2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(--解析版-word版含解析)-含解析.docx

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1、2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）己知集合 P=0, 1, 2), e=l, 2, 3),则 png=(0)B. 0, 3)C.1, 2D. (0, I, 2, 3)2.函数的定义域是A.xx2)C.RD. xx23.4.函数= Tx的图象大致是（己知 aWR,则 cos (.Tt-a)=(A. sinaB. -sinaC. cosaD. -cosa5.己知圆M的方程为（x+l）2 +。一2）2 =4 ,则圆心M的坐标是（A.(一 1, 2)B. (1,

2、 2)C. (1, -2)D. (-1, -2)6.某几何体的三视图如图所示，则这个儿何体可能是（A棱柱B.圆柱C.圆台D.球7.巳知函数y = 2ax3 （0）,则此函数是（）A. 偶函数且 （-8, +8）上单调递减C,奇函数且在（8, w）上单调递减8-不等式x2-4x vO的解集是（）A. （0,4）B.（T,0）B. 偶函数且在（-8, MD）上单调递增I）.奇函数旦在（8, ho）上单调递增C. （-00,4）D. （-oo,0）U（4,+oo）9.设A, 8是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足PA-PB=3,则P点的轨迹是（A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10.不

3、等式组丿x-2y+50x+y+2人0)左、右焦点分别为鸟上.己知点狄(0,半。)，线段M用交椭圆于点 P，。为坐标原点.若”。|+|辫| = 2“，则该椭圆的离心率为 .22, 如图，E, F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB, VC上的动点，且满足EF = 2xAV + yBC(x 0, y 0) 则? + y求P的值；的最小值为 .三、解答题(本大题共3小题，共31分)23. 己知函数 /(%) = 3sin(2x+),xeR.6(|)求7*(0)的值； (2)求f(x)的最小正周期.24. 如图，己知抛物线C： y设过焦点F的直线I与抛物线C交于A, B两点,O为坐标原点，记AAW 的面积

4、为S,当|网|囹=6S时,求直线/的方程.25. 己知函数f(x)=x-a- + a,aeR.(1) 若/(I) =2,求。的值；(2) 若存在两个不相等的正实数也,易，满足fW = f(x2),证明： 2 v m + 工2 v 2“ ； 0)的焦点F到其准线的距离为2.2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合P=0,1, 2), Q=, 2, 3),则 PCQ=(A. 0)B.0, 3)C.1, 2)D.0, 1, 2, 3|【FC 【解析】【分

5、析】根据题设,结合集合交集的概念，可得答案.【详解】p=0,1, 2), Q=, 2, 3)故选：C.2|;2. 函数 /(x) =己的定义域是A. xx2)C. RD. xx2【答案】【分析】由x 2/O,即可得出定义域.【详解】.*2/0即函数S = M的定义域为ES 故选：D 【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.3. 函数y = 2x的图象大致是（）【解析】【分析】根据函数的解析式可得函数_y = 2-（是以3为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答 案.【详解】解：由y = 2x=-,得函数_v = 2-是以言为底数的指数函数, 、2丿旦函数为减函数，故D选项

6、符合题意.故选：D.4. 已知 aWR,则 cos=(A. sinB. -sinaC. cosaD. -cosa【分析】利用诱导公式可以直接求出结果.【详解】因为COsS-Q）= -COSQ,则圆心M的坐标是（故选：D.5, 己知圆M的方程为（X+1）2+（）2沪=4,A. (-1, 2)B. (1, 2)C. (1, -2)D. (-1, -2)【幻A 【解析】 【分析】根据圆的标准式，即可得到圆心的坐标.【详解】.（工-）2 +（），-人）2 =产的圆心坐标为（d,b）;a (x + l)2 + (y-2)2=4 的圆心坐标为(-1,2)； 故选：A.6. 某几何体的三视图如图所示，则这个

7、儿何体可能是（侧视图A.棱柱B.圆柱C.圆台D.球【答案】C【解析】【分析】根据几何体的特征可以直接求出結果.【详解】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台.故选：C.7. 已知函数y = 2ax3 (G0),则此函数是()A.偶函数且在(-00, +00)上单调递减B.偶函数且在(-8, +00)上单调递增C.奇函数且在(-8, +co)上单调递减D.奇函数且在(-8, +00)上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义和幕函数的单调性可得选项.【详解】解：令y = f(x) = 2ax,则函数y

8、= f(x) = 2axi的定义域为R ,且 f (-x) = 2(x)3 = 2ax3 = /(x),所以函数y = f(x) = 2ax3是奇函数，又因为0,所以函数y = f(x) = 2axi在(-a +口)上单调递增，故选：D.8. 不等式x2-4x。的解集是()A. (0,4)B. (-4,0)C. (f,4)D. (-o,0)u(4,+oo)【解析】【分析】根据一元二次不等式求解的方法计算求解.【详解】x2-4xx（x-4）0,解得0vx010. 不等式组c八表示的平面区域是（）x+y+2- + 5 = 0与x+y + 2 = 0,再代入（0,0）点判断不等式是否成立，从而判断出

9、x-2y + 50与x+y + 2v 0的平面区域.【详解】画出直线工一2 + 5 = 0,经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入（0,0）可得50成立，所以x-2y + 50表示的区域为直线x-2y + 5 = 0及直线右下方；画出直线x+y + 2 = 0,经过二、三、四 象限，对应图中的虚线，代入（0,0）可得2v0不成立，所以x+y + 2v0表示的区域为直线x+y + 2 = 0及 直线左下方，所以对应的平面区域为B.故选：B11. 己知空间中两条不重合的直线 则密与b没有公共点:是的（B.必要不充分条件A. 充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】

10、【分析】由直线与8没有公共点表示两条直线。/妨或者。与b是异面直线，再根据充分必要性判断.【详解】直线。与b没有公共点表示两条直线。/D或者。与。是异面直线，所以“0与b没有公共点是 “。/。”的必要不充分条件.故选：B12. 为了得到函数y = cospT的图象，可以将函数y = cosx的图象（A.向左平移;个单位长度B. 向右平移:个单位长度C. 向左平移三个单位长度【答案】DD.向右平移个单位长度【解析】 【分析】函数v = cosx中的x替换为工-石，可得到函数y = cos X-.根据“左加右减”平移法则可得到 图象的平移变换方法.【详解】函数y = cosx中的x替换为T，可得到

11、函数y = cosT 因此对应的图象向右平移移!个单位长度，可以将函数尸cosx的图象变为函数y = cos-|j的图象,故选：D13. 己知函数f（x） = x1-2ax + b在区间（g 1是减函数，则实数。的取值范围是（）A. 1, +co)B. (-00, 1C. -1, +co)D. (-co, -1【答案】A【解析】【分析】由对称轴与1比大小，确定实数的取值范围.【详解】/(工)=尸一2設+ b对称轴为工=。，开口向上，要想在区间(-8, 1是减函数，所以。故选：A14. 己知向量5满足同=4,时=6,|。+=8 ,则p-b|=()A. 2B. 2面C. 8D. 4而【答案】B【解

12、析】【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得；-+& + =2何+2冃2,由此根据己知条件可求 得答案.【详解】.&-+$+ =(甘_2師尔附+仰+2豳+旳=2何+2狀,又.|=4,伍|=6,|成+5|=8*+64 = 2x16+2x36=104, /. |a-i|2=40,.&-；=2而，故选：B.15, 如图，正方体ABCD-AC r|, N是棱Q0的中点，则直线C7V与平面DBB.D.所成角的正弦值 等于()玖C；C而C应D 2应 1- 5【答案】B【解析】【分析】通过连接AC、交于。的辅助线，确定CN与平面DBBR所成的角，再设正方体棱长为2,根据CN与CO长度的关系，即可得出所

13、求角的正弦值；【详解】连接AC、剧9交于0,由正方形的性质可得CO丄又BB丄平面ABCD,COu平面 ABCD, . .BB丄 CO,又.8月与BQ在平面DBB、D内相交，所以CO丄平面D明以/CNO是CN与平面DBBq所成的角，设正方体的棱长为2,则cn=b co=e co V2 Viosm Z.CNO = = ,CN 55故选：B.AGC16. 若log2(2 -l)-x)恒成立，则；l 的取值范围是()A. (*E【答案】AB. (0*)【解析】【分析】将不等式转化为log?）,可转化为在（1,*q）上恒成立，利用基本不等式求解布习的最大值，即可得人的取值范围【详解】由 10g2（2-1

14、）7 vlog02+3/l）,可得 10（2* -1）- log2 2 log2（2-2x +3/1）,所以log2-log2（2-2x+32）,因为函数y = log2 x在（0,+8）上单调递增，所以2A-12（_1）,则-,故选：A _ I * I17.己知单位向量2不共线，且向量。满足11=-.若|。-形+（人-1区2天对任意实数久都成立，则向量弓,?2夹角的最大值是（A.2【答案】BB夸【解析】一稻+S1）勺|专两边平方化简可得|（人一1）公一/1个;，再平方化简整理得3（2-2cos022 + （2cos6?-2）2 + -0恒成立，然后由它。可求出cos。的范围，从而可求出。的最

15、大值4【分析】对|方【详解】设向量爲甘夹角为。，设向量分与（九一1）耳一人公的夹角为。，（人1）,人乌_ =（人1） 22（4 1） cos 0 + A = 2Z 2人 +1 2A（A 1） cos 0 , 由一万;+ （人一1）公|2：,得4a + 2a （人Dq 人弓+ （人一1）。，人弓，所以 |(2-1)-2| COS6Z + (人一1)。2一九乌N0,所叫(2 -1) - - cos a ,所以|(人一1)公一同2,!海。X L /max所以g_i)a-瞞|具，所以222-22 + 1- 22(2-l)cos-对任意实数；.都成立，4即(2 2 cos )人2 +(2 cos Q 2

16、)4 + 己 2 0 恒成立，4当2-2cosQ = 0,即cos0 = l,得0 = 0,上式恒成立，当22cos90时，即cosOvI, A = (2cos6-2)2-3(2-2cos)0,(cos0-l)(2cos+l) 0,所以得一 cosl,2因为。0,勿,所以0。号综上，0 b 0)的左、右焦点分别为K.已知点M(0,。)，线段必入交椭圆于点p,。为坐标原点.若|pq+|p用=2“，则该椭圆的离心率为 .【答案】:#0.5【解析】【分析】由椭圆定义和题干中的|PO|+|PK|=2a可得到PF21=| PO,进而得出点P的坐标，代入椭圆方 程化简可得到离心率.【详解】根据椭圆定义知|

17、P|+|P川=&，又.|Pq + |PK| = 2，.|P0|=|PO|,f 11 -= ln7 = = e = a2 42由三角形A/O%为直角三角形可得点P是M凡的中点, .E(c,0),. P(孚)，把点F代入椭圆方程中得 故答案为：- 22,如图，E, F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB, VC 动点，且满足EF = 2xAV + yBC(x 0,y 0)则x2 + y2的最小值为 E【答案】-#0.2【解析】【分析】根据EF = 2xAV + y5C(x0,y0) nJ得京，而，就共面，作MF / /AV交AC于点连接ME,则ME / / BC，再根据EF = EM + MF 可得E

18、MBC=y,些= 2xAV再利用相似比可得CM=2xAC, AM = yAC,从而可得2x+y = ,再利用二次函数的性质即可的解.【详解】解：因为EF = 2xAV + yBC(x0,y0).所以萨，而，无共而， 作MF/AV交AC于点连接娅，则ME / / BC，因为 EF = EM + MF. .,.EM MF所以 EM = yBC,MF = 2xAV ,即=y, = 2%, iSC* A.MF CM 因为MF/AV 所以= 2x,则 CM=2xAC,AV AC因为ME/ /BC，所以喋=吳=。,则AM = MC， dC AC又 CM + AM = AC,所以 2xAC + yAC =

19、AC f 所以 2x+ = l, 则 y = i-2x, 0x-,（2、21L 1+-0x-1 5丿50)的焦点F到其准线的距离为2.(1) 求p的值；(2) 设过焦点F的直线/与抛物线C交于A, B两点，0为坐标原点，记人。8的面积为S,当|E4|FB| =6S 时，求直线/的方程.【答案】(1) 2(2)工-2而-1 = 0或x+2而-1 = 0【解析】【分析】(1)由抛物线的儿何性质可得焦点到准线间的距离为，根据已知即可得到的值；(2)根据题意可设直线/的方程为工=叫，+ 1,利用韦达定理可三角形面积公式得到S財庭关于，的表达 式，利用抛物线的定义转化求得|例|四 关于，的表达式，根据巳

20、知得到关于，的方程，求解后即得直线 /的方程.【小问1详解】抛物线C： r=2px(/?()焦点为F(，o)，准线为l，.x =-，:.焦点到准线间的距离为P,由己知 得抛物线c： y2=2px(p0)的焦点F到其准线的距离为2,P = 2 ；【小问2详解】由(】)可得抛物线 方程为y2=4x,焦点F(LO),显然直线/的斜率不可能为零，故可设直线/的方程为x = my + ,代入抛物线方程整理得4/ny-4 = 0,设雄，凹)，研知力)，则，+2=4血泌二-4,S*b= !|日|凹_力| =貝（4时4（-4）= 2/矛 + 1 ,|冽|倒=（也+）（工2+）= 3+1）（工2 + 1）=（，

21、冷2）（明+2）= m2yy2 +2m（） + y2）+4 = -4nr +8/w2 +4 = 4/ +4,由|H4|FB|=6S,得42 +4 = 2ZF +1 ,解得m = +2/2.直线/的方程为工-2而-1 = 0或工+ 2瓦-1 = 0.25. 己知函数 f（x） = x-a- + a,ae R.X（1）若/（I） =2,求的值；（2）若存在两个不相等的正实数与易，满足f = f（x2）,证明： 2 v伺+易v 2“ ； &vE + l.xi【答案】（1） 2：（2）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）代入/（1）=2即可求出。的值；（2）分情况讨论，得到x时满足题意，根据函数单调

22、性,不妨设0构造差函数，证明极值点偏移问题；在第一问的基础上进行放缩即可证明.【小问1详解】由 /（1） = |1-|-1+6/ = 2,化简得：|1一口| = 3，两边平方，解得：a = 2.【小问2详解】不妨令M 。时，f（x） = x-a- + a = x-在（O,+s）上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数 XX而，易，满足/U） = /U2）舍去；当X = Cl时，f（x）=“ 丄为定值，不合题意；a当xa时，f（x） = 2a-x+ ,由对勾函数知识可知：当。1时，函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,。)上单调递减，在(,+00)上单调递增，且f(a) = 2a-a

23、+ = a-,即分段函数在x = a处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数心沔，满足/(%,) =/(%2),则心与有三种类型，第一种：0v玉1工2。，显然x,+x2-2 + -2 + =0,、I 丿 I 丿 I 丿 x2 (2-x)x(2-x) fx+2-xA ，即人在00,1)单调递增，所以心 v/z(l) = O, gp/(x)/(2-x),由于*(0,1)，所以/()/(2-), 又因为/3)= /(易)，所以/(工2)1，27|1，而7*3)在(1,+00)上单调递减， 所以x2 2-x,即x(+x2 2,综上：2x,+x2 2,接下来证明x+x20, BPg(x) = f(a:)

24、-f2a-x)在单调 X X X递増，所以g(x) = f(x)-f(2a-x)g(a) = 0f 又所以/()/(2-),又/() = /(2),所以 fx2)。，2a-x a, /(x)在上单调递增，所 以x22a-x,即x+x2 2,综上：2x,+x22,由第二种情况可知：X)+x2 2a ,则2x(+x2 2a , 综上：2x,+x22a, iE毕.由可知：当0石 工2。时，由f(xi)= f(x2)得:2a- xx + =2a- x2+,整理得:I XJ X2)i+坤i+x： _ i+gX x2 r 1 + xj2当OvX v。v*2时,x1- = 2a-xl+-,整理得：xl+x2=2a + -,整理得: & I xjX2 內五=一#一工/2+2织2+1 = （工2+：|）、1 + 1：-它1 + -,因为 0也。，所以 1+也二初lvl + 宀 综上：丑E+1,证毕.4玉【点睛】极值点偏移问题，是比较有难度的题目，一般处理思路有构造差函数，对数平均不等式，多元化 单元等方法.