江苏省2013届最新高三数学（精选试题26套）分类汇编9 圆锥曲线.doc

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1、 江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编9：圆锥曲线一、填空题 （南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1(ab0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率的值是_.【答案】2 （江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为_.【答案】 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知椭圆x2sin -y2cos =1 (00). 若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则实数p的值是_.【答案】4 （武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已

2、知椭圆的上、下顶点分别为,右顶点为,右焦点为,若,则椭圆的离心率为_.【答案】解析:由题设得即,也就是,. （江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x-y=0,则该双曲线的标准方程为_.【答案】 - =1 （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）椭圆(为定值,且)的左焦点为F,直线与椭圆相交于点A.B,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率e是_.【答案】 （江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）如图,已知椭圆的方程为: ,是它的下顶点,是其右焦 点,的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点

3、, 若点恰好是的中点,则此椭圆的离心率是_.xyOFBQP第12题【答案】 （江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上, 其中为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数的值为_.【答案】3 设AB的方程为:,则AC的方程为:,由得 ,解得用“”替换“”得 故 所以, 令,则(当且仅当时等号成立), 由得解得或(舍去),所以. （江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知双曲线-=1 (a0,b0) 的焦点到渐近线的距离是a,则双曲线的离心率的值是_.【答案】 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲

4、刺模拟试卷doc）已知A(1,4),F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为_【答案】9 （江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的()焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为_ 【答案】 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知点是双曲线右支上一点,、分别是双曲线的左、右焦点. 为内心,若,则双曲线的离心率为_.【答案】2 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（2）已知抛物线,过定点(p,0)作两条互相垂直的直线与抛物线交

5、于P、Q两点,l2与抛物线交于M、N两点,l1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为(),请你写出弦MN的中点坐标:_.【答案】 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于_【答案】4 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（3）如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形,记所得等腰梯形ABCD的面积为,则的最小值是_.【答案】 （江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知抛物线y2=2px(p0)，过定点（p,0）作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与抛物线交于P、Q两点，l

6、2与抛物线交于M、N两点，l1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为（+p,），请你写出弦MN的中点坐标： .【答案】 （江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知点P在抛物线上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为_. 【答案】答案 （江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率_.【答案】 （江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地

7、撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为60颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为_.【答案】19.2（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）已知双曲线中心在原点,渐近线方程为,一个焦点为,抛物线的焦点为双曲线的一个顶点,则_.【答案】 （江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则双曲线的离心率为_. 【答案】（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知双曲线(的焦距为,离心率为,若点(-1,0)和(1,0)到直线的距离之和为,则的取值范围是_.【答案】 （江苏省扬州中学201

8、3届高三最后一次模拟考试数学试题）已知A,B,P是双曲线上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积,则该双曲线的离心率为_.【答案】 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是_【答案】-1 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）已知为双曲线的左准线与x轴的交点,点,若满足的点在双曲线上,则该双曲线的离心率为_.【答案】; （江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中,已知点是椭

9、圆上的一个动点,点P在线段的延长线上,且,则点P横坐标的最大值为_.【答案】 提示:设,由,得, =, 研究点P横坐标的最大值,仅考虑, (当且仅当时取“=”). （江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2x的焦点为F. 设M是抛物线上的动点,则的最大值为_.【答案】. （江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）设双曲线的左、右焦点分别为,点P为双曲线上位于第一象限内一点,且的面积为6,则点P的坐标为_.【答案】 （江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）等腰中,斜边,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭

10、圆经过A,B两点,则该椭圆的离心率为_.【答案】 （江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知椭圆+=1(ab0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),P为该椭圆上一点,且=c2,则此椭圆离心率的取值范围是_.【答案】 （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列,则此椭圆的离心率e=_.【答案】. 由a+b=2c, a2-b2=c2, 两式相除得a-b=c, 与a+b=2c相加得2a=c,从而e=. 二、解答题（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知椭圆和圆,A,B,F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点.点P是

11、曲线C2上位于第二象限的一点,若APF的面积为,求证:APOP;点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点,且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍,证明直线MN恒过定点.【答案】 （江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析

12、式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是()中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.水面xO3m10m1m跳台支柱y【答案】解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B, 抛物线的解析式为. 由题意,知O(0,0),B(2,-10),且顶点A的纵坐标为. 或 抛物线对称轴在y轴右侧,又抛物线开口向下,a0,故有 抛物线的解析式为. (2)当运动员在空中距池边的水平距离为米时, 即时, 此时运动员距水面的高为10-=b0)的左焦点为F1(-3,0),过点F1作一条直线l交椭圆于A,B两点,点A关于坐标原点

13、O的对称点为A1,两直线AB,A1B的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)已知D(m,0)为F1右侧的一点,连AD,BD分别交椭圆左准线于M,N两点,若以MN为直径的圆恰好过点F1,求m的值. 【答案】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(-x1,-y1). 所以,=,=,于是=, 由得+ =0,所以=- 所以,=,所以=.设b=4k,a=5k,其中k0.由c=3,得25k2-16k2=9,所以k=1 所以,椭圆C:+ =1 (2)若l存在斜率k时,设l:y=k(x+3),A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y,得(16+25k2)x2+150k2x+225 k

14、2-400=0. 所以 设,由M、A、D共线,得, 同理 又, 得=-, 整理得 ,所以m=5,因为m-3,所以m=5 （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）抛物线上有两点且(为坐标原点)(1)求证: (2)若,求AB所在直线方程.【答案】抛物线上有两点且(为坐标原点) (1)求证: (2)若,求AB所在直线方程. （南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为.(1)求a,b的值.(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.()若k=1,求OAB面积的最大值;()若P

15、A2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.【答案】解(1)由题设可知a=2,e=,所以c=,故b=1. 因此,a=2,b=1 (2)由(1)可得,椭圆C的方程为 +y2=1. 设点P(m,0)(-2m2),点A(x1,y1),点B(x2,y2). ()若k=1,则直线l的方程为y=x-m. 联立直线l与椭圆C的方程,即.将y消去,化简得 x2-2mx+m2-1=0.解之得x1=, x2=, 从而有,x1+x2=, x1 x2=, 而y1=x1-m,y2=x2-m, 因此,AB|= =, 点O到直线l的距离d=, 所以,SOAB=|AB|d=|m|, 因此,S2OAB=( 5-m2)m2()2

16、=1. 又-2m2,即m20,4. 所以,当5-m2=m2,即m2=, m=时,SOAB取得最大值1. ()设直线l的方程为y=k(x-m). 将直线l与椭圆C的方程联立,即. 将y消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解此方程,可得, x1+x2=,x1x2= . 所以, PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=(x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2 = (*) 因为PA2+PB2的值与点P的位置无关,即(*)式取值与m无关, 所以有-8k4-6k2+2=0,解得k=. 所以,k的值为 （江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高

17、三5月高考模拟数学试题 ）设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.()若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若,证明直线的斜率满足.【答案】法一:(1)取,;则 (2)设;则线段的中点 方法二:依题意,直线的方程为,可设点,由点在椭圆上,有,因为,所以即 由,得整理得,于是,代入得. （江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆,M是椭圆上任一点,面积的最大值为1,椭圆的内接矩形(短形的边与椭圆的对称轴平行)面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)设M、A、B是椭圆上异于顶点的三点,且存在锐角求证:直线OA与OB斜率乘积

18、为定值求的值.【答案】 （江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）如图,已知抛物线M:的准线为l,N为l上的一个动点,过点N作抛物线M的两条切线,切点分别为A,B,再分别过A,B两点作l的垂线,垂足分别为C,D.(1)求证:直线AB必经过y轴上的一个定点Q,并写出点Q的坐标;(2)若的面积依次构成等差数列,求此时点N的坐标.【答案】 （江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板AB长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h1)时达到

19、距水面最大高度4m.规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.ACDBFE23562+h【答案】 则,答,此时h的取值范围. （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）在平面上,给定非零向量b,对任意向量c,定义c=a-b.(1)若a=(2,3), b=(-1,3), 求c;(2)若b=(2,1),证明:若位置向量a的终点在直线Ax+By+C=0上,则位置向量c的终点也在一条直线上;(3)已知存在单位向量b,当位置向量a的终点在抛物线C:x2=y上时,位置向量c终点总

20、在抛物线C: y2=x上,曲线C和C关于直线l对称,问直线l与向量b满足什么关系?【答案】(1) c=(2,3)-(-1,3)=(,-). (2)设a=(x,y), c=(x,y),则(x,y)=(x,y)-(x+2y)(2,1)=(-x-y, -x+y), 所以, 于是, 故A(-x-y)+B(-x+y)+C=0, 从而, -(3A+4B)x+(-4A+3B)y+C=0. 由于A, B不同时为零,所以3A+4B, -4A+3B也不同时为零.于是向量c的终点在一条直线-(3A+4B)x+(-4A+3B)y+C=0上. (3)设b=(b1, b2), 则b+b=1,对任意实数t, 取a=(t,t

21、2), 则 c=(t,t2)-(2(t,t2)(b1, b2)(b1, b2)=(t,t2)-(2tb1+2t2b2)(b1, b2) =(1-2b)t-2b1b2t2, -2b1b2t+(1-2b)t2). 因为c的终点在曲线C上,所以(1-2b)t-2b1b2t2)2=-2b1b2t+(1-2b)t2. 由于t为任意实数,比较式两边t的系数得 1-2b=0, (-2b1b2)2=-2b1b2, 1-2b=0, 从而, b=b=, b1b2b0)的离心率为,且经过点P(1,).(I)求椭圆C的方程;(II)设F是椭圆C的右焦点,M为椭圆上一点,以M为圆心,MF为半径作圆M.问点M满足什么条件

22、时,圆M与y轴有两个交点? ()设圆M与y轴交于D、E两点,求点D、E距离的最大值.【答案】解:()椭圆+=1(ab0)的离心率为,且经过点P(1,), ,即 ,解得 , 椭圆C的方程为+=1 ()易求得F(1,0).设M(x0,y0),则+=1, 圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令x=0,化简得y2-2y0y+2x0-1=0,=4y02-4(2x0-1)20. 将y02=3(1-)代入,得3x02+8x0-160,解出 -4x0, 又 ()设D(0,y1),E(0,y2),其中y1b0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,

23、使ll1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B.(1)当l1与l2夹角为60,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程及离心率;(2)求的最大值.【答案】解(1)双曲线的渐近线为y=x,两渐近线夹角为60,又b0)的上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P(,),以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.xyOF2(第18题图)PAF11【答案】解:(1)因为椭圆过点P(,),所以=1,解得a2=2,

24、 又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即-=-1, b2=c(4-3c) xyOF2(第18题图)PAF11而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1, 故椭圆C的方程是+y2=1 (2)当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0. 因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2p2)=0, 即 1+2k2=p2 设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 =1, 即(st+1)k+p(s+t)=0(*

25、),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*). 由(*)恒成立,得解得,或, 而(*)不恒成立. 当直线l斜率不存在时,直线方程为x=时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(-1)(+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（2）在平面直角坐标系xOy中,已知点,P是动点,且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.(1)求点P的轨迹C的方程; (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且,直线OP与QA交于点M,问:是否存在点P使得PQA和PAM的面积

26、满足?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)设点为所求轨迹上的任意一点,则由得, ,整理得轨迹的方程为(且) (2)设 由可知直线,则, 故,即, 直线OP方程为: ; 直线QA的斜率为:, 直线QA方程为:, 即 联立,得,点M的横坐标为定值 由,得到,因为,所以, 由,得,的坐标为. 存在点P满足,的坐标为 （江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知椭圆的焦距为4,设右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设、为椭圆上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,若原点在以线段为直径的圆上.证明点在定圆上;设直线的斜率为,若,求的取值范围.

27、【答案】解:()由,c=2,得,b=2 , 所求椭圆方程为. ()设,则,故,. 由题意,得. 化简,得,所以点在以原点为圆心,2为半径的圆上. 设,则. 将,代入上式整理,得 因为,k20,所以, 所以 . 化简,得解之,得, 故离心率的取值范围是. （江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,右准线为l:x=4.M为椭圆上不同于A,B的一点,直线AM与直线l交于点P.(1)求椭圆C的方程;(2)若=,判断点是否在以PM为直径的圆上,并说明理由;(3)连结PB并延长交椭圆C于点N,若直线MN垂直于x轴,求点

28、M的坐标.ABPMNxyO(第18题)【答案】解:(1)由解得所以b2=3. 所以椭圆方程为+=1. (2)因为=,所以xM=1,代入椭圆得yM=,即M(1,), 所以直线AM为:y=(x+2),得P(4,3), 所以=(-1,),=(2,3). 因为=0,所以点B不在以PM为直径的圆上. (3)因为MN垂直于x轴,由椭圆对称性可设M(x1,y1),N(x1,-y1). 直线AM的方程为:y=(x+2),所以yp=, 直线BN的方程为:y=(x-2),所以yp=,所以=.因为y10,所以=-.解得x1=1.所以点M的坐标为(1,). （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点.证明:为定值;(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1),椭圆方程为 (2),设,则. 直线:,即, 代入椭圆得 ,. , (定值). (3)设存在满足条件,则. , 则由得 ,从而得. 存在满足条件 （江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）过直线上的动点作抛物线的两切线,为切点.(1)若切线的斜率分