(完整版)圆锥曲线大题题型归纳.docx

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1、精心整理圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1. 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、 p 等等；2. 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3. 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4. 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5. 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1. “常规

2、求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2. “是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3. 证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4. 证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5. 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6. 大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题x2y2例1、 已知 F1，F2 为椭圆+=1 的两

3、个焦点，P 在椭圆上，且F1PF2=60，则F1PF2 的面积为多少？10064点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式 1、已知F , F 分别是双曲线3x2 - 5 y2 = 75 的左右焦点， P 是双曲线右支上的一点，且12F1 PF2 =120 ，求DF1 PF2 的面积。精心整理精心整理X2y 2变式 2、已知 F, , F2 为椭圆- = l (O b h O) 经过点(1,-）， 离心矿b22率为， 点A 为椭圆C 的右顶点， 直线l 与椭圆相交千不同千点 A 的两个点P 代，Y1 ), Q(x2 , Y2 ) .2（ I ) 求椭圆C 的标准方程；

4、( II ) 当叶 M仁 0 时， 求LlOP Q 面积的最大值；( III) 若直线l 的斜率为 2, 求证： LlOP Q 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点处理定点问题的方法： （l）常把方程中参数的同次项集在一起， 并令各项的系数为零， 求出定点；(2) 也可先取参数的特殊值探求定点， 然后给出证明。石b2例 3、（聊城市 2017 届高三高考模拟（一）已知椭圆C :上+ f= I(a b O) 的离心率为- ， 一个矿顶点在抛物线x2 = 4Y 的准线上（ I ) 求椭圆C 的方程；( l I ) 设0 为坐标原点， M , N 为椭圆上的两个不同的动点， 直线 OM, ON 的斜率

5、分别为人 和伈， 是否存在常数 P , 当k丸 P 时t1MON 的面积为定值？若存在， 求出P 的值； 若不存在， 说明理由矿b2变式 1、已知椭圆C : + = l (a 炒 0 ）的焦距为2打，点 A, 为椭圆的左右顶点， 点 M 为椭圆上不同于 A, 的任意一点， 且满足 丸，M K心M = .4(I) 求椭圆C 的方程：(2)已知直线 I 与椭圆 C 相交于 P,Q（ 非顶点）两点， 且有AP,.l A,Q .(i) )直线 I 是否恒过一定点？若过， 求出该定点； 若不过， 请说明理由(ii) 求 ti PA2 Q 面积S 的最大值点评： 证明定值问题的方法：（l）常把变动的元素用

6、参数 表示出来， 然后证明计算结果与参数无关；(2)也可先在特殊条件下求出定值， 再给出一般的证明X22飞2 ,变式 2、 已知椭圆a了.2 +b工2 = l (a b O)的离心率为2 焦距为 2.(1 ) 求椭圆的方程；精心整理（2）过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P，Q 两点，C，D 为椭圆上位于直线 PQ 异侧的两个动点，满足CPQ=DPQ，求证：直线 CD 的斜率为定值，并求出此定值xy22变式 3、（临沂市 2017 届高三 2 月份教学质量检测（一模）如图，椭圆 C： 2 + 2 = 1(a b 0)的ab离心率为3 ，以椭圆 C 的上顶点 T 为圆心作圆 T: x2

7、 + (y -1)2 = r 2 (r 0)，圆 T 与椭圆 C 在第一象2限交于点 A，在第二象限交于点 B. (I)求椭圆 C 的方程；(II) 求TA TB 的最小值，并求出此时圆 T 的方程；(III) 设点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 分别与 Y 轴交于点 M，N，O 为坐标原点， 求证： OM ON 为定值x2y2例 4、设椭圆 C： 2a+ b2= 1（ab0）的一个顶点与抛物线 C：x2=4 3 y 的焦点重合，F1，F2 分别1是椭圆的左、右焦点，且离心率 e=2（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 是否存在直线 l，使得且过椭圆右焦点 F2 的

8、直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由（3） 若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MNAB，求证：为定值x2y2变式 1、（烟台市 2017 届高三 3 月高考诊断性测试（一模）如图，已知椭圆C :+= 1(a b 0)a2b2的左焦点F 为抛物线 y2 = -4x 的焦点，过点F 做x 轴的垂线交椭圆于A, B 两点，且 AB = 3 .（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若 M , N 为椭圆上异于点A 的两点，且满足 AM AF = AN AF ，问直线MN 的斜率是否为定| AM | AN |值？若是，求出这个定值；若不是，请说

9、明理由. 题型三“是否存在”问题x2y2例 5、（泰安市 2017 届高三第一轮复习质量检测（一模）已知椭圆C：2 + 2 = 1(a b 0)经过点ab2,1 ，过点 A(0，1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时，直线 l2的斜率为.2精心整理精心整理(I)求椭圆 C 的方程；()是否存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM = ABN 恒成立?若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由变式 1、在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP与 BP 的斜率之积等于- 13（）求动点

10、 P 的轨迹方程；（）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M，N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由题型四最值问题3xy22例 6【. 2016 高考山东理数】平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2 + 2 = 1(ab0)?的离心率是，ab2抛物线 E： x2 = 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.（I） 求椭圆 C 的方程；（II） 设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线l 与 C 交与不同的两点 A，B，线段精心整理AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x

11、轴的直线交于点 M.（i） 求证：点 M 在定直线上;（ii） 直线l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为S1 ， PDM 的面积为 S2，求 S1 的最大值及取得S2最大值时点 P 的坐标.例 7、（滨州市 2017 届高三下学期一模考试）如图，已知 DP y 轴，点 D 为垂足，点M 在线段 DP 的延长线上，且满足 DP = PM ，当点 P 在圆x2 + y2 = 3 上运动时.（1）当点M 的轨迹的方程；（2）直线l : x = my + 3(m 0) 交曲线C 于A, B 两点，设点 B 关于x 轴的对称点为 B1（点 B1 与点A 不重合），且直线 A 与x 轴交于点E .

12、证明：点E 是定点； DEAB 的面积是否存在的最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由.例 8、（潍坊市 2017 届高三下学期第一次模拟）已知椭圆 C 与双曲线 y2 - x2 = 1有共同焦点，且离6心率为3(I) 求椭圆 C 的标准方程；()设 A 为椭圆 C 的下顶点，M、N 为椭圆上异于 A 的不同两点，且直线 AM 与 AN 的斜率之积为3(i) 试问 M、N 所在直线是否过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由；(ii) 若 P 为椭圆 C 上异于 M、N 的一点，且MP = NP ，求MNP 的面积的最小值点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最

13、值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。变式 1、（2015?高安市校级一模）已知方向向量为（ 1，3 ）的直线 l 过点（0，-2 3 ）和椭圆x2y21C： a2 + b2 = 1 （ab0）的右焦点，且椭圆的离心率为 2 （1） 求椭圆 C 的方程；（2） 若过点 P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点 A、B，F 为椭圆 C 的左焦点，求三角形 ABF 面积的最大值2变式 2、（青岛市 2017 年高三统一质量检测）已知椭圆G : x+ y2 = 1 (a 1) 的左焦点为 F右顶点为 A ，上顶点为 B过F 、 A 、 B 三点的圆 P 的

14、圆心坐标为(a23 -2 , 1 -6 )1 ，11 ，11122（）求椭圆的方程；（）若直线l : y = kx + m （ k, m 为常数， k 0 ）与椭圆G 交于不同的两点 M 和 N （）当直线l 过E(1,0) ，且 EM + 2EN = 0 时，求直线l 的方程；（）当坐标原点O 到直线l 的距离为题型五求参数的取值范围3 时，求DMON 面积的最大值2例 9、（济宁市 2017 届高三第一次模拟（3 月）如图，已知线段 AE，BF 为抛物线C : x2 = 2 py (p 0)的两条弦，点 E、F 不重合函数 y = ax (a 0且a 1)的图象所恒过的定点为抛物线 C 的

15、焦点(I)求抛物线 C 的方程；()已知A(2,1)、B -1 1 ，直线 AE 与 BF 的斜率互为相反数，且 A，B 两点在直线 EF 的两侧，4 问直线 EF 的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由求OE OF 的取值范围x2y2变式 1、（德州市 2017 届高三第一次模拟考试）在直角坐标系中，椭圆C1 ： 2 + 2 = 1(a b 0) 的ab左、右焦点分别为F ， F ，其中F 也是抛物线C ： y2 = 4x 的焦点，点 P 为C 与C在第一象限的122212交点，且| PF2|= 5 3（）求椭圆的方程；（）过F2 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M 、 N 两

16、点，若线段OF2 上存在定点T (t,0) 使得以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围 小结解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与 x=mmy+n 的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：“

17、以弦 AB 为直径的圆过点 0” OA OB K1 K2 = -1 （提醒：需讨论 K 是否存在） OA OB = 0 x1 x2 + y1 y2 = 0“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” x1 x2 + y1 y2 0；“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ K1 + K 2 = 0 或 K1 = K 2 ）；“共线问题”（如： AQ = lQB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等）；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算； 七则细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.