2023年高考数学专项练习考点19 二项式定理含答案.pdf

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1、12023 年高考数学专项练习年高考数学专项练习考点考点 19二项式定理二项式定理一二项式定理一二项式定理（1）二项式定理：(ab)nC0nanC1nan1b CknankbkCnnbn(nN*)（2）通项公式：Tk1Cknankbk，它表示第 k1 项（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，C1n，Cnn（4）项数为 n1，且各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n二二项式系数的性质二二项式系数的性质三三指定项的系数或二项式系数指定项的系数或二项式系数1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为 Tr1g(r)xh(r)(r0,1,2，n

2、)，g(r)0，则有以下常见结论：(1)h(r)0Tr1是常数项(2)h(r)是非负整数Tr1是整式项(3)h(r)是负整数Tr1是分式项(4)h(r)是整数Tr1是有理项四四系数和系数和-赋值法赋值法1赋值法的应用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x1 即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可2二项式系数最大项的确定方法(1)如果 n 是偶数，则中间一项第n21 项的二项式系数最大；(2)如果 n 是奇数，则中间两项第n12项与第n121 项的二项式系数相等并最大1.通项 Tk1

3、Cknankbk是展开式的第 k1 项，不是第 k 项2.(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b的位置不能颠倒23.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k0，1，n)考点一考点一二项式中特定项的系数二项式中特定项的系数【例【例 1-1】（2021贵州）6(2)x展开式中3x的系数为（）A120B120C160D160【例【例 1-2】（2021四川达州）若二项式31()nxx展开式中第 4 项为常数项，则 n=（）A6B5C4D

4、3【变式训练】【变式训练】1（2021广东东莞高三阶段练习）二项式52xx展开式中，3x的系数等于（）A10B10C80D802（2021北京育才学校高三阶段练习）在61xx的展开式中，常数项为_.3（2021辽宁沈阳市第一二中学高三阶段练习）二项式3031xx的展开式中，其中是有理项的项数共有项4（2021四川成都一模）512xx展开式中3x项的系数为_（用数字作答）5（2021广东高三阶段练习）二项式731axx的展开式中各项系数和为1128，则3x项的系数为_6（2021广东广州高三阶段练习）若313nxx的展开式中第1r 项为常数项，则rn_.考点二考点二（二项式）系数的性质（二项式）

5、系数的性质【例【例 2】（2021河北石家庄市第一中学东校区）已知323nxx展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992.（1）求展开式中含有4x的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项.3【变式训练】【变式训练】1（2021辽宁凤城市第一中学高三阶段练习）在1nx的二项展开式中，仅有第 6 项的二项式系数最大，则n（）A8B9C10D11C.2（2022全国高三专题练习）（多选）已知(ab)n的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以为（）A7B8C9D103（2022全国高三专题练习）在5()axx的展开式中，3x的系数等于5，则该展开式的各项的

6、系数中最大值为（）A5B10C15D204（2021全国高二课时练习）（多选）下列关于(ab)10的说法，正确的是（）A展开式中的二项式系数之和是 1 024B展开式的第 6 项的二项式系数最大C展开式的第 5 项或第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数最小5（2022全国高三专题练习）若42()xxn展开式中前三项的系数和为 163，则展开式中系数最大的项为_考点三考点三 系数和系数和【例【例 3-1】（2021浙江省诸暨市第二高级中学高三期中）二项展开式52340145235(2)xaa xa xa xa xa x，则2a _，12345aaaaa_.【例 3-2】（2021

7、浙江绍兴一中高三期中）若54290129(1)(12)xxaa xa xa x，则0129aaaa_，1a _.【变式训练】【变式训练】1（2021重庆西南大学附中高三阶段练习）设665412367(1)(2xa xa xaxaxxaR，则1357+aaaa_.2（2021全国高三专题练习）已知(kx1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，且 a1a2a3a4a5244，则实数 k 的值为_.3（2021重庆市实验中学高三开学考试）若28210012101(41)(21)(21)(21)xxaaxaxax，则1210aaa等于4（2021贵州贵阳一中）已知525012514xaa x

8、a xa x，则0123452345aaaaaa考点四考点四 多项式展开式中特定项系数多项式展开式中特定项系数【例【例 4】（2021全国高三阶段练习）622yxyxx的展开式中42x y的系数为（）A30B50C36D244【变式训练】【变式训练】1（2021湖南沅江市第一中学高三阶段练习）632122xxx的展开式中常数项为（）A80B160C240D3202（2021广西南宁三中高三阶段练习（理）262yxxyx的展开式中34x y的系数为（）A45B30C20D153（2022全国高三专题练习）若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为 15，则 a 的值为（）A4B52C4D

9、724（2021河南高三阶段练习（理）已知0m，42xxm展开式中3x的系数为 56，则m（）A1B2C3D4考点五考点五 二项式的应用二项式的应用【例【例 5-1】（2021全国高二课时练习）2021154被 7 除后余数是（）A2B3C4D5【例 5-2】（2021全国高二课时练习）61.02的近似值（精确到 0.01）为（）A1.12B1.13Cl.14D1.20【变式训练】【变式训练】1（2021全国高二课时练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A106B107C108D1092（2021四川成都高三阶段练习（理）已知 21010a(0a11)能被 11 整除，则实数 a 的值

10、为（）A7B8C9D103（2021山东任城高二期中）今天是星期二，经过 7 天后还是星期二，那么经过1008天后是（）A星期一B星期二C星期三D星期四1（2021陕西西安）若52345012345(2)xaa xa xa xaa x，则3a（）A80B40C40D802（2021江苏南京市中华中学高三期中）已知1 2nx的二项展开式中第 3 项与第 10 项的二项式系数相等，则展开式中含2x的系数为（）A312B31C220D2203（2021天津三中高二期中）若22()nxx展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则n（）A11B10C9D854（2021江西景德镇一中高三阶段练习（理）若

11、62axx的展开式中常数项为1516，则实数a（）A12B2C12D25（2022全国高三专题练习）（多选）二项式(2x1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（）A第 2 项B第 3 项C第 4 项D第 5 项6（2021全国全国模拟预测）621112xx的展开式中，x 的指数为偶数的项的系数之和为（）A64B48C32D167（2021江苏高三阶段练习）已知21(2)nx的展开式中第二项与第三项的系数之比为1：8，则2()nxx的展开式中常数项为（）A24B24C48D488（2021全国全国模拟预测）已知82801281mxaa xa xa x，则“128255aaa”是“3m”的（

12、）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（2022全国高三专题练习）53(2)x的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A1B20C21D3110（2021江西景德镇一中高三阶段练习（理）521xx的展开式中，x的系数为（）A8B9C10D2011（2022全国高三专题练习）12nxx的展开式中第 6 项的二项式系数最大，则 n 可以为_12（2021河北衡水中学模拟预测）63xx的二项展开式中2x的系数为_13（2021河北衡水中学模拟预测）10(2)x展开式中，所有项的系数和等于_14（2021上海华师大二附中高三阶段练习）51x展开式中2x系数是_15（

13、2021北京市第十三中学高三阶段练习）在622xx的展开式中，常数项为_16（2021上海徐汇一模）设Rx且0 x，则51(2)1xx的展开式中常数项为_17（2021上海普陀一模）若7223140123141xaa xa xa xa x，则58aa_.18（2021上海闵行一模）若62axx的二项展开式中的常数项为160，则实数 a=_.619（2021广西柳州一模（理）已知二项式1nxx的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是_(用数字作答)20（2021江苏南京高三阶段练习）已知3xay的展开式中含2x y项的系数为 6，则实数a的值为_.21（2021贵州贵阳一中

14、高三阶段练习（理）若423401234(41)xaa xa xa xa x，则1234aaaa_.22（2021天津市第四十七中学高三阶段练习）若33nxx的展开式中所有项的系数之和为 1024，则该展开式中的常数项是_.23（2021吉林长春高三阶段练习（理）在5221axx的展开式中，若含2x项的系数为40，则正实数a_24（2021全国高二课时练习）20163除以100的余数是_.25（2021广东珠海市第二中学高二阶段练习）61.02的近似值（精确到0.01）为_26（2021全国高二课时练习）在822xx的展开式中，（1）求系数的绝对值最大的项；（2）求二项式系数最大的项；（3）求系

15、数最大的项；（4）求系数最小的项1（2021福建宁德高三期中）对任意实数x，有423401234(2)(2)(2)(2)xaaxaxaxax，则3a（）A6B7C8D102（2022全国高三专题练习）已知(1 2)nx的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A512B210C211D21273（2021广东江门高三阶段练习）已知60,21()axxa展开式的各项系数之和为 64，则展开式中3x的系数为（）A10 或 2970B10C1890D29704（2021江苏常州高三期中）已知202120210120211 2xaa xax，则32021122320

16、212222aaaa（）A-2B-1C0D25（2021吉林长春外国语学校高三开学考试（理）已知6()axx(0)a 的展开式中常数项为 240，则2()(2)xa xa的展开式中2x项的系数为（）A10B8C6D46（2021四川眉山市彭山区）已知20212202101220212111xaaxaxax，则122021aaa（）A404221B202121C20212D2021217（2021安徽高三开学考试（理）26xyxyy的展开式中25x y的系数为（）A12B16C20D248（2021全国模拟预测）252(1)xyyx展开式中34x y的系数是（）A10B5C5D109（2021全

17、国全国模拟预测）（多选）已知62xx，则（）A展开式中的第 4 项为32160 xB展开式中的常数项为 60C展开式中的各项系数之和为 1D展开式中第 4 项的二项式系数最大10（2022全国高三专题练习）（多选）若(1mx)8a0a1xa2x2a8x8且 a1a2a8255，则实数 m 的值为（）A1B1C3D311（2022全国高三专题练习）（多选）二项式(2x1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（）A第 2 项B第 3 项C第 4 项D第 5 项12（2021重庆南开中学高三阶段练习）（多选）已知二项式12nxx的展开式中共有 8 项，则下列说法正确的有（）A所有项的二项式系数和

18、为 128B所有项的系数和为 1C二项式系数最大的项为第 5 项D有理项共 3 项13（2022全国高三专题练习）（多选）已知202122021012202112xaa xa xax，则（）A展开式中所有项的系数和为1B展开式中二项系数最大项为第 1010 项C123202123202112222aaaa D12320212320212021aaaa814（2021福建莆田）（多选）对任意实数x，有923901239231111xaaxaxaxax.则下列结论成立的是（）A01a B2144a C20911aaaaLD9012393aaaaa 15（2021湖北武汉高三期中）（多选）已知二项式

19、61axx，则下列说法正确的是（）A若2a，则展开式的常数为 60B展开式中有理项的个数为 3C若展开式中各项系数之和为 64，则3a D展开式中二项式系数最大为第 4 项16（2021全国高三专题练习）（多选）若522100121022xxaa xa xa x，则下列选项正确的是（）A032a B2320a C121032aaaD12103093aaa17（2021广东茂名高三阶段练习）（多选）在二项式81 4x的展开式中，下列结论正确的是（）A第 5 项的系数最大B所有项的系数和为83C所有奇数项的二项式系数和为72D所有偶数项的二项式系数和为7218（2021辽宁高三期中）（多选）已知

20、831fxxx，则（）A fx的展开式中的常数项是 56B fx的展开式中的各项系数之和为 0C fx的展开式中的二项式系数最大值是 70D fx的展开式中不含4x的项19（2021山东潍坊高三阶段练习）（多选）已知二项展开式011 1*,nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC bnN，则下列说法正确的是（）A二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等B二项展开式中，当12nk时，knC随k的增加而减小；当12nk时，knC随k的增加而增加C二项展开式中，奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和D二项式展开式中，第k项的通项公式,1,2,3,kn

21、kkknTC ab kn20（2021江苏南京市第二十九中学高三阶段练习）（多选）若501(12)xaa x234234a xa xa x55a x，则下列结论中正确的是（）A01a B532a C50123453aaaaaaD012345234510aaaaaa 921（2021河北沧州高三阶段练习）（多选）已知32nxx的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中（）A各项的系数之和为1B存在常数项32C各项的系数中最大的是24D含x的无理项有三项22（2021山东济宁一中高三开学考试）（多选）在712xx的展开式中，下列说法正确的有（）A所有项的二项式系数和为 128B所有项的系数和

22、为 1C二项式系数最大的项为第 4 项D有理项共 3 项23（2021广东高州一中高三阶段练习）（多选）已知202122021012202112xaa xa xax，下列命题中，正确的是（）A展开式中所有项的二项式系数的和为20212；B展开式中所有奇次项系数的和为2021312；C展开式中所有偶次项系数的和为2021312；D320211223202112222aaaa.24（2021重庆八中高三阶段练习）若6221(0)axxax的展开式中含7x项的系数为 90，则a_.25（2021全国高三课时练习）设复数1 i1 iz，则0122334455668888888CCCCCCCzzzzzz

23、 778Cz_.26（2021河北沧州高三阶段练习）若30517A，则 A 的小数部分是_考点考点 19二项式定理二项式定理一二项式定理一二项式定理（1）二项式定理：(ab)nC0nanC1nan1b CknankbkCnnbn(nN*)（2）通项公式：Tk1Cknankbk，它表示第 k1 项（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，C1n，Cnn（4）项数为 n1，且各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n二二项式系数的性质二二项式系数的性质10四四指定项的系数或二项式系数指定项的系数或二项式系数1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项

24、为 Tr1g(r)xh(r)(r0,1,2，n)，g(r)0，则有以下常见结论：(1)h(r)0Tr1是常数项(2)h(r)是非负整数Tr1是整式项(3)h(r)是负整数Tr1是分式项(4)h(r)是整数Tr1是有理项四四系数和系数和-赋值法赋值法1赋值法的应用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x1 即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可2二项式系数最大项的确定方法(1)如果 n 是偶数，则中间一项第n21 项的二项式系数最大；(2)如果 n 是奇数，则中间两项第n12项与第n1

25、21 项的二项式系数相等并最大1.通项 Tk1Cknankbk是展开式的第 k1 项，不是第 k 项2.(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b的位置不能颠倒3.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k0，1，n)考点一考点一二项式中特定项的系数二项式中特定项的系数【例【例 1-1】（2021贵州）6(2)x展开式中3x的系数为（）A120B120C160D160【答案】D11【解析】6(2)x展开式的通项为66C(2)rrrx，令

26、3r，得3x的系数为160.故选：D【例【例 1-2】（2021四川达州）若二项式31()nxx展开式中第 4 项为常数项，则 n=（）A6B5C4D3【答案】C【解析】二项式31()nxx展开式的通项公式为：34311nrrrn rrrnnTxxxCC，因为二项式31()nxx展开式中第 4 项为常数项，所以4303n，解得4n，故选：C【变式训练】【变式训练】1（2021广东东莞高三阶段练习）二项式52xx展开式中，3x的系数等于（）A10B10C80D80【答案】A【解析】52xx展开式通项为 15552155212kkkkkkkkTCxxC x，令1532k，解得：4k，展开式的3x的

27、系数为 45 4451210C.故选：A.2（2021北京育才学校高三阶段练习）在61xx的展开式中，常数项为_.【答案】20【解析】展开式的通项为6161rrrrTCxx2661rrrC x令260r 可得3r 常数项为236120C 故答案为：204（2021辽宁沈阳市第一二中学高三阶段练习）二项式3031xx的展开式中，其中是有理项的项数共有项【答案】6【解析】二项式3031xx的展开式中，通项公式为515306303031()rrrrrCxCxx，030r，0,6,12,18,24,30r 时满足题意，共 6 项4（2021四川成都一模）512xx展开式中3x项的系数为_（用数字作答）

28、【答案】80【解析】512xx展开式的通项公式为5155 255212rrrrrrrCxxCx ，令523r得1r，所以展开式中3x项的系数为14151280C.故答案为：805（2021广东高三阶段练习）二项式731axx的展开式中各项系数和为1128，则3x项的系数为_12【答案】3516【解析】二项式731axx的展开式中各项系数和为1128，二项式731axx的展开式中令1x，得各项系数和为7111,1282aa，二项式7312xx展开式的通项公式为7714733177122rrrrrrrxTCxCx，令431347435733,C3216rxrTxx，展开式中的3x项的系数为3516

29、故答案为：35166（2021广东广州高三阶段练习）若313nxx的展开式中第1r 项为常数项，则rn_.【答案】34【解析】313nxx的展开式中第1r 项为1343331n rrrrrr nrnnnCxxCx，令430rn得34rn.故答案为：34考点二考点二（二项式）系数的性质（二项式）系数的性质【例【例 2】（2021河北石家庄市第一中学东校区）已知323nxx展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992.（1）求展开式中含有4x的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）490 x；（2）490 x和133270 x；（3）143405x.【

30、解析】（1）令1x，可得二项展开式的系数和为4n，又由二项式的二项式系数和为2n，根据题意42992nn，解得5n，即二项式为5323xx，可得展开式的通项为103515532()(3)3rrrrrrrTCxCxx，令1043r，可得2r=，则224435390TCxx，即展开式中含有4x的项490 x.（2）因为5n，所以展开式共 6 项，二项式系数最大项为第三、四项，由（1）可得224435390TCxx，13133333453270TCxx，展开式中二项式系数最大的项为490 x和133270 x.（3）设展开式中第1k 项系数最大，则115511553333kkkkkkkkCCCC，解

31、得7922k且kN，所以4k，可得14143344553405TCxx，即展开式中系数最大的项为143405x.【变式训练】【变式训练】131（2021辽宁凤城市第一中学高三阶段练习）在1nx的二项展开式中，仅有第 6 项的二项式系数最大，则n（）A8B9C10D11【答案】C【解析】因为在1nx的二项展开式中，仅有第 6 项的二项式系数最大，即5nC最大，所以10n.故选：C.2（2022全国高三专题练习）（多选）已知(ab)n的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以为（）A7B8C9D10【答案】ABC【解析】若展开式只有第五项的二项式系数最大，则152n，解得：n8；若展开

32、式第四项和第五项的二项式系数最大，则352n，解得：n7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则152n，解得：n9；故选：ABC3（2022全国高三专题练习）在5()axx的展开式中，3x的系数等于5，则该展开式的各项的系数中最大值为（）A5B10C15D20【答案】B【解析】5()axx的展开式的通项55 2155()rrrrrrraTC xa C xx，令 52r3，则 r1，所以a55，即 a1，展开式中第 2，4，6 项的系数为负数，第 1，3，5 项的系数为正数，故各项的系数中最大值为2510C，故选：B.4（2021全国高二课时练习）（多选）下列关于(ab)10的说法，正确的是

33、（）A展开式中的二项式系数之和是 1 024B展开式的第 6 项的二项式系数最大C展开式的第 5 项或第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数最小【答案】ABD【解析】对于选项 A，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为1021024，故 A 正确；对于选项 BC，当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；对于选项 D，由展开式的通项101010110()(1)kkkkkkkkC abC abT，可知第 6 项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故 D 正确.故选：ABD.5（2022全国高三专题练习）若42()xxn展开式中前三项的系数和为

34、163，则展开式中系数最大的项为_【答案】537614【解析】展开式的通项公式为23412nkkkknTC x，由题意可得，00122222163nnnCCC，解得9n ，设展开式中18 34192kkkkTC x项的系数最大，则119911992222kkkkkkkkCCCC解得172033k，又kN，6k，故展开式中系数最大的项为667925376TC.故答案为：5376.考点三考点三 系数和系数和【例【例 3-1】（2021浙江省诸暨市第二高级中学高三期中）二项展开式52340145235(2)xaa xa xa xa xa x，则2a _，12345aaaaa_.【答案】80211【解

35、析】因为二项展开式52340145235(2)xaa xa xa xa xa x，所以2a 235280C，令0 x 得50232a，令1x 得50123453243aaaaaa，两式相减得：12345211aaaaa.故答案为：80；211【例 3-2】（2021浙江绍兴一中高三期中）若54290129(1)(12)xxaa xa xa x，则0129aaaa_，1a _.【答案】013【解析】因为54290129(1)(12)xxaa xa xa x，令1x，则540129(101)(12 1)aaaa；因为5(1)x展开式的通项为15rrrTCx，4(12)x展开式的通项为142kkkT

36、Cx，所以111001154541213aCCCC；故答案为：0；13【变式训练】【变式训练】1（2021重庆西南大学附中高三阶段练习）设665412367(1)(2xa xa xaxaxxaR，则1357+aaaa_.【答案】365【解析】取1x ，则612345673729aaaaaaa（1）取1x，则12345671aaaaaaa（2）所以（1）+（2）可得1357365aaaa，故答案为：365.2（2021全国高三专题练习）已知(kx1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，且 a1a2a3a4a5244，则实数 k 的值为_.【答案】4【解析】因为(kx1)5a5x5a4x

37、4a3x3a2x2a1xa0，所以令1x，得(k1)5a5a4a3a2a1a0，令0 x，得 a0=-1 又因为 a1a2a3a4a5244，所以(k1)5=243，所以 k-1=3，解得 k=4，故答案为：43（2021重庆市实验中学高三开学考试）若28210012101(41)(21)(21)(21)xxaaxaxax，则1210aaa等于【答案】14【解析】令0 x，则801210(01)(0+1)1aaaa，15令12x ，则8015(1)(2+1)44a ，121051144aaa 4（2021贵州贵阳一中）已知525012514xaa xa xa x，则0123452345aaaa

38、aa【答案】1619【解析】525012514xaa xa xa x，令0 x，01a；两边求导得，42341234520 142345xaa xa xa xa x，令1x，412345234520 31620aaaaa .01234523451619aaaaaa.考点四考点四 多项式展开式中特定项系数多项式展开式中特定项系数【例【例 4】（2021全国高三阶段练习）622yxyxx的展开式中42x y的系数为（）A30B50C36D24【答案】C【解析】6yxx展开式的通项公式为6 216rrrrTC xy（Nr且6r），因为6662222yyyxyxxxy xxxx，则28 21622rr

39、rrx TC xy，6 2116kkkkyTC xy，在28 21622rrrrx TC xy中，令2r=，可得42x y的系数为30；在6 2116kkkkyTC xy中，令1k，可得42x y的系数为6，所以42x y的系数为36.故选：C.【变式训练】【变式训练】1（2021湖南沅江市第一中学高三阶段练习）632122xxx的展开式中常数项为（）A80B160C240D320【答案】D【解析】因为6212xx展开式的通项为666 316621C212CrrrrrrrrTxxx，则6663322211122222xxxxxxxx展开式中常数项为226 2336 3662 C(1)2C(1)

40、2320故选：D2（2021广西南宁三中高三阶段练习（理）262yxxyx的展开式中34x y的系数为（）A45B30C20D15【答案】D【解析】6xy展开式的通项公式为616rrrrTC xy（rN且06r），16又因为2266622yyxxyx xyxyxx，71622rrrrxTC xy，令4r，可得4345622xTC x y，该项中34x y的系数为30,25216rrrryTC xyx，令2r=，可得223436yTC x yx，该项中34x y的系数为15，所以34x y的系数为30 1515，故选：D3（2022全国高三专题练习）若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系

41、数为 15，则 a 的值为（）A4B52C4D72【答案】C【解析】对41x的展开式通项公式414rrrTC x，当0r 时，45Tx，当1r 时，344Tx，其中 x4的系数为 1(1)4a14a15，解得：a4 故选：C.4（2021河南高三阶段练习（理）已知0m，42xxm展开式中3x的系数为 56，则m（）A1B2C3D4【答案】B【解析】由题知，4443212201224364844444xxmxmxCxmCxmxCxmxCxmxCx故3x项的系数为12243C4C56mm，又0m，解得2m.故选：B.考点五考点五 二项式的应用二项式的应用【例【例 5-1】（2021全国高二课时练习

42、）2021154被 7 除后余数是（）A2B3C4D5【答案】C【解析】因为2021202101222021202120211541 144CC14C1420212021122202120212021202120212021C1444C14C14C147，所以2021154被 7 除后余数是 4故选：C【例 5-2】（2021全国高二课时练习）61.02的近似值（精确到 0.01）为（）A1.12B1.13Cl.14D1.20【答案】B【解析】661223366661.02(10.02)10.020.020.020.02CCC 1 0.120.0061.13.故选：B【变式训练】【变式训练】1

43、（2021全国高二课时练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A106B107C108D10917【答案】B【解析】77716252771.9520.05220.0520.05CC107.28，71.95107.故选 B2（2021四川成都高三阶段练习（理）已知 21010a(0a11)能被 11 整除，则实数 a 的值为（）A7B8C9D10【答案】C【解析】10102 10211 1aa1092 111111 1a10921111112a ，1092111111 能被 11 整除，要使102 10011aa能被 11 整除，则2a能被 11 整除，011a，2213a，则211a，解

44、得9a，故选：C.3（2021山东任城高二期中）今天是星期二，经过 7 天后还是星期二，那么经过1008天后是（）A星期一B星期二C星期三D星期四【答案】C【解析】1001000100199991000100199100100100100910010908(71)77777771CcCCCC即 8100除以 7 后余数为 1，因为经过 7 天后还是星期二，所以经过 8100天后是星期三.故选：C1（2021陕西西安）若52345012345(2)xaa xa xa xaa x，则3a（）A80B40C40D80【答案】B【解析】依题意33235240Cxx ，所以340a .故选：B2（202

45、1江苏南京市中华中学高三期中）已知1 2nx的二项展开式中第 3 项与第 10 项的二项式系数相等，则展开式中含2x的系数为（）A312B31C220D220【答案】D【解析】1 2nx的展开式的通项为1122rrrn rrrrnnTCxCx ，由题可得第 3 项与第 10 项的二项式系数相等，则29nnCC，所以11n，则展开式中含2x的系数为22112220C.故选：D.3（2021天津三中高二期中）若22()nxx展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则n（）18A11B10C9D8【答案】B【解析】由题意，22()nxx展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，根据二项式系数的性质，可

46、得展开式共有 11 项，所以10n.故选：B.4（2021江西景德镇一中高三阶段练习（理）若62axx的展开式中常数项为1516，则实数a（）A12B2C12D2【答案】A【解析】由二项式62axx展开式的通项为2612 3166()()()rrrrrrraTCxa C xx，令1230r，可得4r，当4r 时，可得展开式的常数项为4446()15aCa，所以4651115a，解得12a .故选：A.5（2022全国高三专题练习）（多选）二项式(2x1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（）A第 2 项B第 3 项C第 4 项D第 5 项【答案】CD【解析】因为二项式(2x1)7展开式一

47、共 8 项，其中中间两项的二项式系数最大，易知当 r3 或 r4 时，7rC最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第 4 项和第 5 项.故选：CD6（2021全国全国模拟预测）621112xx的展开式中，x 的指数为偶数的项的系数之和为（）A64B48C32D16【答案】D【解析】621112xx的展开式中，所有 x 的指数为偶数的项的系数之和为024602465466666666122162CCCCCCCC.故选：D.7（2021江苏高三阶段练习）已知21(2)nx的展开式中第二项与第三项的系数之比为1：8，则2()nxx的展开式中常数项为（）A24B24C48D48【答案】B【解析】2

48、1(2)nx展开式第1r 项211212rnrrrnTCx，系数212rrnC，12122212128nnCC，解得4n 42xx展开式第m项44 21442(2)mmmmmmmTC xCxx，令420m即2m，故常数项为224(2)24C.故选：B198（2021全国全国模拟预测）已知82801281mxaa xa xa x，则“128255aaa”是“3m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，令0 x，得01a，令1x，得801281maaaa，所以8012811aaaam，由811255m，解得3m或1m ，所以“01282

49、55aaaa”是“3m”的必要不充分条件.故选：B.9（2022全国高三专题练习）53(2)x的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A1B20C21D31【答案】C【解析】因为53(2)x展开式的通项为5533155C22CkkkkkkkTxx，因此，要使系数为有理数，只需53k为整数，又因为 0k5 且 kZ，所以 k2，5，因此系数为有理数的项为3225352,Cxx,故所求系数之和为 20121.故选：C.10（2021江西景德镇一中高三阶段练习（理）521xx的展开式中，x的系数为（）A8B9C10D20【答案】D【解析】552211xxxx的展开式通项为152rrrACxx，2r

50、xx的展开式通项为32122krkr kkkkkrrBCxCxx，所以，521xx的展开式通项为321,152rkrkkrkrTC Cx，其中05kr，k、rN，令312rk，得325rk，得1k，所以，展开式中x的系数为20515255220C CC C.故选：D.11（2022全国高三专题练习）12nxx的展开式中第 6 项的二项式系数最大，则 n 可以为_【答案】9，10，11【解析】由二项式系数性质知，当n是偶数时，第12n项的二项式系数最大，162n，10n，当n是奇数时，第12n项和第112n项的二项式系数相等且最大，162n1162n，解得11n 或9n 故答案为：9，10，11