多维随机变量及其概率分布.ppt

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1、多维随机变量及其概率分布 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望本章要求本章要求:1.1.理解理解二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的分布律及其性质分布律及其性质分布律及其性质分布律及其性质;2.理解理解二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的概率密度函数及其性质概率密度函数及其性质概率密度函数及其性质概率密度函数及其性质;3.理解理解边缘分布律、边缘概率密度函数边缘分布律

2、、边缘概率密度函数边缘分布律、边缘概率密度函数边缘分布律、边缘概率密度函数的概念的概念的概念的概念 ，掌握求掌握求边边边边缘分布律以及边缘概率密度函数的方法缘分布律以及边缘概率密度函数的方法缘分布律以及边缘概率密度函数的方法缘分布律以及边缘概率密度函数的方法;4.4.会判断随机变量的独立性会判断随机变量的独立性会判断随机变量的独立性会判断随机变量的独立性;5.5.了解两个了解两个随机变量的和的分布的求法随机变量的和的分布的求法随机变量的和的分布的求法随机变量的和的分布的求法;本章重点本章重点:联合分布律联合分布律联合分布律联合分布律,概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数,边缘分布律

3、边缘分布律边缘分布律边缘分布律,边缘概边缘概边缘概边缘概率密度函数率密度函数率密度函数率密度函数,随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性.从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 到现在为止，我们只

4、讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是飞机的重心在空中的位置是由三个由三个r.v(三个坐标三个坐标)来确定的等来确定的等等等.一般地一般地,设设 是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是设设是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量,由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向量量叫做叫做 维随

5、机向量维随机向量或或 维随机变维随机变量量.以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量如果对于任意实数如果对于任意实数二元二元 函数函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的的分布函数分布函数,或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的的联合分布函数联合分布函数.定义定义1设设 是二维是二维随机变量随机变量,二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标,那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机

6、点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域内的概率为内的概率为或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律.k=1,2,离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX 的分布律的分布律 k=1,2,定义定义2的值是有限对或可列无限多对的值是有限对或可列无限多对,是是离散型随机变量离散型随机变量.则称则称设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量可能取的值是可能取的值是记记如果二维随机变量如果二维随机变

7、量全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律,3.1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律分布律具有性质具有性质也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律.例例把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.解解 (X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1)

8、,(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8一般地，对离散型一般地，对离散型 r.v(X,Y)，则则(X,Y)关于关于X 的边缘分布律的边缘分布律为为X和和Y 的联合分布律为的联合分布律为离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律(X,Y)关于关于 Y 的边缘分布律为的边缘分布律为 例例 把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.解解

9、 (X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0,Y=1+PX=0,Y=3=3/8,PX=1,Y=1+PX=1,Y=3=3/8,PX=2,Y=1+PX=2,Y=3PX=3,Y=1+PX=3,Y=3=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布与边缘分布的

10、关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 的分布函数的分布函数则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随机变量机变量,函数函数 称为二维称为二维（X,Y)的的概率密度概率密度,随机变量随机变量3.1.3 3.1.3 二维连续型随机变量的概率密度和边缘二维连续型随机变量的概率密度和边缘二维连续型随机变量的概率密度和边缘二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度概率密度概率密度概率密

11、度存在非负的函数存在非负的函数如果如果任意任意 有有使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或二维连续型随机变量二维连续型随机变量 的的概率密度概率密度具有性质具有性质（X,Y）的概率密度的性质）的概率密度的性质:在在 f(x,y)的连续点的连续点,例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是(1)求分布函数求分布函数 (2)求概率求概率 .积分区域积分区域区域区域解解 (1)当当 时时,故故当当 时时,(2)例例设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是(1)确定常数确定常数 (2)求概率求概率 .解解(1)故故(2).对连续型对连

12、续型 r.v(X,Y)，X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为则则(X,Y)关于关于 X 的边缘概率密度的边缘概率密度为为事实上事实上,连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度为为例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(1)c的值；的值；（2）两个边缘密度。）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.解解 (1)故故例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解求求 (1)c 的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.(2)当当 时时当当 时时,暂时固定暂时固定注意取值范围注意取值范围综上综上,当当 时时,例例

13、 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解(2)求求 (1)c的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.暂时固定暂时固定综上综上,注意取值范围注意取值范围 在在求求连连续续型型 r.v 的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分.当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布.设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A.若若二二维随机变量（维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度则称则

14、称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布.向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.则则质质点点的的坐坐标标(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例注意注意:先看先看P70 10、11 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 则称（则称（X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且记作（记作（X,Y）N().例例 试求二维正态随机变量的边缘

15、概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解解因为因为所以所以特注：本例只记结果特注：本例只记结果则有则有 二二维维正正态态分分布布的的两两个个边边缘缘分分布布都都是是一一维维正正态态分分布布,并且不依赖于参数并且不依赖于参数 .同理同理可见可见由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布.也就是说也就是说,对于给定的对于给定的 不同的不同的 对应对应不同的二维正态分布不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(X,Y)关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.解解

16、暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,故故暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,故故两事件两事件 A,B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A,B 独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有 则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.3.2.1两个随机变量的独立的性两个随机变量的独立的性3.2 随机变量独立性随机变量独立性用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.它表明，两个它表明

17、，两个r.v相互相互独立时，它们的联合分布函独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积数等于两个边缘分布函数的乘积.其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.对任意的对任意的 x,y,有有 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v，则上述独立性的定义，则上述独立性的定义等价于：等价于：这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.若若(X,Y)是离散型是离散型 r.

18、v，则上述独立性的定义等，则上述独立性的定义等价于：价于：则称则称 X 和和Y 相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有3.2.2 二维离散型随机变量的独立的性二维离散型随机变量的独立的性 例例 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解解x0 y 0即即可见对一切可见对一切 x,y,均有：均有：故故 X,Y 独立独立.若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解解0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故 X 和和 Y 不独立不独立.例例 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午1

19、2时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟的概率钟的概率.又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)所求为所求为P(|X-Y|5),甲先到甲先到的概率的概率由独

20、立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率分钟的概率P(XY)解一解一P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)P(XY)解二解二P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率.盒

21、内有盒内有 个白球个白球,个黑球个黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 两次两次.设设第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求(1)的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律;(2)判断判断 的相互独立性的相互独立性;(3)若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.(1)的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示:(2)由上表可知由上表可知故故 的相互独立的相互独立.(3)的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下表所示表所示:故故 不是相互独立不是

22、相互独立.由上表知由上表知:可见可见练习练习 1.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立?2.证明证明 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y),X 和和 Y 相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数 .在第二章中，我们讨论了一维随机变在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它的联合分布已知时，如何求出它们的函数们的函数 Z=g(X,Y)的分布的分布?3.3 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分

23、布 例例 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.解解 =a0br+a1br-1+arb0 由独立性由独立性r=0,1,2,的分布的分布 3.3.1离散型随机变量的函数分布离散型随机变量的函数分布看看P80例例3-24 例例 设设(X、Y)的分布律为的分布律为求求 Z=X+Y 的的分布律分布律.YX011201/41/61/81/41/121/8ZP0 1 2 31/4 5/12 1/4 1/12解解 依题意依题意 例例 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的

24、泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为于是于是i=0,1,2,j=0,1,2,的泊松分布的泊松分布.r=0,1,即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.看看P81例例3-26 例例 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.这里积分区域这里积分区域 D=(x,y):x+y z解解Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:它它是直线是直线 x+y=z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.3.3.2 两个独立连续型随机变量之和的概率分布两个独立连续型随机变量之和的概率分布 化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和y,

25、对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令 x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于 X,Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的

26、概率密度.卷积公式卷积公式为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为 0 的区域的区域 例例 若若 X 和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.解解 由卷积公式由卷积公式也即也即暂时固定暂时固定故故 当当 或或 时时,当当 时时,当当 时时,于是于是 例例 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量,具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.解解 由卷积公式由卷积公式令令得得可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地更一般地,可以证明可以证明:练习练习设设 相互独立相互独立求求的分布的分布则则结果结果相互独立相互独立,且且即即特注平方特注平方请欣赏请欣赏精品课件资料分享 SL出品