高中数学解析几何题型.docx

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1、解析几何题型考点 1求 参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之例 1. 假设抛物线y2 = 2px 的焦点 与椭 圆上+ 2.:.= 1 的右焦点重合， 则 p 的值为62A. 2B. 2C . 4D.4考察意图：此题主要考察抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的根本几何性质2_ 2解答过程 ： 椭圆上+= l 的右焦点 为(2,0)， 所以抛物线 y2 = 2px 的焦点 为(2,0)， 则P = 4 , 62考点 2求 线段的长求线段的长也是高考题 中的常见题型之一，其解法为从曲 线的性 质入手，找出点的 坐标 ，利 用距离公式解之例 2 . 抛

2、物线 y-*2 + 3 上存在关于直 线y= O 对称的相异两 点A、B, 则队趴等于A.3B.4C.3 迈D.4J2考察意图：此题主要考察直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用解：设直线AB 的方程 为 yx + b , 由Y X 勹3X2 十卢 3 0 气 屯 IY=X+bllll进而可 求出 AB 的中点 M (,+ b) ， 又由 M (,- b ) 在直线x + y = O 上可求出2222b=l,.x2 +x-2 =0, 由弦长公式可求出IABl =i了下寸l2 - 4 x (2) =3.fi.25例 3 . 如图， 把椭圆 X2y21 的长轴+=16AB 分成8 等份， 过每个

3、分点作 X 轴的垂线交椭 圆的上半部A:分于 ,P2 , , P4, , P6 , p1 七个点 ， F 是 椭圆的 一个焦点 ，则 l F l + IPiF l + I 门 忆F I + l F I+ l F |忆 F l =考察意图：此题主要考察椭圆的性质和距离公式的灵活应用解答过程： 由椭圆 X2 y 21 的方程知 a 2= 25,: . a= 5.25+.16 =. . l F | 仇F l + I 门 伈F | 仇7x2a F l + IP,;FI+ l FI= =27xa= 7x5 = 35.z.-考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(

4、1) 椭圆的离心率 e c (0,1) (e 越大则椭圆越扁);a(2) 双曲线的离心率 e c (1, ) (e 越大则双曲线开口越大).a例 4双曲线的离心率为 2，焦点是(-4,0) ， (4,0) ，则双曲线方程为.z.-Ax2y2= 1x2y2-B= 1C x2y = 1x2y2-D= 1-2412124106610考察意图:此题主要考察双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念.解答过程：e = c a= 2, c= 4, 所以 a = 2, b2 = 12. 应选(A).B. 2 3例 5双曲线3x 2 - y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P

5、 到右准线的距离之比等于2A. C. 2D.43考察意图: 此题主要考察双曲线的性质和离心率 e c (1, ) 的有关知识的应用能力.3 + 9aa 2 + b 2解答过程：依题意可知a = 3, c =考点 4.求最大(小)值= 2 3 求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6抛物线 y2=4*,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(*1,y1),B(*2,y2)两点，则 y 2+y 2 的最小12值是.考察意图:此题主要考察直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小

6、)值的方法. 解:设过点 P(4,0)的直线为 y = k (x - 4),k 2 x2 - 8x +16 = 4x,故填 32.考点 5圆锥曲线的根本概念和性质例 7在平面直角坐标系*Oy 中,圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=*相切于坐标原点 O.椭圆x 2y 2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.a 2 + 91求圆 C 的方程；2试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的-长.假设存在，请求出点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由. 解答过程 (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)则m =

7、-n,解得m = -2,n 2 = 2 2, n = 2.所求的圆的方程为(x + 2)2 + ( y - 2)2 = 8(2) 由可得2a =10 ， a = 5 += 1椭圆的方程为 x2y2,右焦点为F( 4, 0) ;259假设存在 Q 点 -2 + 2 2 cos q,2 + 2 2 sin q 使 QF = OF ,-2 + 2 2 cosq - 4 2 + 2 + 2 2 sin q 2 = 4 整理得sin q = 3cosq + 2 2 ，代入sin 2 q + cos2 q = 1 得:10cos2 q +12 2 cosq + 7 = 0,cosq = -12 2 8 =

8、 -12 2 2 2 0)为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于 A 与点 B. 直线AB 与* 轴相交于点 C.求点 A 的横坐标 a 与点C 的横坐标 c 的关系式；设曲线 G 上点 D 的横坐标为a + 2 ,求证：直线 CD 的斜率为定值. 解答过程I由题意知， A(a, 2a ).因为| OA |= t, 所以a 2 + 2a = t 2 .由于t 0,故有t = a2 + 2a.1由点 B0，t，Cc，0的坐标知，直线 BC 的方程为 x +cy = 1.t又因点 A 在直线 BC 上，故有 a + 2a = 1,将1代入上式，得 a +cc2aa(a + 2)t= 1

9、, 解得c = a + 2 + 2(a + 2) .II因为D(a + 2 2(a + 2) ，所以直线 CD 的斜率为.z.-.z.2(a + 2)kCD =a + 2 - c= -1 ，2(a + 2)a + 2 - (a + 2 + 2(a + 2)2(a + 2)- 2(a + 2)所以直线 CD 的斜率为定值.例 9椭圆x2y2E : a 2 + b2 = 1(a b 0)，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦AB 的中点，假设以点M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点 N(4, -1) ，假设椭圆离心率 e 和双曲线离心率e1 之间满

10、足ee1 = 1 ，求：1椭圆 E 的离心率；2双曲线 C 的方程.解答过程：1设 A、B 坐标分别为A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) ，x2则 1 +a21 = 1， x2 +y22b2a2y2，二式相减得：2 = 1b2y - y(x + x )b22b21- (-1)k= 12 = -12= -= kMN = -1 ，ABx - x(y + y )a 2a22 - 412122所以a2 = 2b2 = 2(a 2 - c2 ) ， a2 = 2c2 ，则e= c =；22椭圆 E 的右准线为aa2( 2c)2，双曲线的离心率e12 ，x =cc= 2c1 =e设P(x,

11、 y) 是双曲线上任一点，则：(x - 2)2 + (y -1)22| PM | =，| x - 2c | x - 2c |两端平方且将 N(4, -1) 代入得： c = 1 或c = 3 ，当c = 1 时，双曲线方程为： (x - 2)2 - (y -1)2 = 0 ，不合题意，舍去； 当c = 3 时，双曲线方程为： (x -10)2 - (y -1)2 = 32 ，即为所求.考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题+例 10双曲线 C 与椭圆 x2y2有一样的焦点，直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线. = 184(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 过点 P(0,4)的直线l

12、，交双曲线 C 于 A,B 两点，交*轴于 Q 点Q 点与 C 的顶点不重合.当PQ = l QA = l QB ，且l + l= - 8 时，求 Q 点的坐标.12123考察意图:此题考察利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.-解答过程：设双曲线方程为 x2y2,a2 - b2 = 1+由椭圆x2y2,求得两焦点为，= 1(-2,0),(2,0)84 对于双曲线C : c = 2 ，又 y = 3x 为双曲线C 的一条渐近线 b = 3 解得a2 = 1, b2 = 3 ，a2 双曲线C 的方程为x2 - y = 13解法

13、一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程： y = kx + 4, A(x , y ) ， B( x , y ) ,则Q(4 ,0) .PQ = l QA ,( 4 , 4)1 122-k(x4 , y ) .1 -= l1 1 +1kk1 1A( x , y ) 在双曲线C 上， 16 (1 + l1 )2k 2l1- 16 -1 = 0 .l1同理有： (16 - k 2 )l2 + 32l +16 - 16 k 2 = 0.223假设16 - k 2 = 0, 则直线l 过顶点，不合题意.16 - k 2 0,l , l 是二次方程(16k 2 )x232 x 1616

14、 k 20. 的两根.1 2-+-=3l + l=32= - 8 , k 2 = 4 ，此时D 0, k = 2 .12k 2 -163 所求Q 的坐标为(2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程， y = kx + 4, A( x , y ), B( x , y ) ，则Q(- 4 ,0) .1 12 2kPQ = l1QA ，Q 分PA 的比为l1 . 由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程： y = kx + 4, A(x , y ), B(x , y ) ，则Q(4 ,0) .1 122-kPQ = l

15、 QA = l QB ，(- 4 , -4) = l (x + 4 , y ) = l (x + 4 , y ) .12k1 1 k12 2k2.z.-.z.-4 = l y= l y ，4 ，4 ，1 12 2l1 = -l2 = -y1y2又8 ，112 ,即3( y + y ) = 2 y y .l1 + l2 = -+=121 23y1y23将 y = kx + 4 代入x2- y =231 得(3 - k 2 ) y2 - 24 y + 48 - 3k 2 = 0 .3 - k 2 0 ，否则l 与渐近线平行.2448 - 3k 2 . y1 + y2 = 3 - k 2 , y1

16、y2 =3 - k 22448 - 3k 2 .k = 23 3 - k 2 = 2 Q(2,0) .3 - k 2解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l 的方程：y = kx + 4 ，A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ,则Q(- 4 ,0)kPQ = l QA ,(- 4 , -4) = l (x + 4 , y ) .1k1 1k1- 4 l =k= -4.同理l = -4.214x1 +kkx1 + 41kx + 412l + l = -4-4= - 8 .kx1+ 4kx2+ 4312即 2k 2 x x+ 5k ( x1+ x2) + 8 = 0

17、 .* y = kx + 4 2又y2x -= 13消去y 得(3 - k 2 ) x2 - 8kx -19 = 0 .当3 - k 2 = 0 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 3 - k 2 0 .x + x =8k由韦达定理有： 1 23 - k 219x1 x2 = -3 - k 2代入*式得 k 2 = 4, k = 2 .- 所求Q 点的坐标为(2,0) . 例 11设动点 P 到点 A(l，0)和 B(1，0)的距离分别为 d1 和d2，APB2,且存在常数(01,使得 d1d2 sin21证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；2过点 B 作直

18、线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定的围, 使OM ON 0,其中点 O 为坐标原点1212解答过程解法 1：1在PAB 中， AB = 2 ，即22 = d 2 + d 2 - 2d d cos 2q ，121 2121 24 = (d - d )2 + 4d d sin 2 q ，即 d - d = 4 - 4d d sin 2 q = 2 1- l 2 常数，点 P 的轨迹C 是以 A，B 为焦点，实轴长2a = 2 1 - l 的双曲线-方程为： x2y21 - ll= 12设M ( x1，y1 ) ， N (x2，y2 )当MN 垂直于x 轴时， MN 的方程为 x =1

19、， M (1，1) ， N (1，-1) 在双曲线上即 1 - 1= 1 l2+ l -1 =0 l =-1 5 ，因为0 l 0= l2 + l -lll1 l2 + l -1 1- l 5 -1 l 0k 2 1- ll2 + l -1 0由知， 5 -1 l 2 23解法 2：1同解法 1.z.-2设M (x1，y1 ) ， N ( x2，y2 ) ， MN 的中点为E ( x0，y0 ) 当x1 = x2 = 1时， MB 2 = l - l = 1 l2 + l -1 = 0 ，1- l因为0 l 1 ，所以 (1 - l)22 - 3l 1，又0 l 1，解得： 5 -1 l 2

20、由知 5 -1 l 0) ，直线方程为由2x2 + 3y2 = t 得：(2m2 + 3)y2 - 4my + 2 - t = 0 ，设A(x , y ), B(x , y ) ，my = x +111221则y + y2=4myACoxB2m2 + 3又CA = 2BC ，故(x +1, y ) = 2(-1- x , -y ) ，即y = -2y1122121由得： y=8m， y2m2 + 32= -4m ，2m2 + 3则S= 1 | y - y|= 6 |m| 6，DAOB2122m2 + 32 | m | +3 2| m |6当m2 = 3 ，即m = 6 时， DAOB 面积取最

21、大值，22此时2 - t32m2，即t = 10 ，y1y2 = 2m2 + 3 = - (2m2 + 3)2所以，直线方程为x y +1 = 0 ，椭圆方程为2x 2 + 3y2 = 10 .62例 13PA = (x + 5, y) ，PB = (x - 5, y) ，且| PA | + | PB|= 6 ， 求| 2x - 3y -12 | 的最大值和最小值.解答过程：设P(x, y) ， A(- 5,0) ， B( 5, 0) ， 因为| PA | + | PB|= 6 ，且| AB |= 2 5 0, b 0)且满足| OA |,| OB |,| OF | 成等比数列，过 F 作双曲

22、线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P，1求证： PA OP = PA FP ；2假设l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值围.解答过程：1因成等比数列，故，即A(a,0) ，| OB |2a2OA |=| OF |c2| OA |,| OB |,| OF |cyDOP EABFx直线l ： y = - a (x - c) ，b，y = - a (x - c)由bba2 ab P(,)ccy =xaPA = (0, -),OP = (,), FP = (-aba2abb2故：, ab ) ，cccccPA OP = -a2 b2c2=

23、 PA FP ，即PA OP = PA FP ；则：或PA (OP - FP) = PA (PF - PO) = PA OF = 0 ，即PA OP = PA FP y = - a (x - c)a4a4a4c22由b (b2 -)x2 + 2b2cx - (2b2b+ a2b2 ) = 0 ，b2 x2 - a2 y2 = a2b2a4c2-(2由x1x2 =b+ a2b2 )a4 a4 b2 = c2 - a2 a2 e2 2 e 2.或由kb2 -b2 kabb2 = c2 - a2 a2 e2 2 e 2 DFDO- -ba例 16 a = (x,0) ， b = (1, y) ， (

24、a +3b) (a -3b) ，1求点P(x, y) 的轨迹 C 的方程；2假设直线 y = kx + m(m 0) 与曲线C 交于A、B 两点，D(0, -1) ，且| AD |=| BD | ， 试求 m 的取值围.解答过程：1a +3b (x,0) +3(1, y) = (x +3, 3y) ，因(a +3b) (a -3b) ，故(a +3b) (a - 3b) = 0 ，a - 3b (x,0) -3(1, y) = (x - 3, - 3y) ，即(x +3, 3y) (x - 3, - 3y) = x 2 - 3y2 - 3 = 0 ，故 P 点的轨迹方程为x - y2 = 1.

25、23x2 - 3y23=2由y = kx + m得： (1 - 3k 2 )x2 - 6kmx - 3m2 - 3 = 0 ，设A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) ，A、B 的中点为M(x0 , y0 )则D = (6km) 2 - 4(1 - 3k 2 )(-3m2 - 3) = 12(m 2 +1 - 3k 2 ) 0 ，x + x= 6km， x = x1 + x2 =3km， y = kx + m =m，121 - 3k 2021- 3k 2001- 3k 2即 A、B 的中点为(3km ,m) ，1- 3k 2 1 - 3k 2则线段 AB 的垂直平分线为： y -m

26、= (- 1 )(x -3km ) ，1- 3k 2k1 - 3k 2将D(0, -1) 的坐标代入，化简得： 4m = 3k 2 -1 ，m2 +1- 3k 2 04m = 3k2 -1则由得： m2 - 4m 0 ，解之得m 4 ，又4m = 3k 2 -1 -1，所以m - 1 ，4(4, +) .故 m 的取值围是(- 1 ,0)4考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题BC |= 2 | AC | ，例 17A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心 O， 且AC BC = 0 ，|1求椭圆的方程；2如果椭圆上的两点 P,Q 使PCQ

27、 的平分线垂直于 OA，是否总存在实数 ，使得yCOAxQBPPQ = AB .请说明理由；解答过程：1以 O 为原点，OA 所在直线为*轴建立平面直角坐标系，则A(2,0) ，设椭圆方程为x2y24 + b2 = 1，不妨设 C 在*轴上方，BC |= 2 | AC |= 2 | OC | AC |=| OC | ，由椭圆的对称性， |又AC BC = 0 AC OC ，即OCA 为等腰直角三角形，由A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得： b2 = 4 ，3即，椭圆方程为x23y2+= 1 ；442假设总存在实数 ，使得 PQ = AB ，即AB/ PQ ，由C(1,1) 得B

28、(-1, -1) ，则kAB= 0 - (-1) = 1 ，2 - (-1)3假设设 CP： y = k(x -1) +1 ，则 CQ： y = -k(x -1) + 1 ，x23y2由 4 + 4 = 1 (1+ 3k2 )x2 - 6k(k -1)x + 3k 2 - 6k -1 = 0 ，y = k(x -1) +1由C(1,1) 得x = 1是方程(1 + 3k 2 )x2 - 6k(k -1)x + 3k 2 - 6k -1 = 0 的一个根，3k2 - 6k -13k2 + 6k -1由韦达定理得： xP = xP 1 =1+ 3k2，以-k 代k 得xQ =1+ 3k2，故k=

29、yP - yQ= k(x P + xQ ) - 2k = 1 ，故AB/ PQ ，xPQP- xQxP - xQ3即总存在实数 ，使得PQ = AB .GM = lAB，考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例 18设 G、M 分别是DABC 的重心和外心，A(0, -a) ，B(0,a)(a 0) ，且OP OQ = 0 .1求点 C 的轨迹方程；2是否存在直线 m，使 m 过点(a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P、Q 两点，且假设存在，求出直线 m 的方程；假设不存在，请说明理由.解答过程：1设C(x, y) ，则G( x , y) ，3 3因为GM = lAB，所以GM /

30、 AB ，则M( x ,0) ，3( x )2 + a23( x - x)2 + y23由 M 为DABC 的外心，则| MA |=| MC | ，即=，x2y2整理得： 3a 2 + a2 = 1(x 0) ；2假设直线 m 存在，设方程为 y = k(x - a) ，y = k(x - a)由 x2y23a 2 + a2= 1(x 0)得： (1 + 3k 2 )x2 + 6k 2ax + 3a 2 (k 2 -1) = 0 ，6k2a3a2 (k2 -1)设P(x1 , y1 ),Q(x 2 , y2 ) ，则x1 + x2 = 1+ 3k2 ， x1x2 =1+ 3k2，y1y2= k 2 (x- a)(x 2- a) = k 2x x- a(x1+ x 2-2k2a2) + a 2 ，1+ 3k2112由OP OQ = 0 得： x1x2 + y1y2 = 0 ，3a2 (k2 -1)-2k2a2即1+ 3k2+ 1+ 3k2= 0 ，解之得k = 3 ，又点(a,0) 在椭圆的部，直线 m 过点(a,0) ，故存在直线 m，其方程为 y = 3(x - a) .【专题训练与高考预测】一、选择题1. 如果双曲线经过点(6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y = 1 x ，则双曲线方程是23