24.4 弧长和扇形面积 (1)doc--初中数学 .doc

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1、http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数24.424.4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积(第第 1 1 课时课时)教学内容教学内容1n的圆心角所对的弧长 L=180n R2扇形的概念；3圆心角为 n的扇形面积是 S扇形=2360n R；4应用以上内容解决一些具体题目教学目标教学目标了解扇形的概念，理解 n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n的圆心角所对的弧长 L=2180n R和扇形面积 S扇=2360n

2、 R的计算公式，并应用这些公式解决一些题目重难点、关键重难点、关键1重点：n的圆心角所对的弧长 L=180n R，扇形面积 S扇=2360n R及其它们的应用2难点：两个公式的应用3关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程教具、学具准备教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板教学过程教学过程一、复习引入一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题1圆的周长公式是什么？2圆的面积公式是什么？3什么叫弧长？老师点评：（1）圆的周长 C=2R（2）圆的面积 S图=R2（3）弧长就是圆的一部分二、探索新知二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为 R，则：1圆

3、的周长可以看作_度的圆心角所对的弧21的圆心角所对的弧长是_32的圆心角所对的弧长是_44的圆心角所对的弧长是_http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数5n的圆心角所对的弧长是_（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n的圆心角所对的弧长为360n R例例 1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到 0.1mm）?40mm?.c?B?A?O?110分析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只

4、要代入弧长公式即可解：R=40mm，n=110AB的长=180n R=110 4018076.8（mm）因此，管道的展直长度约为 76.8mm问题问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过 n角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以 A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积（2）如果这头牛只能绕柱子转过 n角，那么它的最大活动区域应该是 n圆心角的两个半径的 n圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图

5、:?5?.c?n像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（小黑板），请同学们结合圆心面积 S=R2的公式，独立完成下题：1该图的面积可以看作是_度的圆心角所对的扇形的面积http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数2设圆的半径为 R，1的圆心角所对的扇形面积 S扇形=_3设圆的半径为 R，2的圆心角所对的扇形面积 S扇形=_4设圆的半径为 R，5的圆心角所对的扇形面积 S扇形=_5设圆半径为 R，n的圆心角所对的扇形面积 S扇形=_老师检察学

6、生练习情况并点评13602S扇形=1360R23S扇形=2360R24S扇形=25360R5S扇形=2360n R因此：在半径为 R 的圆中，圆心角 n的扇形S扇形扇形=2360n R例例 2如图，已知扇形 AOB 的半径为 10，AOB=60，求AB的长（结果精确到 01）和扇形 AOB 的面积结果精确到 01）分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足解：AB的长=6018010=10310.5S扇形=60360102=100652.3因此，AB的长为 25.1cm，扇形 AOB 的面积为 150.7cm2三、巩固练习三、巩固练习课本 P122 练习四、应用拓展

7、四、应用拓展例例 3（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a（2）尝试与思考：如图 a、b 所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为 a的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕 O 旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为_时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值 ahttp:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下

8、载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数?D?E?C?B?A?O(a)(b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正 n 边形的中心 O 点处，若将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正 n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a，这时正 n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正 n 边形面积 S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD分别交于点 M、N，连结 OA、OD四边形 ABCD

9、是正方形OA=OD，AOD=90，MAO=NDO，又MON=90，AOM=DONAMODNOAM=DNAM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点 M 与点 A（点 B）重合时，点 N 必与点 D（点 A）重合，此时 AM+AN 仍为定值 a故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a（2）120；70（3）360n；正 n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是Sn五、归纳小结（学生小结，老师点评）五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：1n的圆心角所对的弧长 L=180n R2扇形的概念3圆心角为 n的扇形面积是 S扇形=2360n R4运用以上内容，解决具体问题六、布置作

10、业六、布置作业1教材 P124复习巩固 1、2、3P125综合运用 5、6、72选用课时作业设计第一课时作业设计第一课时作业设计一、一、选择题选择题1已知扇形的圆心角为 120，半径为 6，则扇形的弧长是（）A3B4C5D62如图 1 所示，把边长为 2 的正方形 ABCD 的一边放在定直线 L 上，按顺时针方向绕点http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B所经过的路线长度为（）A1BC2D2(1)(2)(3)3如图 2

11、所示，实数部分是半径为 9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A12mB18mC20mD24m二、填空题二、填空题1如果一条弧长等于4R，它的半径是 R，那么这条弧所对的圆心角度数为_，当圆心角增加 30时，这条弧长增加_2如图 3 所示，OA=30B，则AD的长是BC的长的_倍三、综合提高题三、综合提高题1已知如图所示，AB所在圆的半径为 R，AB的长为3R，O和 OA、OB 分别相切于点 C、E，且与O 内切于点 D，求O的周长2如图，若O 的周长为 20cm，A、B 的周长都是 4cm，A 在O内沿O滚动，B 在O 外沿O 滚动，B 转动

12、 6 周回到原来的位置，而A 只需转动 4 周即可，你能说出其中的道理吗？?.c?B?A?O3如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷 ABCD，AB=1，AD=3，将画刷以 B 为中心，按顺时针转动 ABCD位置（A点转在对角线 BD 上），求屏幕被着色的面积http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数答案答案:一、1B2D3D二、14516R23三、1连结 OD、OC，则 O在 OD 上由ABl=3R，解得：AOB=60，由 RtOOC解得O的半径 r=13

13、R，所以O的周长为 2r=23R2O、A、B 的周长分别为 20cm，4cm，4cm，可求出它的半径分别为 10cm、2cm、2cm，所以 OA=8cm，OB=12cm，因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以A 滚动回原位置经过距离为 28=16=44，而B 滚动回原位置经过距离为 212=24=46因此，与原题意相符3设屏幕被着色面积为 S，则 S=SABD+S扇形BDD+SBCD=S矩形ABCD+S扇形BDD，连结 BD，在 RtABD中，AB=1，AD=AD=3，BD=BD=2，DBD=60，S=1622+13=3+2324.424.4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积(第第 2 2

14、 课时课时)教学内容教学内容1圆锥母线的概念2圆锥侧面积的计算方法3计算圆锥全面积的计算方法4应用它们解决实际问题教学目标教学目标了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题重难点、关键重难点、关键1重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数2难点：探索两个公式的由来3关键：你通过剪

15、母线变成面的过程教具、学具准备教具、学具准备直尺、圆规、量角器、小黑板教学过程教学过程一、复习引入一、复习引入1什么是 n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点2问题 1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的老师点评：（1）n圆心角所对弧长：L=180n R，S扇形=2360n R，公式中没有 n，而是 n；弧长公式中是 R，分母是 180；而扇形面积公式中是 R，分母是 360，两者要记清，不能混淆（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面

16、积，圆柱的侧面积和底圆的面积这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它二、探索新知二、探索新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线（学生分组讨论，提问二三位同学）问题 2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为 L，底面圆的半径为 r，如图 24-115 所示，那么这个扇形的半径为_，扇形的弧长为_，因此圆锥的侧面积为_，圆锥的全面积为_老师点评：很显然，扇

17、形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积 S=2360n l，其中 n 可由 2r=2180n l求得：n=360rl，扇形面积 S=2360360rll=rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数例例 1 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 58cm，高为 20cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘

18、米的纸？（结果精确到 0.1cm2）分析：要计算制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积解：设纸帽的底面半径为 rcm，母线长为 Lcm，则r=582L=2258()20222.03S纸帽侧=rL125822.03=638.87（cm）638.8720=12777.4（cm2）所以，至少需要 12777.4cm2的纸例例 2已知扇形的圆心角为 120，面积为 300cm2（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由 S扇形=2360n R求出 R，再代入 L=180n R求得（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长

19、就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形解：（1）如图所示：300=2120360RR=30弧长 L=12030180=20（cm）（2）如图所示：20=20rr=10，R=30AD=900 100=202S轴截面=12BCAD=12210202=2002（cm2）因此，扇形的弧长是 20cm 卷成圆锥的轴截面是 2002cm2三、巩固练习三、巩固练习教材 P124练习 1、2四、应用拓展四、应用拓展例例 3 3 如图所示，经过原点 O（0，0）和 A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线 y=ax2+bx+chttp:/http:/ 永久

20、免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数（a0）.（1）求出图中曲线的解析式；（2）设抛物线与 x 轴的另外一个交点为 C，以 OC 为直径作M，如果抛物线上一点 P作M 的切线 PD，切点为 D，且与 y 轴的正半轴交点为 E，连结 MD，已知点 E 的坐标为（0，m），求四边形 EOMD 的面积（用含 m 的代数式表示）（3）延长 DM 交M 于点 N，连结 ON、OD，当点 P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得 S四边形EOMD=SDON请求出此时点 P 的坐标解：（1）O（0，

21、0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线 y=ax2+bx+c（a0）上035cabcabc 解得 a=1，b=-4，c=0图中曲线的解析式是 y=x2-4x（2）抛物线 y=x2-4x 与 x 轴的另一个交点坐标为 c（4，0）,连结 EM，M 的半径为 2，即 OM=DM=2ED、EO 都是M 的切线EO=EDEOMEDMS四边形EOMD=2SOME=212OMOE=2m（3）设点 D 的坐标为（x0，y0）SDON=2SDOM=212OMy0=2y0S四边形ECMD=SDON时即 2m=2y0，m=y0m=y0EDx 轴又ED 为切线D（2，2）点 P 在直线 ED 上，故设 P（x，

22、2）P 在圆中曲线 y=x2-4x 上2=x2-4x解得：x=41682=26P1（2+6，0），P2（2-6，2）为所求五、归纳小结（学生归纳，老师点评）五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1什么叫圆锥的母线2会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题六、布置作业六、布置作业1教材 P124复习巩固 4P125综合运用 8拓广探索 9、102选用课时作业设计http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需注无需注册和点数册和点数http:/ 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数第二课时作业设计第二课时作业设计一、选择题

23、一、选择题1圆锥的母线长为 13cm，底面半径为 5cm，则此圆锥的高线为（）A6cmB8cmC10cmD12cm2在半径为 50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为 50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）A228B144C72D363如图所示，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从点 A 出发绕侧面一周，再回到点 A 的最短的路线长是（）A63B3 32C33D3二、填空题二、填空题1母线长为 L，底面半径为 r 的圆锥的表面积=_2矩形 ABCD 的边 AB=5cm，AD=8cm，以直线 AD 为轴旋转

24、一周，所得圆柱体的表面积是_（用含的代数式表示）3粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为 36m，母线长为 8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的 10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用_m2的油毡三、综合提高题三、综合提高题1一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是 40cm，母线长是 120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？2如图所示，已知圆锥的母线长 AB=8cm，轴截面的顶角为 60，求圆锥全面积3 如图所示，一个几何体是从高为 4m，底面半径为 3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积答案答案:一、1D2C3C二、1r2+rL2130cm23158.4三、1（1）2400cm2（2）403cm248cm23S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=234+32+35=24+9+15=48cm2