【精品】函数逼近的插值法hermite插值多项式（可编辑.ppt

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1、函数逼近的插值法Hermite插值多项式nLagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性。n但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。n现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。Hermite插值问题的提法Hermite插值多项式的求法Lagrange方法Hermite插值余项三次Hermite插值多项式(n=1)x=0,pi/6;y=sin(x);z=cos(x);u=pi/12;d=her

2、mitchazhi(x,y,z,u)d=0.25876861681747e=abs(sin(u)-d)e=5.042828505269492e-005Hermit插值问题的一般提法这样的插值问题称为这样的插值问题称为这样的插值问题称为这样的插值问题称为Hermite Hermite 插值问题插值问题插值问题插值问题Hermite插值多项式的求法Newton方法分段多项式插值n前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。n一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，n但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。Runge现象a,z,z1=divi

3、ded1(5);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(5);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(10);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(10);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(15);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(15);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(20);plot(a,z,r,a,z1,g)a,z,z1=divided1(20);plot(a,z,r,a,z1,g)n当节点加密时，被

4、插函数与插值多项式的差别越来越大，这种现象称为Runge现象。n所以，高次插值多项式要慎用。n一般，采用低次分段多项式插值。分段线性插值j=find(x-u0,1),判断判断xj-1u e=abs(sin(u)-v)e=abs(sin(u)-v)e=e=0.08637043913936 0.08637043913936x=1:0.1:7;y=sin(x);u=5.5;v=fenduanlinear(x,y,u)v=-0.70554032557039 e=abs(sin(u)-v)e=0分段三次Hermite插值n上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数

5、，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值算法x=1:4;y=sin(x);z=cos(x);u=3.3;x=1:4;y=sin(x);z=cos(x);u=3.3;v=fenduanhermit(x,y,z,u)v=fenduanhermit(x,y,z,u)v=v=-0.15718060155343 -0.15718060155343 e=abs(sin(u)-v)e=abs(sin(u)-v)e=e=5.650925898138537e-004 5.650925898138537e-004 x=1:0.1:4;y=sin(x);z=cos(x);u=3.3;

6、x=1:0.1:4;y=sin(x);z=cos(x);u=3.3;v=fenduanhermit(x,y,z,u)v=fenduanhermit(x,y,z,u)v=v=-0.15774569414325 -0.15774569414325 e=abs(sin(u)-v)e=abs(sin(u)-v)e=e=0 0样条函数t=linspace(0,2.25,10);t=linspace(0,2.25,10);y=sqrt(t);y=sqrt(t);a=linspace(0,2.25,40);a=linspace(0,2.25,40);d=d=sspline1(t,y,a);sspline1(

7、t,y,a);z=sqrt(a);z=sqrt(a);plot(a,d,o,a,z)plot(a,d,o,a,z)zz=z-d;zz=z-d;plot(a,zz);plot(a,zz)三次样条插值转角条件转角条件例题n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529n解 做差商表(P111),由于是等距离节点,n由第二类边界条件得n解方程得n将Mi代入式4.4.14)得由于 故 z,d=sspline2(t,y,0.2,e,f)z,d=sspline2(t,y,0.2,e,f)z=-2.0445 -1.7776 -1.1303 -0.4371 0.0841z=-2.0445 -1.7776 -1.1303 -0.4371 0.0841d=0.9615d=0.9615上机实习题1.取取n=5,利用利用Lagrange插值近似计算当插值近似计算当u=-1:0.1:1对应的近似函数值对应的近似函数值v，并计算，并计算真值真值y(u).2.输出输出v以及误差向量以及误差向量e=y-v3.取取n=12,重复重复1，2步。步。