2021版高考数学一轮复习核心素养测评十五利用导数研究函数的极值最值理北师大版.doc
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1、核心素养测评十五 利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=+ln x则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点【解析】选D.f(x)=-+=,由f(x)0,得x2,所以f(x)的增区间为,f(x)的减区间为(0,2),所以f(x)只有极小值,极小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f(x)的图像如图,则下列结论正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是
2、增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图像可知,函数f(x)在区间(a,+)上是增函数.3.(2020榆林模拟)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为()A.15B.16C.17D.18【解析】选D.因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,所以f(2)=12-3a=0,解得a=4,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-12x+2,f(x)=3x2-12,由f(x)=0,得x=2,故函数f(x)在(-2,2)上是减少的,在(-,-2),(2,+)上是增加的,由此
3、可知当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=18.4.(2020湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,当x=2时,g(2)=-23+a22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=-x3+x2-1,g(x)=-x2+x=-x(
4、x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.若函数f(x)=ax-ln x在区间(0,e上的最小值为3,则实数a的值为 ()A.e2B.2eC.D.【解题指南】(1)判断单调区间,把a分为a0与a0两种情况来确定单调区间,而a0时又要将与区间(0,e进行比较讨论;(2)根据各种情况的单调区间确定各种情况下的最小值,每计算一个a的值都要记得检验是否满足前提范围.【解析】选A.因为f(x)=ax-ln x,(x0),所以f(x)=a-=(x0).当a0时,f(x)0(舍去).当a0时,当0x时,f(x)0,f(x)在
5、上为减函数,当x时,f(x)0,f(x)在上为增函数.所以当0e时,即a(舍去),综上所述:a=e2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019濮阳模拟)函数f(x)=ex-2x的最小值为_.【解析】f(x)=ex-2,令f(x)=ex-2=0,解得x=ln 2.可得:函数f(x)在(-,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增.所以x=ln 2时,函数f(x)取得极小值也是最小值,f(ln 2)=2-2ln 2.答案:2-2ln 27.(2020咸阳模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=_.
6、【解析】由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f(x)=-a=0,得x=,当0x0;当x时,f(x)0.所以f(x)max=f=-ln a-1=-1,解得a=1.答案:18.已知函数f(x)=当x(-,m时,函数f(x)的取值范围为-16,+),则实数m的取值范围是_.【解析】当x0时,f(x)=3(2+x)(2-x),所以当x-2时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当-20,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图像,结合函数的图像得-2m8时,函数f(x)总能取到最小值-16,故m的取值范围是-2,8. 答案: -2,8三
7、、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1) 求a,b的值.(2) 设函数g(x)的导数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1) 由题设知f(x)=3x2+2ax+b,且f(-1)=3-2a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2) 由(1) 知f(x)=x3-3x,则g(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是
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