2016高考数学大一轮复习3.1导数的概念及运算教师用书理苏教版.doc

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1、3.1导数的概念及运算1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(

2、x)c (c为常数)f(x)_0_f(x)x (Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中

3、打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(6)函数y的导数是y.()1设函数f(x)ax3bx(a0)，若f(3)3f(x0)，则x0_.答案解析由已知得f(x)ax2b.又f(3)3f(x0)，则有9a3b3ax3b，所以x3，则x0.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_答案解析由yf(x)的图象知yf(

4、x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确3(2014广东)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_答案5xy20解析因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.4曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案解析y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其

5、中直线y2x2与yx的交点为A(，)，三角形的面积S1.题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数解方法一yf(xx)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22xxx22x2x1x22x1(2x2)xx2，所以 (2x2)x2x2.所以函数f(x)x22x1在x1处的导数为f(x)|x12120.方法二yf(1x)f(1)(1x)22(1x)1(12211)12xx222x12x2，所以 x0.故f(x)|x10.思维升华(1)求函数f(x)的导数步骤：求函数值的增量yf(x2)f(x1)；计算平均变化率；计算导数f(x) .(2)利用定义法求解f(a

6、)，可以先求出函数的导数f(x)，然后令xa即可求解，也可直接利用定义求解(1)函数yx在x，xx上的平均变化率_；该函数在x1处的导数是_(2)已知f(x)，则f(1)_.答案(1)10(2)解析(1)y(xx)xxx.1.y|x1 0.(2)yf(1x)f(1)1， .f(1).题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)ysin2；(4)yln(2x5)解(1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)ysin2(2x)cos(4x)，故设ycos u，u4x，则yxyuuxsin u42sin u2sin(4x)

7、(4)设yln u，u2x5，则yxyuux，因此y(2x5).思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导(1)f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0_.(2)若函数r(V)，则r()值等于_(3)若f(x)e2x，则f(x)_.答案(1)1(2)1(3)2e2x解析(1)f(x)2 015ln xx2 016ln x，故由f(x0)2

8、016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.(2)r(V)，r()1.(3)f(x)(3x)e2x(2x)2e2x.题型三导数的几何意义例3设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切

9、线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再

10、依据已知点在切线上求解(1)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_(2)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_答案(1)3(2)9解析(1)yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.(2)先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0x3x0，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线l过A、M两点，所以k，则3x3，联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.混淆“在某

11、点处的切线”与“过某点的切线”致误典例：若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a_.易错分析没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误解析因为yx3，所以y3x2，设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1.答案1或温馨提醒1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应

12、首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解方法与技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包

13、括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组专项基础训练(时间：45分钟)1设点P是曲线yx3x上的任意一点，曲线在点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是_答案0，)，)解析y3x2，又kf(x)3x2，k.结合正切函数图象可知：0或0)，由已知得解得a，xe2.两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，切线的方程为ye(xe2)，即yx.9已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解y2axb，抛物线在点Q(2，1)处的切线斜率为ky|x24ab.4ab1.又点P(1

14、,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得实数a、b、c的值分别为3、11、9.10已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点

15、(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2)即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)

16、B组专项能力提升(时间：20分钟)1函数f(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为_答案解析由f(x)excos x，得f(x)excos xexsin x所以f(0)e0cos 0e0sin 01，即倾斜角满足tan 1.根据0，)，得.2若函数f(x)cos x2xf()，则f()与f()的大小关系是_答案f()0，f(x)cos xx是(，)上的增函数，又，f()0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以两条切线不是同一条直线14