQ=Q-1AQ，即合同变换，即合同变换与相似变换一致。与相似变换一致。本讲稿第十五页，共六十一页1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵本节学习要求本节学习要求1.1.理解理解二次型及其矩阵的概念，会写出二次型的矩阵，二次型及其矩阵的概念，会写出二次型的矩阵，会写

8、出矩阵的二次型，会写出矩阵的二次型，2.理解矩阵的理解矩阵的合同概念合同概念，熟悉矩阵合同的性质，熟悉矩阵合同的性质，理解理解合合同变换概念。同变换概念。作业作业：习题：习题6.1(A)第第1,51,5题题(P172)(P172)本讲稿第十六页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形 本节教学内容本节教学内容1.1.化二次型为标准形问题化二次型为标准形问题2.2.用正交变换化实用正交变换化实二次型为标准形二次型为标准形3.3.用配方法用配方法化化二次型为标准形二次型为标准形本讲稿第十七页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形1.1.化二次型为标准形问题化二次型为标准形问题定义定义2.

9、1 只含平方项的二次型称为只含平方项的二次型称为标准二次型标准二次型，简称简称标准形标准形.特征特征：一个二次型是标准形的充要条件是它的：一个二次型是标准形的充要条件是它的矩阵是对角矩阵。矩阵是对角矩阵。定理定理2.1 设设A是是n阶对称矩阵，二次型阶对称矩阵，二次型(x)=xTAx能用可逆线性变换能用可逆线性变换x=Py化为标准形化为标准形的充要条件是存在可逆矩阵的充要条件是存在可逆矩阵P使使本讲稿第十八页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形注注：由定理：由定理2.1可知可知用可逆线性变换化二次型为标准形的问题就是用可逆线性变换化二次型为标准形的问题就是用用合同合同变换化二次型为标准

10、形的问题。变换化二次型为标准形的问题。因合同变换不改变矩阵的秩，因此二次型因合同变换不改变矩阵的秩，因此二次型(x)经可逆线性变换化为标准形经可逆线性变换化为标准形则则R()等于等于b1,b2,bn中非零的个数。中非零的个数。本讲稿第十九页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形2.2.用正交变换化实用正交变换化实二次型为标准形二次型为标准形定理定理2.2 对于任何对于任何n元实二次型元实二次型(x)=xTAx，必存，必存在正交变换在正交变换x=Qy使使(x)化为标准形化为标准形其中其中 1,2,n恰是恰是A的全部特征值。的全部特征值。证证：由第五章定理：由第五章定理5.3知定理成立。知定

11、理成立。本讲稿第二十页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形用正交变换化实用正交变换化实二次型二次型(x)=xTAx为标准形的为标准形的步骤：步骤：求求A的特征值：的特征值：1,2,n,求求A的对应于的对应于 1,2,n的的线性无关的特征线性无关的特征向量向量 1,2,n,正交单位化正交单位化 1,2,n,得单位正交向量组得单位正交向量组 1,2,n,设设Q=(1,2,n)，则，则Q是正交矩阵，作正交是正交矩阵，作正交变换变换x=Qy有有本讲稿第二十一页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形例例2.1用正交变换化实用正交变换化实二次型二次型为标准形为标准形.解解 二次型的矩阵二次型

12、的矩阵A的特征多项式的特征多项式本讲稿第二十二页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形设设Q=(1,2,3,4)，作正交变换，作正交变换x=Qy得得本讲稿第二十三页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形例例2.2用正交变换化实用正交变换化实二次型二次型为标准形为标准形,并求出所用的正交变换并求出所用的正交变换.解解 二次型的矩阵二次型的矩阵由由本讲稿第二十四页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形正交化、单位化得正交化、单位化得设设Q=(1,2,3)，作正交变换，作正交变换x=Qy，即，即本讲稿第二十五页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形得得设设Q=(1,2,3)，

13、作正交变换，作正交变换x=Qy，即，即本讲稿第二十六页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形例例2.3 试试求实求实二次型二次型的标准形的标准形,不要求给出所用的线性变换不要求给出所用的线性变换.解解 二次型的矩阵二次型的矩阵由由本讲稿第二十七页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形二次型的一个标准形是二次型的一个标准形是问题问题：上例改为：上例改为：二次型的一个标准形是二次型的一个标准形是 对吗？对吗？改为：改为：二次型的一个标准形是二次型的一个标准形是 对吗？对吗？注意注意：一个二次型的标准形并不惟一，标准形：一个二次型的标准形并不惟一，标准形的系数也不一定是其矩阵的特征值。的

14、系数也不一定是其矩阵的特征值。对对对对本讲稿第二十八页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形3.3.用配方法用配方法化化二次型为标准形二次型为标准形例例2.4 用可逆线性变换化二次型用可逆线性变换化二次型为标准形为标准形.解解本讲稿第二十九页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形例例2.5 用可逆线性变换化二次型用可逆线性变换化二次型为标准形为标准形.并求出所用的可逆线性变换。并求出所用的可逆线性变换。解解本讲稿第三十页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形用可逆线性变换用可逆线性变换本讲稿第三十一页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形由配方法可知：由配方法可知：定理

15、定理2.3 任何二次型必可经过可逆线性变换化为任何二次型必可经过可逆线性变换化为标准形。标准形。定理定理2.4 任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。本讲稿第三十二页，共六十一页2 二次型的标准形二次型的标准形本节学习要求本节学习要求1.1.理解理解二次型的标准形的概念，熟悉有关定理。二次型的标准形的概念，熟悉有关定理。2.掌握化二次型为标准形的方法。掌握化二次型为标准形的方法。作业作业：习题：习题6.2(A)第第1(1),2(2)1(1),2(2)题题(P179)(P179)本讲稿第三十三页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型 本节教学内

16、容本节教学内容1.1.合同变换法合同变换法2.2.实实二次型的规范形二次型的规范形3.3.复二次型的规范形复二次型的规范形4.4.实实二次型规范形惟一性的证明二次型规范形惟一性的证明本讲稿第三十四页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型1.1.合同变换法合同变换法定义定义3.1 用初等矩阵作合同因子所进行的合同用初等矩阵作合同因子所进行的合同变换称为变换称为初等合同变换初等合同变换，即下列三种：，即下列三种：倍法初等合同变换：倍法初等合同变换：消法初等合同变换：消法初等合同变换：换法初等合同变换：换法初等合同变换：定理定理3.1 任何合同变换必可经过有限多次初等任何合

17、同变换必可经过有限多次初等合同变换实现。合同变换实现。(证略证略)本讲稿第三十五页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型例例3.1 用初等合同变换把对称矩阵用初等合同变换把对称矩阵化为对角矩阵。化为对角矩阵。解解0003303-40309/4000本讲稿第三十六页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型例例 用初等合同变换把对称矩阵用初等合同变换把对称矩阵化为对角矩阵。化为对角矩阵。解解本讲稿第三十七页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型用初等用初等合同变换化二次型合同变换化二次型(x)=xTAx为标准形为标准形思想

18、方法思想方法于是经可逆线性变换于是经可逆线性变换x=Py，(x)=yTBy本讲稿第三十八页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型例例2.5 在实数域上，化二次型在实数域上，化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换。为标准形，并求出所用的可逆线性变换。解解二次型的矩阵二次型的矩阵本讲稿第三十九页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型本讲稿第四十页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型2.2.实实二次型的规范形二次型的规范形定理定理3.2 任意实对称阵任意实对称阵A合同对角阵合同对角阵称之为实对称矩阵称之为实对称矩阵A

19、的的规范形规范形.其中其中p+q=R(A)，p,q由由A唯一确定；唯一确定；p称为称为A的的正惯性指数正惯性指数；q称为称为A的的负惯性指数负惯性指数；p-q称为称为A的的符号差符号差。(证略证略)本讲稿第四十一页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型推论推论3.1 任意实二次型任意实二次型(x)=xTAx，总有可逆线，总有可逆线性变换性变换x=Py,使使 称之为实二次型的称之为实二次型的规范形规范形，且规范形由原二次型，且规范形由原二次型唯一确定。其中唯一确定。其中p称为二次型称为二次型(x)的的正惯性指数正惯性指数；q称为二次型称为二次型(x)的的负惯性指数负惯性

20、指数；p+q=R()；p-q称为二次型称为二次型(x)的的符号差符号差.本讲稿第四十二页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型例例 用可逆线性变换把实二次型用可逆线性变换把实二次型 化为规范形化为规范形,并指出其正惯性指数并指出其正惯性指数,负惯性指数和负惯性指数和符号差符号差.解解：正惯性指数正惯性指数=1,负惯性指数负惯性指数=2,符号差符号差=1-2=-1。本讲稿第四十三页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型例例 求实对称矩阵求实对称矩阵的正惯性指数的正惯性指数,负惯性指数和符号差负惯性指数和符号差.解解：A的正惯性指数的正惯性指数=

21、2,负惯性指数负惯性指数=1,符号差符号差=2-1=1。本讲稿第四十四页，共六十一页3 合同变换与二次型的规范型合同变换与二次型的规范型本节学习要求本节学习要求1.1.理解初等合同变换理解初等合同变换的概念，会用的概念，会用初等合同变换初等合同变换化二化二次型为标准形。次型为标准形。2.理解实理解实二次型的规范型概念，会用可逆变换化实二次二次型的规范型概念，会用可逆变换化实二次型为规范形，会求型为规范形，会求实实二次型的正惯性指数、负惯性指数二次型的正惯性指数、负惯性指数和符号差。和符号差。作业作业：习题：习题6.3(A)第第2(1),32(1),3题题(P189)(P189)本讲稿第四十五页

22、，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型 本节教学内容本节教学内容1.1.实二次型的分类实二次型的分类 2.2.正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵3.3.负定、半正定、半负定二次型负定、半正定、半负定二次型本讲稿第四十六页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型1.1.实二次型的分类实二次型的分类 定义定义4.1(4.3)设实二次型设实二次型(x)=xTAx，x Rn,x 0，都有，都有(x)0,则称则称(x)为为正定二次正定二次型型，并称，并称A为为正定矩阵正定矩阵；x Rn,都有都有(x)0,则称则称(x)为为半正定二次型半正定二次

23、型，并称并称A为为半正定矩阵半正定矩阵；x Rn,x 0，都有，都有(x)0,(x2)0,则称则称(x)为为不定二次型不定二次型，并称，并称A为为不定的不定的矩阵；矩阵；例例设设指出下列实二次型的类型指出下列实二次型的类型正定正定负定负定半负定半负定半正定半正定不定不定本讲稿第四十八页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型定理定理4.1 可逆线性变换保持二次型的类型不变。可逆线性变换保持二次型的类型不变。(证略证略)依定理依定理2.2可推知，对实二次型可推知，对实二次型(x)=xTAx，(x)正定正定A的特征值全为正数；的特征值全为正数；(定理定理4.3)(x)负定

24、负定A的特征值全为负数；的特征值全为负数；(P193)(x)半正定半正定A的特征值全为非负数；的特征值全为非负数；(x)半负定半负定A的特征值全为非正数；的特征值全为非正数；(x)不定不定A的特征值有正有负；的特征值有正有负；本讲稿第四十九页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型例例4.1 判别下列实二次型的正定性判别下列实二次型的正定性解法解法1：二次型的矩阵：二次型的矩阵本讲稿第五十页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型例例4.1 判别下列实二次型的正定性判别下列实二次型的正定性解法解法2：本讲稿第五十一页，共六十一页4 实二次型的

25、分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型例例4.1 判别下列实二次型的正定性判别下列实二次型的正定性解法解法3：二次型的矩阵：二次型的矩阵本讲稿第五十二页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型进一步可推知：若进一步可推知：若n元实二次型元实二次型(x)的正惯性指的正惯性指数为数为p，负惯性指数为，负惯性指数为q，则，则 (x)正定正定 p=n，q=0；(定理定理4.2，定理，定理4.4)(x)负定负定 p=0，q=n；(P193)(x)半正定半正定 pn，q=0；(P193)(x)半负定半负定 p=0，q0，q0；本讲稿第五十三页，共六十一页4 实二次型的分类实二次

26、型的分类 正定二次型正定二次型2.2.正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵定义定义4.2 n阶方阵阶方阵A=(aij)n的的k阶阶子式子式称为称为A的的k阶阶顺序主子式顺序主子式定理定理4.5 实二次型实二次型(x)=xTAx正定正定 A的各阶顺序主子式大于零，的各阶顺序主子式大于零，本讲稿第五十四页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型定理定理4.5 实二次型实二次型(x)=xTAx正定正定 A的各阶顺序主子式大于零。的各阶顺序主子式大于零。类似的有类似的有实二次型实二次型(x)=xTAx负定负定 A的偶数阶顺序主子式大于零，的偶数阶顺序主子式大于零，A的奇数

27、阶顺序主子式小于零。的奇数阶顺序主子式小于零。(P193)实二次型实二次型(x)=xTAx半正定半正定 A的各阶的各阶主子式主子式大于或等于零。大于或等于零。(P193)注注：主子式主子式概念概念(P58)本讲稿第五十五页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型例例4.1 判别下列实二次型的正定性判别下列实二次型的正定性解法解法4：二次型的矩阵：二次型的矩阵本讲稿第五十六页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型例例 判别下列实对称矩阵的正定性判别下列实对称矩阵的正定性不能判断不能判断本讲稿第五十七页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分

28、类 正定二次型正定二次型例例 判别下列实对称矩阵的正定性判别下列实对称矩阵的正定性或或本讲稿第五十八页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型例例4.2 设设A,B都是都是n阶正定矩阵，试证阶正定矩阵，试证A+B也是正也是正定矩阵定矩阵.证证：设：设A,B都是都是n阶正定矩阵，则阶正定矩阵，则二次型二次型(x)=xTAx，g(x)=xTBx都是正定二次型都是正定二次型,x Rn,x 0，都有，都有xTAx0,xTBx0,即即 (x)=xT(A+B)x=xTAx+xTBx0,故故(x)也是也是正定二次型，正定二次型，A+B也是正定矩阵也是正定矩阵.本讲稿第五十九页，共六十一页4 实二次型的分类实二次型的分类 正定二次型正定二次型本节学习要求本节学习要求1.1.理解理解实二次型实二次型(实对称矩阵实对称矩阵)的正定、负定、半正定和半的正定、负定、半正定和半负定概念，会判别二次型负定概念，会判别二次型(实对称矩阵实对称矩阵)的类型。的类型。作业作业：习题：习题6.4(A)第第2,32,3题题(P189)(P189)本讲稿第六十页，共六十一页本讲稿第六十一页，共六十一页